chuyên đề TOÁN đại số lớp 10

+ Để xác định hiệu của A và B ta làm như sau: Vẽ trục số, biểu diễn tập A trên trục số, biểu diễn tập B trên trục số nhưng không gạch bỏ phần bên ngoài, gạch bỏ tập B, phần còn lại khôn

CHƯƠNG 1: TẬP HỢP- MỆNH ĐỀ.

Dạng 1: Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định chỉ có tính đúng hoặc sai

Mệnh đề phủ định: phủ định của P là P ( nếu P sai thì P đúng, P đúng thì P sai)

Mệnh đề kéo theo P⇒Q (nếu P thì Q, vì P nên Q)

Mệnh đề Q⇒P là mệnh đề đảo của P⇒Q

Mệnh đề tương đương P⇔Q

Mệnh đề P⇔Q chỉ đúng khi P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề và cho biết tính đúng sai:

a) Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam

b) Về nhà, các em không làm bài tập sao?

c) Mời e lên bảng!

d) 2 là số lẻ

e) Hôm nay lớp chúng ta có học Toán không?

f) Lập phương của một số thực thì luôn luôn dương

Ví dụ 2: Viết các mệnh đề sau dùng kí hiệu ∀ ∃, , cho biết tính đúng sai và phủ định mệnh

đề đó (phủ định: Với mọi là tồn tại; bằng là khác; ≥ là <)

a) A: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1”

b) B: “Tích của số 2 với bất kì số tự nhiên nào cũng đều khác 1”

c) Tất cả các số nguyên đều là số dương

d) Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn chính nó

x x x x

Dạng 3: Các phép toán: hợp, giao, hiệu, phần bù

Giao: A B∩ ={x x A v x B| ∈ à ∈ } (Lấy phần chung)

Hợp: A B∪ ={x x A hoac x B| ∈ ∈ } (Gom lại hết)

Hiệu: A B\ ={x x A v x B| ∈ à ∉ } (Chỉ lấy những phần tử thuộc A, bỏ đi những phần tử

thuộc B)

Nếu B⊂ A thì A B\ gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C B A

+ Để xác định giao, hợp của hai tập hợp ta làm như sau:

Vẽ trục số, biểu diễn các số từ bé đến lớn của hai tập hợp, biểu diễn hai tập hợp trên trục số

(phần không thuộc tập hợp thì ta gạch bỏ) Giao của hai tập hợp là phần không gạch bỏ Hợp của hai tập hợp là phần gạch bỏ một lần và phần không gạch bỏ.

+ Để xác định hiệu của A và B ta làm như sau: Vẽ trục số, biểu diễn tập A trên trục số, biểu

diễn tập B trên trục số nhưng không gạch bỏ phần bên ngoài, gạch bỏ tập B, phần còn lại

(không gạch bỏ) chính là A B\ Khi kết luận A B\ chú ý tập B, nếu ở tập B dáu ngoặc nhọn thì ta chuyển sang dấu ngoặc tròn và ngược lại.

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT - BẬC HAI

=

− +n) y= 3+ −x 3−x

t) (2 16)6 1

x y

y

x x

−

−v) 15 32 15 3

+

=+ −

x x

−

=

−Bước 2: Rút gọn, xét dấu A

Nếu A>0: hàm số đồng biến trên K

Nếu A< 0: hàm số nghich biến trên K

Do A> 0 nên hàm số đồng biến trên (− +∞1; )

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( ) 2x 32

Do A<0 nên suy ra hàm số nghịch biến trên (3;+∞)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số trên R:

x

+

=+ trên (− +∞5; )

TH2: Miền xác định D đối xứng nhưng ( ) ( )

4

42

x y

x

=+f) y= 3+ −x 3−x

Dạng 4: Các bài toán liên quan đến hàm số y ax b a= + ( ≠0)

Ví dụ 1: Viết pt đường thẳng d y ax b: = + biết

a) d đi qua hai điểm A( ) (1;0 ;B − −3; 2)

b) d song song với đường thẳng d y′: =4x−9 và đi qua A(−3;1)

c) d vuông góc với đường thẳng : 1 10

5

d y′ = x+ và đi qua B(10; 2)

d) d song song với trục hoành Ox (y=0) và đi qua điểm A( )2;3

e) d vuông góc với trục tung Oy (x=0) và đi qua điểm A(− −1; 2)

f) d có hệ số góc k=2 và đi qua điểm N( )1; 4

g) d song song với đường thẳng y=2x+4 và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện

g) d song song y=2x+4 nên pt d có dạng: y=2x b+ và b≠4

+ Thay x=0 vào pt d ta được y b= Vậy d cắt trục Oy tại điểm B( )0;b

+ Thay y=0 vào pt d ta được

= − , đỉnh ;

b I

Ví dụ 6: Xác định các parabol tương ứng với các điều kiện cho trước như sau:

a) (P): y ax= 2− +bx 8 qua A(2;-2) và có trục đối là 3

2

x= −b) ( ) :P y ax= 2+ −bx 5 qua A(-2;3) và có hoành độ đỉnh là 1

( ) :P y ax= − −bx 10 qua A(-4;8) và có hoành độ đỉnh là 3

2

x=d) ( ) :P y ax= 2−36x c+ qua A(-3;76) và có trục đối xứng là x=-6

a) Đi qua hai điểm M( ) (1;5 ,N −2;8)

b) Đi qua điểm A(3; 4− ) và có trục đối xứng là 3

2

x= −

c) Có đỉnh I(2; 2− )

d) Đi qua điểm B(−1;6) và tung độ của đỉnh là 1

4

−a) Vì (P) đi qua hai điểm M( ) (1;5 ,N −2;8) nên ta có hệ: 5 2 2

1

a b

a b

b a

b) (P) đi qua hai điểm A( ) (0;1 ,B 2; 4− ) và có trục đối xứng là đường thẳng x=4

c) (P) đi qua điểm A( )1; 2 và có đỉnh I( )2;1

a b c

a b c

KT45: (các phép toán trên tập hợp+ liệt kê các phần tử)

Câu 1(1đ) Liệt kê các phần tử của tập hợp sau: A= ∈{x ¢: 3 va 6xM − ≤ ≤x 4}

Câu 2(3đ) Cho hai tập hợp sau: X = +∞[1; ) Y = −( 2;3]

y= f x =x − mx (Đồ thị hs+ bài toán liên quan)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Tìm m để hàm số trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB= 3

b) (0.5đ) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là -2

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là -2 vậy x=0 nên m=-2

Câu 3 (2đ): Giải các phương trình sau:

x x

−

a) (1đ) Cho 4 điểm A,B,C,D Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuurAB CD+ =AD CB+

b) (1đ) Cho tam giác ABC vuông tại B Biết BC=3a, AC=5a Xác định u CA CBr=uuur uuur− và tính ur

Câu 6 (2đ):

Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(2; 7 ;− ) (B 5; 3 ;− ) (C − −6; 10)

a) (0.75đ) Tính uuur uuurAB AC

b) (0.75đ) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

c) (0.5đ) Xác định tọa độ đỉnh I sao cho B là trung điểm AI

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Giải phương trình f x( ) =g x( )

Để giải pt f x( ) =g x( ) ta thực hiện các bước sau:

1 Tìm điều kiện của phương trình

2 Với đk đó:

• Suy ra tập nghiệm của pt

• Hoặc sử dụng các phép biến đổi tương đương (hay phép biến đổi hệ quả)

để biến đổi pt đã cho thành một pt đã biết cách giải

3 So sánh với đk để tìm tập nghiệm của pt

12 x2− 2− = +x 3 x−4 ĐS: không có giá trị nào của x thỏa mãn đồng thời

2 đk trên Vậy pt đã cho vô nghiệm

x x

Dạng 2: Định tham số m để phương trình bậc nhất, bậc hai có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

+ Các yêu cầu thường gặp:

Định m để pt bậc nhất có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm, có nghiệm

Định m để pt bậc hai có nghiệm kép, vô nghiệm, hai nghiệm phân biệt

Định m để pt bậc hai có hai nghiệm x x1, 2 thỏa thêm điều kiện nào đó (thường liên quan đến định lí viet)

a b c

(2) có nghiệm đúng với mọi

000

a) Vô nghiệm b) Có nghiệm kép c) Có hai nghiệm phân biệt

d) Có một nghiệm là 5, tìm nghiệm còn lại

4

dung a

m m

d) Vì 5 là nghiệm nên thay vào (1) ta được m=-2

a) x2+(m−2)x m+ + =5 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa hệ thức 2 2

1 2 10

x +x =b) (m−1)x2+2(m+2)x m+ + =1 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa hệ thức 2 2

x +x =c) 2

1 2

1

x +x =f) Biết pt có một nghiệm là 3, hãy tìm giá trị m trong trường hợp này và tính nghiệm còn lại

Ví dụ 5: Cho pt mx2+(m2−3)x m+ =0

a) Xác định m để pt có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó

b) Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm x x1, 2 thỏa hệ thức 1 2

134

x + =x

c) Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x1+ =x2 2x x1 2

d) Biết pt có một nghiệm là 2, tính nghiệm còn lại

Ví dụ 6:

a) Định m đê pt 3x2−5x m+ =0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa 1 2

59

x + =x

b) Định m∈¢ để pt 5x2+mx−28 0= có hai nghiệm x x1, 2 thỏa 5x1+2x2− =1 0

c) Định m để pt 2mx2+2(m2− −m 2)x− =7 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 = x2

x − m− x m+ − m+ = có hai nghiệm thỏa x1 + x2 =2 2

(HD: Bình phương dùng viet và thế vào)

27

a m= b m= − c m= d m=

Ví dụ 7: Cho hai pt x2− + =x m 0 ( )1 ; x2− + =3x m 0 ( )2 Định m để pt (2) có một

nghiệm khác 0 và bằng 2 lần nghiệm của (1)

HD: Gọi x0 là nghiệm cần xét của (1); thế x0 vào (1); thế kx0 vào (2) rồi giải hệ.)

Tính biểu thức đối xứng:

Biểu thức đối xứng đối với x x1, 2 là biểu thức không đổi khi ta hoán vị x x1, 2 Để tính biểu thức đối xứng: biến đổi biểu thức để xuất hiện S P, (chủ yếu dùng hằng đẳng thức) sau đó dùng định lí viet

GTLN, GTNN của tam thức bậc hai

1) Tam thức ax2+ + =bx c 0(a>0) đạt GTNN khi

2

b x a

= − (2)2) Nếu tam thức bậc hai có biến x bị giới hạn thì (1) và (2) không chắc đúng Khi ấy dùng bảng biến thiên là mạnh nhất Chỉ được sử dụng pp còn lại (pp1) khi biết chắc rằng

2

b a

−thuộc tập giá trị x

Dạng 3: Phương trình chứa trị tuyệt đối

124

Xét trường hợp h x( ) =0 xem x có là nghiệm của pt không

Với h x( ) ≠0, chia hai vế cho n h x( ) thì được: ( )

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Một bđt có thể có nhiều cách khai thác và cách chứng minh khác nhau

Ứng dụng bđt để tìm GTLN, GTNN thì lưu ý dấu bằng phải xảy ra trong điều kiện xác định

Có hai phương pháp để chứng minh bđt: từ bđt cần chứng minh ta biến đổi về bđt đúng;

từ bđt đúng đã biết biến đổi về bđt đúng đã biết.

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương

Dùng các tính chất cơ bản của bđt để biến đổi tương đương bđt cần chứng minh về một bđt đúng

Có hai dạng: Bđt đúng hiển nhiên( ( )2

A M ≥ trong đó từ giả thiết thì có

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức đơn giản

Loại 1: BĐT chứng minh được bằng cách biến đổi tương đương

Dùng biến đổi tương đương chứng minh các bất đẳng thức sau

Ta lại có ( )** đúng vì a≥0,b≥0 nên a b+ ≥ 0 Vậy (*) đã được chứng minh

Loại 2: BĐT chứng minh được bằng cách dùng các bất đẳng thức cơ bản (Cô si,…)

Chú ý: Biến đổi bất đẳng thức cần chsung minh về dạng có thể áp dụng được bđt Cô si với

2) Chứng minh : a) a b c+ + ≥ ab+ bc+ ca a b c; , , ≥0

b) a b2 2+b c2 2+c a2 2 ≥abc a b c( + + ) với a,b,c tùy ý.

642

a a

+ ≥+

Nếu hai số có tích không đổi thì tổng của chúng bé nhất khi chúng bằng nhau

Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi chúng bằng nhau

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của cá biểu thức sau đây:

x − <

−+

Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của bpt:

a) x > −x x≥ ∨ − ≥ ⇔ =0 x 0 x 0 thế x=0 vào bpt: 0 0 sai> ( ) Vậy S= ∅b) x− < +3 1 x−3 dk x: ≥3, trong đk đó thì x− < +3 1 x−3 (đúng) S =[3;+∞)

f x Trái dấu a 0 Cùng dấu a f x( ) Cùng dấu a

( )

f x cung dau a 0 cung dau a

Hai nghiệm phân biệt

( )

f x cung dau a 0 trai dau a 0 cung dau a

Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau:

x

− +

=

−

Dạng 2: Giải bất phương trình tích, thương

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

x x

x

≤+

Chủ đề 3: Một số bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất, bậc hai

Dạng 1: Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

A B

A B

Cách giải cũng giống như giải pt chứa căn thức, ta thường làm theo các bước sau:

B1: Đặt điều kiện để các biểu thức chứa căn có nghĩa

B2: Lũy thừa hai vế để khử căn thức

2 2

+ Phương trình ax2+ + =bx c 0 ( )1 có hai nghiệm:

Phân biệt Không nói gì về phân biệt

00

a≠



⇔ ∆ ≥

+ Phương trình 2 ( )

+ Phương trình ax2+ + =bx c 0 ( )1 có hai nghiệm cùng dấu

Phân biệt Không nói gì về phân biệt

000

Phân biệt Không nói gì về phân biệt

0000

a

S P

a

S P

Phân biệt Không nói gì về phân biệt

0000

a

S P

a

S P

+ Tam thức không đổi dấu trên R

a) hai nghiệm phân biệt b) hai nghiệm trái dấu

c) hai nghiệm đều dương d) hai nghiệm đều âm

c) hai nghiệm đều dương d) hai nghiệm đều âm

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

e) Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x, y= f x( ) = x2+mx m+ −1

f) Với giá trị nào của tham số m, bất phương trình vô nghiệm? (m+2)x2−2(m−1)x+ <4 0

f) Bất phương trình (m+2) x2−2(m−1)x+ <4 0 vô nghiệm

Vậy − ≤ ≤ 1 m 7 thỏa ycbt

Ví dụ 11: Tìm các giá trị của m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x:

Khi m=2 thì 0x≤1 nghiệm đúng với mọi x

( )

cot α+kπ =cotα

Dấu của các giá trị lượng giác: NHẤT CẢ- NHÌ SIN- TAM TAN COT- TỨ COS

COS ĐỐI- SIN BÙ – TAN COT π - PHỤ CHÉO

Công thức cộng:

sin(a b− =) sin cosa b−cos sina b (3)

sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b (4)

(sin thì sincos cossin; cos thì coscos sinsin dấu trừ)

Công thức nhân đôi

sin 2a=2sin cosa a (1)

2

c a

a= −

; 2 1 os2tan

c a a

c a

−

=+

Dạng 1: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại của cung đó.

+ Nếu biết trước sinα thì dùng công thức: 2 2

α

= ; cot os

sin

c αα

+ Nếu biết trước tanα thì dùng công thức: 2

dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại sinα = tan osαc α, cot 1

c a

Làm tương tự như bài toán trên.

Ví dụ 3: Tính sin , cos , t ana,cota a a biết:

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức biết một giá trị lượng giác

Cho tan chia cos; cho cot chia sin; cho cos nhân tan; cho sin nhân cot

a c a

=

−k) Cho cos 3

tan a−60 biết cos 2

Dạng 6: Chứng minh một đẳng thức lượng giác

Phương pháp: Biến đổi VT thành VP hoặc VP thành VT hoặc chứng minh tương đương

=+

sin 2 sinx

x c x

x x

sin a c− os a= sina+cosa sina−cosa , chia tử và

mẫu cho cos a

sin a c+ os a−sin a c− os a=sin acos a Biến đổi:

sin a c+ os a= sin a+cos a sin a−sin acos a c+ os a

d) t ana tan tan a tan

tan a−sin a=tan a sin a

n) t ana sin cos

=

−

m) 2

a c a A

=

sin sin 4 sin 7

16cos

a a a

−

=

−   Tính sin , cos , t ana,cota a a

Dạng 8: Chứng minh một biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào x

Bằng các công thức biến đổi thích hợp, ta có biểu thức nhận một giá trị là một số cụ thể (hằng số) không chứa x Khi đó ta kết luận biểu thức không phụ thuộc vào x

Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức lượng giác sau không phụ thuộc vào x:

A B C+ + = , cos đối, sin bù, tan cot π, phụ

chéo và các công thưc lượng giác.

Ví dụ 1: Cho A,B,C là 3 góc của tam giác Chứng minh rằng:

 − 

Hướng dẫn: Xác định điểm cuối của các cung 3

2π α− ,… thuộc cung phần tư nào, từ đó

xác định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.

+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của cung

α và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục nằm

(Ox) là trục cosin; khi α thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm trên

cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= -

+ Nếu biết trước sinα thì dùng công thức: sin2α +cos2α =1 để tìm cosα, lưu ý:xác định

dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại tan sin

os

c

αα

α

= ; cot os

sin

c αα

+ Nếu biết trước cosα thì tương tự như trên.

+ Nếu biết trước tanα thì dùng công thức: 2

dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại sinα = tan osαc α, cot 1

425

2π α π< < nên sinα <0, osc α >0,cotα <0

Các bài tập còn lại làm tương tự.

Bài tập 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác: (Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một

sin

c αα

+ + Biến đổi: sin2a c− os2a=(sina+cosa) (sina−cosa), chia tử và

mẫu cho cos a

sin a c+ os a−sin a c− os a=sin acos a Biến đổi:

sin a c+ os a= sin a+cos a sin a−sin acos a c+ os a

d) t ana tan tan a tan

m) tan2a−sin2a=tan a sin2 2a

n) t ana sin cos

sinsin

−   Tính sin , cos , t ana,cota a a

Van de 2: ĐƠN GIẢN- TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai π”

+ Chú ý: Với k∈¢ ta có:

( )

Bài tập 1: Đơn giản các biểu thức:

d) D=tan10 tan 20 tan 70 , tan 800 0 0 0

( an10 tan 800 0) (tan 20 tan 700 0) ( an 30 tan 600 0) (tan 40 tan 500 0)

e) E c= os200+cos400+cos600+ + cos1800

( os200 os1600) ( os400 os1400) os1800 1

(cos1600 =cos 180( 0−200) = −cos200; tương tự những phần còn lại nên cos200+cos1600 =0)

Van de 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức cộng:

sin(a b− =) sin cosa b−cos sin (3)a b

sin(a b+ =) sin cosa b+cos sin (4)a b

Hướng dẫn: Phân tích thành tổng hoặc hiệu của hai cung đặc biệt

Phân tích 150 =600−450 hoặc 450−300 rồi sử dụng các công thức cộng