slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit

slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptitslide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit slide chương 1 giải tích 2 :Hàm nhiều biến cô Dung Học viện công nghệ bcvt ptit

Trang 1

GIẢI TÍCH 2

2

1.TÀI LIỆU HỌC:

-Toán cao cấp tập 3 ( Nguyễn Đình Trí)

- Giáo trình Giải tích 2 (Thầy Vũ Gia Tê)

2.TÀI LIỆU THAM KHẢO:

Bài tập Toán cao cấp tập 3 ( Nguyễn Đình Trí)

Trang 2

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

1 Tập hợp , khoảng cách, lân cận, tập mở,

tập đóng, tập bị chặn

n



§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2 Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của của hàm nhiều biến

3 Giới hạn của hàm số nhiều biến

4 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

Trang 3

Trang 4

* Cho M 0 n và   0

Tập  M  n : ( , d M M 0)   

được gọi là  - lân cận của M 0.

* Tập V  được gọi là một n lân cận của M0

nếu V chứa một  - lân cận nào đó của M 0.

Trang 5

Trang 6

Trang 7

(gọi là quả cầu mở tâm

(gọi là quả cầu đóng tâm

tồn tại một quả cầu đóng nào

Trang 8

* Tập D  n được gọi là tập liên thông nếu có thể

nối hai điểm bất kì thuộc D bằng một đường liên tục

nằm hoàn toàn trong D.

Trang 9

Trang 10

• Tập liên thông được giới hạn bởi một mặt kín gọi là miền đơn liên

• Tập liên thông được giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một gọi là miền đa liên

Trang 11

2 Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ

thị của hàm nhiều biến

gọi là một hàm số của n biến số xác định trên D

D được gọi là miền xác định của hàm số f

1, , ,2 n

x x x gọi là các biến số.

Trang 12

* Nếu hàm số được cho bởi một biểu thức thì miền xácđịnh của hàm số là

* Cho hàm hai biến z  f x y ( , ) với ( , ) x y  D

Tập hợp  M x y z ( , , ) :( , ) x y  D  3

được gọi là

Đó thường là một mặt trong không gian 3.

hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng xOy là

Trang 13

Ví dụ : Tìm miền xác định của hàm số sau:

Ngoài ra, nếu mặt S xác định bởi PT z  1  x2  y2

thì hình chiếu của S lên mặt phẳng xoy là miền hình

tròn xác định bởi: x2  y2  1.

tập các điểm

Trang 14

3 Giới hạn của hàm số nhiều biến

   13  2.1.2  3 

Trang 15

0

1 lim

Trang 16

4 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

Trang 17

Trang 18

§2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN

Trang 19

1 Đạo hàm riêng

Cho hàm số u  f x y  ,  xác định trên miền D và

0( , )0 0 .

M x y  D Cố định y  y0,

nếu hàm số một biến x  f x y ( , )0 có đạo hàm tại x0

thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f theo biến

x tại ( , ). x y0 0 Kí hiệu là: f x yx ( , )0 0 hay f ( , ) x y0 0

Trang 20

Trang 21

0

( , ) ( , ) lim

Trang 22

Trang 23

Trang 24

Ví dụ:

Cho u x z2 arctan , y

z

 tính u x y z u x y z u x y zx ( , , ), y ( , , ), z ( , , ) Giải:

2

1 1 1

1 arctan

Trang 25

2 Đạo hàm riêng của hàm số hợp

* Định lí:

Xét hàm số hợp z z x y  ( , ) với x x s t y  ( , ),  y s t ( , )

Giả sử z zx  , y liên tục Khi đó:

z s







z t

Trang 26

Trang 27







u t

Trang 28

VD: Cho z  yf x ( 2  y2) với f t ( ) là hàm số có ĐH liên tục

Trang 29

Trang 30

§ 2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN

2 Hàm số u  f x y ( , ) được gọi là khả vi trong miền D

nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D.

Trang 31

§ 2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN

B Điều kiện cần để hàm số khả vi

Định lý: Nếu f x y ( , ) khả vi tại ( , ) x y0 0 thì liên tục tại đó

Trang 32

Trang 33

liên tục tại M x y0( , )0 0 thì f x y ( , ) khả vi tại M0.

Chú ý: Tính chất khả vi của tổng, tích, thương hai hàm

nhiều biến cũng giống như ở hàm một biến.

Trang 34

Trang 35

Trang 36

Trang 37

Trang 39

Ví dụ: Tính gần đúng 1,05

arctan

0,97Giải:



  0,785 0,04 0,825  

Trang 40

Trang 41

F Tính bất biến của biểu thức vi phân

Như vậy, dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù x y, là các

biến độc lập hay là hàm của các biến s, t

Trang 42

4 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

A Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu

tồn tại) sẽ được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f

Trang 43

Trang 44

Định lý (Định lí Schwarz ):

( , )

f x y có các đạo hàm riêng fxy , fyx

trong một lân cận của M x y0 ( ,0 0 ) và các đạo hàm

riêng này liên tục tại M0 thì fxy  fyx tại M0.

Định lý cũng đúng cho hàm n biến bất kì Chẳng hạn, xét hàm f x y z( , , )

xyz xzy yxz

f   f   f   nếu các đạo hàm riêng này liên tục.

ta có:

Nếu hàm số

Trang 45

Trang 46

Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz, ta có:

Trang 47

Trang 48

Trang 49

biến không có tính bất biến

C Công thức Taylor

Định lí: Giả sử hàm số f x y( , ) có các đạo hàm riêng đến cấp n 1

liên tục trong một lân cận của điểm M x y0( , )0 0 và điểm

Trang 50

 Hệ quả:

1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ).

Trang 51

Nếu có hàm số y  y x ( ) xác định trên khoảng X  

sao cho  x y x , ( )   D và F x y x   , ( )  0 với mọi x X 

Trang 52

Tương tự, hệ thức F x y z  ( , , ) 0 có thể xác định một hay

nhiều hàm số ẩn z z x y  ( , ).

Trang 53

B Điều kiện tồn tại hàm ẩn, đạo hàm của hàm ẩn

trong lân cận trên

Trang 54

( , , )

x z

F x y z z

Trang 55

2(1 )

.

y y





2 2

1

x y

Trang 56

§2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN Cho xyz x y z    Coi z là hàm số ẩn, tính z z dz x, , .y

z

F z

yz xy



y y

z

F z

xz xy

Trang 57

Lấy vi phân toàn phần hai vế của PT hàm ẩn, ta có:

yz xy



 z y 1 .

1

xz xy

Trang 58

Cho u x y v x y ( , ), ( , ) là các hàm ẩn xác định từ hệ PT

sin cos

u x

Trang 59

2 1 (1,0)

Trang 60

6 Đạo hàm theo hướng, Građiên

Gọi l 1 là véctơ đơn vị của  .l

Qua M0 dựng đường thẳng d định hướng bởi  .l

Trang 61

Xét các điểm M  d ,

Nếu tồn tại giới hạn 0

0

( ) ( ) lim f M f M

Trang 62

Trang 63

Trang 64

c) Cách tính

Định lí: Nếu hàm số f x y z ( , , ) khả vi tại M x y z0( , , )0 0 0

thì f có đạo hàm theo mọi hướng  l tại M0 và

Trang 65

1(cos ,cos ,cos )

là véc tơ đơn vịthì    l1, ox ,     l1, oy ,     l1, oz 

1 ( , , ) (cos ,cos ,cos )

l   x y z    

Ox

Trang 66

Trang 67

Trang 68

Trang 69

Véctơ đơn vị của véctơ  l  (1, 2,2)

Trang 70

§3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1 Cực trị tự do

2 Cực trị có điều kiện

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trang 71

1 Cực trị tự do

để với mọi M trong lân cận đó

là điểm trong của D



Trang 72

Định lý: (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị)

Nếu hàm số f x y ( , ) đạt cực trị tại M x y0 ( , )0 0 và có các

ĐHR f fx , y tại M0 thì f Mx ( 0) 0  và f My ( 0) 0 

Trang 73

* Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f

là điểm dừng của hàm số f

* Điểm dừng hoặc điểm mà tại đó các ĐHR của

f không tồn tại gọi là điểm tới hạn của f

Trang 74

Định lý: ( Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị)

Giả sử hàm số f x y ( , ) có các ĐHR đến cấp 2 liên tục trong

một lân cận của điểm M x y0 ( , )0 0

Trang 75

Chứng minh:

Xét M x ( 0   x y , 0   y ) trong lân cận nào đó của M0.

Theo công thức Taylor

Trang 76

Trang 77

Khi A      0 f 0 f đạt cực tiểu tại M0.

Khi A      0 f 0 f đạt cực đại tại M0.

cùng dấu với A

Trang 78

Trang 79

x y

f f

x y

Trang 80

Trang 81

Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu là  6 tại điểm M1(1,1),

đạt giá trị cực đại là 6 tại điểm M  4( 1, 1).

Trang 82

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z x  4  y4

Giải:

Có z x

0 0

x y

z z

x y

Trang 83

Trang 84

( ) ( )

f f M f M x

    có dấu thay đổi

Vậy f không đạt cực trị tại điểm M0 (0,0).

Hàm số không có cực trị

* Trong mọi lân cận cận của đều chứa các điểm

(   f 0 khi x  0,   f 0 khi x  0)

Trang 85

* Mở rộng với hàm nhiều biến:

Chẳng hạn xét hàm 3 biến f x y z ( , , ).

Giả sử f x y z ( , , ) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên

tục trong một lân cận của M x y z0( , , ).0 0 0

Trang 86

Trang 87

0

1 0

3

x y z

x f

Trang 88

Trang 89

2 Cực trị có điều kiện

a) Định nghĩa:

Cực trị của hàm số f x y ( , ) trong đó các biến x y ,

phải thỏa mãn điều kiện g x y  ( , ) 0 gọi là cực trị cóđiều kiện

Trang 90

b) Định lí ( Điều kiện cần)

Giả sử M x y0( , )0 0 là điểm cực trị của hàm

số f x y ( , ) với điều kiện g x y  ( , ) 0 và

i) Các hàm số f g , có các đạo hàm riêng cấp một liên

tục trong một lân cận của M x y0( , )0 0

ii) g gx , y không đồng thời bằng 0 tại M x y0( , )0 0

Khi đó, tồn tại    sao cho

0 0

( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0

Trang 91

0 0

( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0

gọi là các điểm dừng của hàm số f

* Các điểm dừng hoặc các điểm không thỏa mãn các

điều kiện i, ii của định lí trên gọi là các điểm tới hạn

của hàm số f

Trang 92

* Nhận xét:

Điểm cực trị có điều kiện của hàm số f (nếu có)

phải là điểm tới hạn

Trang 93

Trang 94

Bài toán chính là tìm cực trị của bình phương khoảng

cách từ điểm O (0,0) đến các điểm M x y ( , ) thuộc

Trang 95

c) Phương pháp nhân tử Lagrange

Xét hàm số L x y ( , , )   f x y ( , )   g x y ( , )

Giải hệ

0 0 ( , ) 0

x y

L L

Trang 96

Điểm M x y0( , )0 0 là điểm dừng của hàm số f

Trang 97

Khi đó:

* Nếu d L x y2 ( , , ) 00 0 0  thì M x y0( , )0 0 là điểm cực

tiểu của hàm số f với điều kiện g x y  ( , ) 0.

* Nếu d L x y2 ( , , ) 00 0 0  thì M x y0( , )0 0 là điểm cực

đại của hàm số f với điều kiện g x y  ( , ) 0.

* Nếu d L x y2 ( , , )0 0 0 đổi dấu thì M x y0 ( , )0 0 không là

điểm cực trị của hàm số f với điều kiện g x y  ( , ) 0.

Trang 98

Giải:

Giải hệ

0 0 0

x y

L L

1 0

y x

Trang 99

Trang 100

Vậy f đạt giá trị cực đại tại M0,

0

1 ( )

Trang 101

x y z

L L L

x y z

Trang 102

Hàm số f có một điểm tới hạn là M0(1,1,1) ứng với

Trang 103

Với điều kiện

(1,1,1) 0

dx dy dz dg

Trang 104

Vậy hàm số f đạt giá trị cực tiểu tại điểm M0(1,1,1).

0

( ) 1 1 1 3.

f M    

Trang 105

3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng,

bị chặn

Giả sử hàm số f x y ( , ) liên tục trên miền đóng, bị chặn D

Để tìm GTLN, GTNN của f trên D, ta

* Tìm giá trị của f tại các điểm tới hạn (trong D)

* Tìm GTLN, GTNN của f trên biên của D

* So sánh các giá trị trên.

( các điểm có các đạo hàm riêng đồng thời = 0

hoặc không xác định)

Trang 106

x y

f f

Trang 107

Cả 5 điểm tới hạn trên đều là điểm trong của miền D

Trang 108

1 , 4

Trang 109

Xét hai bài toán sau:

2 Tìm GTLN,NN của hàm số f x y ( , ) trên đường g x y  ( , ) 0

1 Tìm cực trị của hàm số f x y ( , ) với điều kiện g x y  ( , ) 0

B

So sánh f N( ), (1 f N2), ( ), ( )f A f B

tìm được GTLN,NN …

( bài toán 2)

Trang 110

Định dạng
Số trang	110
Dung lượng	3,82 MB