Gọi I là trung ñiểm cạnh BC.. a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.. b Tính khoảng cách giữa AI và BA’... PHẦN RIÊNG 3,0 ñiểm Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần phần a, hoặc b
Trang 1TRƯỜNG THPT PHAN ðÌNH PHÙNG ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC NĂM 2011
HÀ NỘI MÔN THI: TOÁN – KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2 ñiểm)
Cho hàm số: y = x3 – 6x2 + 9x – 2 có ñồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m ñể phương trình:
e3t – 2.e2t + ln3 + et+ ln9 + m = 0 (1)
có 3 nghiệm phân biệt thuộc (–ln2; +∞)
Câu II (2 ñiểm)
Giải phương trình:
1) sinx(1+2cos2x) + 3cos3x = 2(cos4x + sin3x)
2)
4 x
4 x 6 x 2 2 4 x 2
2 +
−
=
−
− +
Câu III (1,0 ñiểm)
TÝnh I= x x x)dx
2 cos cos
1 ( 2
0
− +
∫π
Câu IV (1,0 ñiểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a,ñỉnh A’ cách ñều A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600 Gọi I là trung ñiểm cạnh BC
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Tính khoảng cách giữa AI và BA’
Câu V (1,0 ñiểm)
Cho ba sè a, b, c sao cho
=
>
1
0 , ,
abc
c b a
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =
2
bc
a b c +
ac
b a c +
ab
c b+a
Trang 2B PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần
(phần a, hoặc b)
a.Theo chương trình chuẩn:
C©u VI.a (2 ®iÓm)
1) Cho hai ®−êng trßn: (C1): x 2 +y 2 -2x-2y-2=0; (C2): x 2 +y 2 -8x-2y+16=0
Gäi I, K lÇn l−ît lµ t©m cña (C1) vµ (C2) ; M lµ ®iÓm tiÕp xóc gi÷a (C1) vµ (C2) Gäi d lµ tiÕp tuyÕn chung kh«ng ®i qua M cña (C1) vµ (C2) d c¾t ®−êng th¼ng IK t¹i A LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®−êng kÝnh AM
2)Trong kh«ng gian (Oxyz) cho hai ®iÓm A(0;0;-3); B(2;0;-1) và mặt cầu
(S) :(x-2) 2 +(y+1) 2 +z 2 =10 Hãy tìm trên (S) ñiểm C sao cho ABC là tam giác ñều
C©u VII.a (1 ®iÓm)
Khai triển và rút gọn biểu thức : 2 *
( ) 1 2(1 ) (1 ) ,n
P x = − +x −x + +n −x n∈N
n x a x
a a x
P( ) = 0 + 1 + + Tính hệ số a8 biết n thoả mãn:
n C
C n n
1 7 1
3
2 + =
b.Theo chương trình nâng cao:
Câu VIb (2 ®iÓm)
1)Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, xét elíp (E) ñi qua ñiểm M( − 2 ; − 3 ) và có phương trình một ñường chuẩn là x+ 8 = 0 Viết phương trình chính tắc của (E) 2)Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho các ñiểm A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 3 ; 2 )
và mặt phẳng ( α ) : x + y2 + 2 = 0 Tìm toạ ñộ của ñiểm M biết rằng M cách ñều các ñiểm A, B, C và mặt phẳng ( α ).
Câu VIIb (1,0 ñiểm) Cho n là số tự nhiên, n≥ 2.Tính
2 2 1 2 2 2 2
1
2 1 2 2 2 2
n
k
=
………… Hết…………
Trang 31
đáp án đề thi thử ựại học khối A năm 2011
* Tập xác ựịnh: R
* Sự biến thiên
- Chiều biến thiên
yỖ = 3x2 Ờ 12x + 9
yỖ = 0 ⇔ x = 1
hoặc x = 3
0,25
- Hàm ựồng biến trên mỗi khoảng (Ờ∞; 1) và (3; +∞)
Hàm nghịch biến trên khoảng (1; 3)
- Cực trị: Hàm số ựạt tới cực ựại tại x = 1, ycự = 2
Hàm số ựạt tới cực tiểu tại x = 3, yct = Ờ2
−∞
→ x
y
+∞
→ x
y
0,25
- Bảng biến thiên
y
Ờ∞
2
Ờ2
+∞
0,25
* đồ thị Tâm ựối xứng I(2; 0)
điểm phụ
x = 4 y = 2
x = 0, y = -2
x =
2
1
y =
8 9
x
0,25
(1) ⇔ e3t Ờ 6e2t + 9et + m = 0
2
-2
0
y
Trang 4ðặt x = e > 0 ta ñược (1) trở thành
x3 – 6x2 + 9x + m = 0
⇔ x3 – 6x2 + 9x – 2 = – m – 2 (2)
0,25
Ta có phương trình (2) là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị
(C) và ñường thẳng (d): y = –m – 2
⇒ số nghiệm của (2) chính là số giao ñiểm của (C) và d
0,25
Mỗi nghiệm t ∈ (–ln2; +∞) của phương trình (1) cho một nghiệm x ∈
(
2
1
; +∞) của phương trình (2) và ngược lại
Do ñó (1) có 3 nghiệm phân biệt ∈ (–ln2; +∞)
⇔ (2) có 3 nghiệm x ∈ (
2
1
; +∞)
0,25
(2) có 3 nghiệm x ∈ (
2
1
; +∞) khi d cắt (C) tại 3 ñiểm có hoành ñộ
thuộc khoảng (
2
1
; +∞) , f(
2
1
) = 8 9
Dựa vào ñồ thị
8
9 < –m – 2 < 2
–4 < m < –
8 25
0,25
Phương trình ⇔ sinx(1 – 2sin2x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
⇔ sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
0,25
⇔
2
1
sin3x +
2
3 cos3x = cos4x
⇔ cos(3x –
6
π
) = cos4x
0,25
⇔ 3x –
6
π
= 4x + k2π x = –
6
π
+ k2π
3x –
6
π
= –4x + k2π x =
42
π
+ k 7
2π
(k ∈ z)
0,25
II
ðiều kiện –2 ≤ x ≤ 2
Phương trình ñã cho tương ñương với
4 x
4 x 6 x
2 2 4 x 2
x 2 2 4 x 2 x 2 2 4 x
2
2 +
−
=
− +
+
− +
+
−
− +
0,25
Trang 53
⇔
4 x
4 x 6 x 2 2 4 x 2
4 x 6
2 +
−
=
− +
+
−
⇔ 6x Ờ 4 = 0 ⇒ x =
3 2
2x+4 +2 2−x = x2 + 4 (1)
0,25
(1) ⇔ 2x + 4 + 4(2 Ờ x) + 4 ( 2x+4 2−x) = x2 + 4
⇔ 4 2x+4 2−x Ờ ( x2 + 2x Ờ 8) = 0
⇔ 4 2x+4 2−x Ờ ( x Ờ 2) (x + 4) = 0
⇒ 2−x(4 2x+4 +(x+4) 2−x) = 0
0,25
⇒ x =2
4 2x+ 4+(x +4) 2−x = 0
Với x ∈ [-2; 2]: 4 2x+4 +(x+4) 2−x > 0
⇒ x = 2
đáp số: Phương trình có 2 nghiệm x =
3
2
, x = 2
0,25
ựiểm
1 2
1 cos cos
2
x
= ∫ + − ∫ = −
1
2 cos 2( cos cos ) 4 2
π
=
π
2
0
2 sin
2xd x I
8 2
=
I
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 6a) -Gọi O là tõm ủỏy ABC, cm A’O ⊥ (ABC),
tớnh A’O=OA.tan600=a 3 =a
3 3
=>
4
3
4
3 3
2 ' ' '
a a
a
V ABC B C = = b) Kẻ Bx//IA ; OK⊥Bx; OH⊥A’K
Chứng minh OH⊥IA và d(IA;BA’)=OH -Xột tam giỏc vuụng A’OK:
5 ) '
; (
5 1 4 '
1 1
1
2 2 2 2 2
2
a BA IA d
a a a OA OK
OH
=
⇒
= +
= +
=
0,25
0,25 0,25
0,25
c
z b
y a
1 ,
1 , 1
=
Do abc= 1 ⇒ xyz= 1 nên ta có
y x
z x z
y z y
x A
+
+ +
+ +
Aps dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương ta có:
2
3 2
3 2
3 2
2 2
=
≥ + +
≥ +
+ +
+
z y x y x
z x z
y z y x
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy minA =
2
3
khi a = b = c =1
0,25
0,25 0,25 0,25
Cõu B PHẦN RIấNG (3,0 ủiểm)
VI.a
1
I(1;1); R=2; K(4;1), R’=1;
Phương trình IK: y=1 A ∈ IK => A(a ;1)
2
1 '
A AK AI
R
R AI
AK
⇒
=
⇒
=
= Tìm tọa độ điểm M(3;1) ⇒ Phương trình
(AM) : (x-5) 2 + (y-1) 2 = 4
0,25 0,25 0,25 0,25
x
y
Trang 75
2
Gọi C(x;y;z) =>
( 3) 8 (1)
− + + + =
(2)-(3): 2z - 2y= - 2 => y= z + 1 (1)-(2) : 4x + 4z + 4 = 0 => x = -z - 1 Thay vào (1) => 3z 2 + 10z + 3=0 => z = -3
3
1
; 3
2
; 3
2 ( ' );
3
; 2
; 2
−
C
0,25 0,25 0,25 0,25
VII.a
Ta có
=
−
−
+
−
≥
⇔
= +
n n
n n n
n
n n C
) 2 )(
1 (
! 3 7 )
1 ( 2
3 1
7 1
3 2
0 36 5
3
=
−
−
≥
n n n
Suy ra a8 là hệ số của 8
x trong biểu thức 8 ( 1 −x)8+ 9 ( 1 −x)9.
Đó là 8 C88 + C9 98 = 89
0,25 0,25
0,25 0,25
VI.b
2 2 2
2
>
>
=
b
y a
x
- Giả thiết
=
= +
⇔
) 2 ( 8
) 1 ( 1 9 4
2
2 2
c a
b a
Ta có ( 2 ) ⇔a2 = 8c⇒b2 =a2−c2 = 8c−c2 =c( 8 −c).
) 8 (
9 8
4
=
−
+
c c
=
=
⇔
= +
−
⇔
2 13
2 0
26 17
2 2
c
c c
c
12 16 : ) ( 12 ,
16
2 2 2
2 = b = ⇒ E x + y =
a
* Nếu
2
13
=
4 / 39 52 : ) ( 4
39 ,
52
2 2 2
2 = b = ⇒ E x + y =
a
0,25
0,25
0,25 0,25
2
Giả sử M(x0;y0;z0) Khi đó từ giả thiết suy ra
5
2 2 )
2 ( ) 3 ( )
1 ( )
1
=
− +
− +
= +
− +
= + +
Trang 8
+ +
= + +
−
− +
− +
= +
− +
+
− +
= + +
−
⇔
) 3 ( 5
) 2 2 ( )
1 (
) 2 ( )
2 ( ) 3 ( )
1 (
) 1 ( )
1 ( )
1 (
2 0 0 2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
y x z y x
z y
x z y
x
z y
x z y x
Tõ (1) vµ (2) suy ra
−
=
= 0 0
0 0
3 x z
x y
0 0
2
0 8 10 ) ( 3 2 ) 3
(
5 x − x + = x +
=
=
⇔
3 23 1
0
0
x
x
−
⇒
).
3
14
; 3
23
; 3
23 (
) 2
; 1
; 1 (
M M
0,25
0,25 0,25
1
2 1 2 2 2 2
n
k
=
=
( 1) 2 2
k k k k
Xét khai triển
(1+x)n=
0
n
k k n k
C x
=
∑
+) n(1+x)n-1= 1
1
n
k k n k
kC x −
=
∑ , lấy x=2 ta ñược
1
2
n
k k n k
kC −
=
1
2
n
k k n k
kC
=
∑
2
( 1)
n
k k n k
k k C x −
=
−
2
( 1) 2
n
k k n k
k k C −
=
−
2
( 1) 2
n
k k n k
k k C
=
−
∑
Vậy S=n.3n-2(2+4n)
0,25
0,25
0,25 0,25