Khảo sát hàm số

Khảo sát hàm số

GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

1.KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax 3 +bx 2 +cx+d Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4 Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 1 3 x y = −x + +x Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − +x3 3x2 −4x +2 Giải Ví dụ 1: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y’ = 3x2 + 6x y’ = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0 ⇔ x = 0; x = - 2 Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm – vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên Giới hạn: xlim→+∞y= +∞; lim x y →−∞ = −∞ Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm 3 lim ?? x x →±∞ =

Bảng biến thiên: x -∞ -2 0 +∞

y' + 0 - 0 +

y 0 +∞

-∞ - 4

Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0 Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4 y’’ = 6x + 6 y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2)) Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu (nếu không có thì không nêu ra) Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = -2; x = 1 Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = - 4 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy  Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy  Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)

GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax 4 +bx 2 +c

Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x4 - 2x2 – 3

Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

4

2 3

x

y= − − +x

Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= − +x4 2x2−2

Giải Ví dụ 4:

Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS

số y’ = 4x3 - 4x

y’ = 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔ x(4x2 – 4) = 0⇔ x = 0; x = 1; x = - 1

Bước 2:

Giới hạn: xlim→+∞y= +∞; lim

x y

hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm 4

lim ??

x x

→±∞ =

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 0 1 +∞

y' - 0 + 0 - 0 +

y +∞ -3 +∞

-4 -4

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3

dòng”: dành cho x, y’ và y

Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3

Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4

x = 1; y = -4

Bước 5: Phải nêu các điểm cực đại;

các điểm cực tiểu

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:

x = ; y = 0

x = - ; y = 0

Giao điểm với Oy:

x = 0 ; y = - 3

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo

thứ tự gợi ý sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy

 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để

vẽ đúng dạng

(tham khảo các dạng đồ thị ở sau đây)

x

y

O

•

I

x

y

O

•

I

a < 0

a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x

y

O

• I

x

y

O

• I

a < 0

a > 0

CĐ

GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6

Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương

KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN: y ax b

cx d

+

= + ( tử và mẫu không có nghiệm chung)

Ví dụ 7: Khảo sát hàm số 2

1

x y x

− +

= + .

Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2

2 1

x y x

−

= +

Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 2

x y

x

−

=

−

Giải Ví dụ 7:

Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS

số y’ = 3 2

(x 1)

−

+ < 0 ∀x∈D.

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định

Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để

khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra:

Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn luôn tăng )

Giới hạn và tiệm cận:

Tiệm cận đứng x = - 1 vì xlim→−1− y= −∞;

1

lim

x + y

Tiệm cận ngang: y = - 1 vì xlim→−∞y= −1 lim 1

x y

→+∞ = −

Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận

là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 +∞

y'

-y -1 +∞

-∞ -1

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3

dòng”:

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:

y = 0 ⇒ x = 2

Giao điểm với Oy:

x = 0 ⇒ y = 2

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo

thứ tự gợi ý sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy

 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang

 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm

duy nhất x = 0

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân

biệt

GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

(tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)

Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9

Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến

CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1) Cho hàm số y = x3 – mx + m + 2 có đồ thị là (Cm)

a) Khảo sát hàm số khi m = 3

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3

Bài 2) Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0

a) Xác định m để hàm số có cực trị

b) Khảo sát hàm số trên Gọi đồ thị là (C)

c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA

Bài 3) Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :

(x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

−

+

−

thẳng x = 3, x = 4

y

I

x

y

O

Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến

x O

I

GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

Bài 5 Cho hàm số: y =2x2 −x4 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

nghiệm phân biệt.

Bài 6) Cho hàm số: y = −x4 + 2mx2, có đồ thị (Cm), ( m là tham số)

12

12

− )

1

x y x

+

=

− . KQ: -28 < a ≤ 0

Bài 9 ) Cho hàm số: 2 3

1

x y

x

−

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ

xúc với đồ thị (C)

Kết quả: m < - 2 hay m > 3

1

x mx mx

Kết quả: - 1 < m < 1

Bài 12) Tìm tham số m để hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực

Kết quả : ∀m và x2 – x1 = 1

GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

Bài 13) Xác định tham số m để hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu Giả

sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

1 2 1 2

y y

x x x x

−

Kết quả : m < 1

Bài 14) Cho hàm số: y =x4 − 2x2

a) Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 15) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 - 1, đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

1

y =ax -

B

ài 16 ) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên

Bài 17): Cho hàm số : y = − +x3 3x2 −2, đồ thị ( C )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

c) d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt

Bài18) Cho hàm số: 3

1

y x

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

Bài 19) Cho hàm số: y =x4 −2x2 +1

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C)

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox

Bài 20) Cho hàm số : y = −(1 x2 2) −6, đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng