Giải tích B2: Hàm nhiều biến ppt

GTLN-GTNN toàn cục.

HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm riêng và ứng dụng

Nguyen Van Thuy

Hàm hai biến

 Hàm 2 biến là một quy tắc gán mỗi cặp số thực

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 với duy nhất một số thực ký hiệu 𝑓(𝑥, 𝑦)

Tập 𝐷 được gọi là miền xác định và miền giá trị

của hàm 𝑓 là tập 𝑇 = *𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦)𝐷+

2/26/2011

𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦)

𝐷

𝑥

𝑦

𝑂

Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-2

Ví dụ

 Cho hàm số

𝑥2+ 𝑦2

c) không xác định

d) Miền xác định: 𝐷 = *(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)+

2.1.2 4

(1, 2)

1 2 5

2.1.0



2.0.0 0

0 0 0



Ví dụ

 Cho hàm

𝑓 𝑥, 𝑦 = ln (𝑥 + 𝑦 − 1)

a) Tính 𝑓(1,1) b) Tính 𝑓(𝑒, 1)

c) Tìm và vẽ miền xác định của hàm 𝑓

d) Tìm miền giá trị của hàm 𝑓

 Tìm và vẽ miền xác định của hàm

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4 − 𝑥2− 𝑦2

Đồ thị

 Đồ thị của hàm 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 là tập hợp

2/26/2011

3 {( , , ) | ( , ), ( , ) }

G x y z  z f x y x y D

(𝑥, 𝑦, 0)

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑆

𝐷

𝑥

𝑦

𝑧

𝑂

Mặt cong S

Miền xác định

Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-5

Đồ thị

 Vẽ đồ thị hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2+ 𝑦2

P lot3D[ Sqrt[x^2+y^2],{x,-2,2},{y,-2,2}]

-2

0 2 -2 0 2 0

2

4

-2

0 2

Đồ thị

plot3d(sqrt(x^2+y^2),x=-2 2,y=-2 2)

Đồ thị

 Ví dụ Dùng Mathematica hoặc Maple, vẽ đồ

thị các hàm sau

𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2+ 𝑦2

𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2+ 3𝑦2)𝑒−𝑥 2 −𝑦 2

𝑐) 𝑓 𝑥, 𝑦 =sin 𝑥 sin 𝑦

𝑥𝑦

Đường mức

 Cho mặt cong (S): 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Đường cong

(C): 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ được gọi là đường

mức của mặt cong (S)

 Ứng dụng: bản đồ

 Vẽ đường mức của hàm 2 biến

Mathematica

Contour[f(x,y),{x,a,b},{y,c,d}]

Đạo hàm riêng

 Định nghĩa Đạo hàm riêng của hàm 𝑓 theo

biến 𝑥 tại điểm (𝑎, 𝑏)

Tương tự

2/26/2011

'

0

( , ) ( , ) ( , ) lim

f a h b f a b

f a b

h



 



'

0

( , ) ( , ) ( , ) lim

f a b h f a b

f a b

h



 



Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-10

Đạo hàm riêng

 Nhận xét

 Khi tính , ta xem 𝑦 là hằng số

 Khi tính , ta xem 𝑥 là hằng số

 Ví dụ Cho hàm

Tính

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng?

2/26/2011

'

x

f

'

y

f

f x y x  y  x

(1, 2), (1, 2)

Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-11

Ví dụ

 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm

số sau

a) b)

c) d)

D[f(x,y),x]; D[f(x,y),y]

f x y

x y





y

f x y x x

10

z x y f x t( , )arctan(x t)

Vi phân

 Vi phân cấp 1 của hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑧 = 𝑧′𝑥𝑑𝑥 + 𝑧′𝑦𝑑𝑦

 Ví dụ Tìm vi phân cấp 1 của hàm 𝑧 =

ln 𝑥 − 𝑦

𝑎) 𝑑𝑧 =𝑑𝑥 − 𝑑𝑦

𝑥 − 𝑦 𝑏) 𝑑𝑧 =

𝑑𝑦 − 𝑑𝑥

𝑥 − 𝑦 𝑐) 𝑑𝑧 =𝑑𝑥 − 𝑑𝑦

2(𝑥 − 𝑦) 𝑏) 𝑑𝑧 =

𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 2(𝑥 − 𝑦)

Ý nghĩa hình học của vi phân

Đạo hàm riêng cấp 2

 Đạo hàm riêng cấp 2

 Vi phân cấp 2

𝑑2𝑓 = 𝑓′′𝑥𝑥(𝑑𝑥)2+2𝑓′′𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓′′𝑦𝑦(𝑑𝑦)2

 Ví dụ Tìm vi phân cấp hai 𝑑2𝑧 của hàm

𝑧 = 𝑥2𝑦3

" ' ' " ' '

" ' ' " ' '

Đạo hàm riêng cấp 2

D[f(x,y),{x,2}] = D[f(x,y),x,x]

D[f(x,y),{y,2}] = D[f(x,y),y,y]

D[f(x,y),x,y]; D[f(x,y),y,x]

 Ví dụ Tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp 2

của hàm số

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3+ 𝑦3− 3𝑥2𝑦 + 1

GTLN-GTNN địa phương

GTLN-GTNN địa phương

 Tìm điểm dừng

 Tính

 Nếu 𝐷 < 0: 𝑀(𝑥0, 𝑦0) là điểm yên ngựa

 Nếu 𝐷 = 0: chưa có kết luận

 Nếu 𝐷 > 0

 : 𝑓 đạt GTNN địa phương tại 𝑀(𝑥 0 , 𝑦0)

 : 𝑓 đạt GTLN địa phương tại 𝑀(𝑥 0 , 𝑦0)

'

0 '

0

0 0

x y

x x f

y y f



" " " 2

0 0 0 0 0 0

( , ) ( , ) ( ( , ))

Df x y f x y  f x y

"

( , ) 0

xx

f x y 

"

( , ) 0

xx

f x y 

GTLN-GTNN địa phương

 Điểm yên ngựa

GTLN-GTNN địa phương

 Ví dụ (tự do)

Cho hàm 𝑧 = 𝑥2+ 4𝑥𝑦 + 10𝑦2+ 2𝑥 + 16𝑦

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) 𝑧 đạt cực đại tại 𝑀 −1,1

b) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑀 −1,1

c) 𝑧 đạt cực đại tại 𝑁 1, −1

d) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑁 1, −1

GTLN-GTNN địa phương

 Ví dụ (có điều kiện)

Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 𝑥2 𝑦 + 1 − 3𝑥 + 2

với 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 Khẳng định nào sau đây

đúng?

a) 𝑧 đạt cực đại tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2)

b) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2)

c) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và đạt cực đại tại

𝐵(1, −2)

d) 𝑧 không có cực trị

GTLN-GTNN địa phương

 Ví dụ Tìm GTLN, GTNN địa phương và điểm

yên ngựa (nếu có) của hàm số

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥𝑦2− 15𝑥 − 12𝑦

GTLN-GTNN toàn cục

 Tìm GTLN, GTNN toàn cục của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦)

trên tập đóng, bị chặn D

 B1 Tìm các điểm dừng của f bên trong tập

D và giá trị của 𝑓 tại các điểm đó

 B2 Tìm các giá trị cực trị của 𝑓 trên biên

của D

 B3 GTLN (nhỏ nhất) trong các giá trị ở các

bước 1 và 2 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

toàn cục

GTLN-GTNN toàn cục

maximize(f(x,y),location)

Maximize[f, {x, y}]

Maximize[{f,ràng buộc},{x,y}]

GTLN-GTNN toàn cục

 Tìm GTLN toàn cục của hàm

𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 240𝑥 + 270𝑦 − 100

Maximize[-x^2-x*y-y^2+240*x+270*y-100,{x,y}]

 Tìm GTLN toàn cục của hàm

𝑓 𝑥, 𝑦 = 2160𝑥 + 3360𝑦 − 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 − 400

Với điều kiện 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 480𝑥 + 720𝑦 ≤ 331200



Maximize[{2160*x+3360*y-x^2-2*x*y-2*y^2-400,x>=0,y>=0,480*x+720*y<=331200},{x,y}]

GTLN-GTNN toàn cục

GTLN-GTNN toàn cục

GTLN-GTNN toàn cục