skkn giải toán hình học bằng phương pháp tọa độ trong chương trình trung học phô thông lớp 10

Về mặt nguyên tắc, bất kì bài toán hình học nào cũng có thể giải được bằng phươngpháp toạ độ phương pháp đại số.. Cũng vậy, nhiều bài toán hình học được giải một cách nhanhchóng, gọn gàn

MỤC LỤC

MỤC LỤC ……… 1

I PHẦN MỞ ĐẦU……… 2

1/ Lý do chọn đề tài:……… 2

2/ Mục tiêu nghiên cứu:………. 2

3/ Nhiệm vụ nghiên cứu:……… 2

4/ Các phương pháp nghiên cứu:……… 3

5/ Đối tượng nghiên cứ:………… ……… 3

6/ Những đóng góp mới của đề tài:……… 3

II PHẦN NỘI DUNG:……… 4

A NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:……… 4

I/ Các kiến thức cơ bản về toạ độ:……… 4

II/ Vận dụng phương pháp toạ độ vào giải toán:……… 6

III/ Bài tập tự luyện: ……… 22

B KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:……… 23

III PHẦN KẾT LUẬN:……… 25

1/ Kết luận:……… 25

2/ Tài liệu tham khảo: ……… 25

IV NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG: …… 26

PHẦN MỞ ĐẦU

1/ Lý do chọn đề tài:

Trong những năm gần đây, bộ môn Toán của Tỉnh Hưng Yên đã có những tiến bộ

và thành tích trong những kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia ngày càng tốt hơn Qua quátrình nghiên cứu, theo dõi các đề thi học sinh giỏi và những lần dạy ôn thi học sinh giỏi đãkhẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là cần thiết và không thể thiếu được trong chương trìnhtoán THPT và thi học sinh giỏi

Trong các kì thi Olympic, bài toán hình học cổ điển luôn là một trong những bàitoán hay Cài hay của bài toán không chỉ ở mức độ khó của bài mà còn ẩn chứa trong kếtquả của bài toán, những đặc trưng, tích chất hình học được khai thác

Về mặt nguyên tắc, bất kì bài toán hình học nào cũng có thể giải được bằng phươngpháp toạ độ (phương pháp đại số) Tuy nhiên, nhiều bài toán hình học giải bằng phươngpháp tổng hợp thông thường lại đi đến kết quả một cách khá nhanh chóng và đương nhiênlời giải cũng đẹp hơn nhiều Cũng vậy, nhiều bài toán hình học được giải một cách nhanhchóng, gọn gàng nếu sự dụng phương pháp toạ độ

Có thể nói rằng, phương pháp toạ độ là một phương pháp vạn năng, có thể giải đượcmọi bài toán hình học Các bạn đã quen với hình học suy luận đôi khi không thích đến

phương pháp dựa nhiều vào tính toán này Tuy nhiên, thế mạnh của phương pháp toạ độ

là giúp ta giải quyết được các bài toán quỹ tích khó, hoặc các bài chứng minh mà ta khônggiải được bằng suy luận Phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả trong lúccòn ít thời gian vì dù phải tính toán hơi rắc rối nhưng không cần phải suy nghĩ nhiều Việcgiải nhanh hay chậm của phương pháp này phụ thuộc nhiều vào phương pháp, kĩ năng tínhtoán của chúng ta, phụ thuộc vào việc chọn hệ trục lúc ban đầu như thế nào

Do vậy, tôi viết chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng những yêu cầu trên cũngnhư góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của tỉnh nhà

2/ Mục tiêu nghiên cứu:

Bài viết này nhằm hệ thống kiến thức về phương pháp toạ độ, trình bày các kết quảqua quá trình nghiên cứu phương pháp toạ độ Giúp các em học sinh có kiến thức tốt vềphương pháp toạ độ, mở ra một số hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo nhữngbài toán mới

3/ Nhiệm vụ nghiên cứu:

* Hệ thống và phân loại toán nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan hơn vềphương pháp toạ độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng và việc vận dụng phươngpháp vào từng laọi toán đó như thế nào

* Qua các vị dụ minh hoạ trong chuyên đề, người viết có những nhận xét hoặc các

gợi ý về việc định hướng giải toán Đồng thời thông qua lời giải các bài toán đó giúp họcsinh hình thành phương pháp giải toán cũng như các kỹ năng, kỹ xảo cần thiết khi vậndụng phương pháp toạ độ vào giải toán.

* Thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy toán làm cho học sinh sáng tạo tìmnhững kết quả mới, lời giải hay trên một loại bài, giúp bản thân nắm vững hơn nữa vềphương pháp toạ độ, đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm ở thầy cô ở tổ Toán

4/ Các phương pháp nghiên cứu:

* Phương pháp suy luận, tổng hợp: kết hợp với các đề thi học sinh giỏi rút ra nhữngkinh nghiệm, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng mới

* Phương pháp trò chuyện – phỏng vấn: trao đổi với nhiều học sinh khá giỏi để nắmtình hình sử dụng phương pháp toạ độ trong giải bài toán không gian

* Phương pháp khảo sát: bản thân được tham dự các kỳ chấm thi học sinh giỏi nên

có nắm được tình hình sử dụng các phương pháp làm bài của các em học sinh

* Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bản chất vấn

đề, lựa chọn được phương pháp giải cho phù hợp

5 Đối tượng nghiên cứu.

- Các tài liệu: SGK, các đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia, quốc tế…

- Học sinh trường THPT chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển học sinh giỏiQuốc Gia

6 Những đóng góp mới của đề tài.

- Về mặt lý luận, chuyên đề hệ thống lý thuyết cần thiêt và tư duy phương pháptrong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đồng thời thông qua chuyên đề cũng cung cấp chohọc sinh một phương pháp “đa năng” cho việc giải toán, không chỉ với các bài toán hìnhhọc phẳng

- Về mặt thực tiễn, chuyên đề là một tài liệu tham khảo đối với giáo viên dạy độituyển toán đồng thời là một tài liệu học tập đối với học sinh chuyên toán

PHẦN NỘI DUNG

A NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I Các kiến thức cơ bản về toạ đô, véc tơ.

I.1: Kiến thức toạ độ

1 Toạ độ của vectơ và của diểm trên trục

Cho u nằm trên trục (O, i)  a   sao cho: u a.i   Số a như thế được gọi là

toạ độ của vectơ u đối với trục (O, i)

Cho điểm M trên trục (O, i)   OM m.i  

số m như thế được gọi là toạ độ của

điểm M trên trục (O, i).

2 Toạ độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục toạ độ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nếu a x.i y.j    thì cặp số (x ; y) được gọi là toạ độcủa vectơ a , ký hiệu là a (x; y) ;

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của OM được gọi là toạ độ của điểm M

4 Phương trình của đường thẳng, đường tròn:

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy có dạng:

ax + by + c = 0 , a2b2 0.Đường tròn tâm I (a; b ) bán kính R có phương trình là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

Cho hai đường tròn (C1): (x – a1)2 + (y – b1)2 = 2

1

R (C2): (x – a2)2 + (y – b2)2 = 2

2Rkhi đó phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn là:

2 a  a x 2 b  b y R  R 0

5 Phương trình các đường cônic

Phương trình chính tắc của parabol: y2 2px, p 0

Phương trình chính tắc của elip:

I.2: Xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ

1 Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ

a) Điểm M trùng với điểm N  OM ON

 (với vectơ AB, CD  là các vectơ chỉ phương của a, b)g) Tính độ dài đoạn thẳng AB: sử dụng công thức AB AB  AB2

 

2 Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho các điểm A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) và các véctơ

a ( x; y), b( x '; y').  Khi đó:

I.3 Thực hành phương pháp giải toán hình học bằng phương pháp toạ độ

1 Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ

Cần hướng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ đặc biệt làcác kiến thức về toạ độ của các phép toán trên các vectơ để làm cơ sở cho việc nghiên cứutoạ độ

Cần cho học sinh thấy rõ sự tương ứng 1 – 1 giữa các tập hợp điểm và tập hợp số.Trên đường thẳng: mỗi điểm ứng với một số thực xác định; Trên mặt phẳng: mỗi điểm ứng

mỗi hình trong mặt phẳng là một tập hợp điểm sắp thứ tự theo một quy tắc nào đó, do vậymỗi hình đó được xác định bởi một hệ rằng buộc nhất định tương ứng nào đó về mối liên

hệ giữa các toạ độ của các điểm trên hình đó, thể hiện học sinh phải có các kỹ năng cơ bảnsau :

+ Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ

độ điểm của hình H

+ Ngược lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ điểm củahình H thì M thuộc hinh H

2 Hướng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ

Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học: thẳng hàng, songsong, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc, nếu ta chọn hệ toạ độthích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với quan hệ giữa các số và giữa các vectơ,giữa các phép toán Các bài toán này rất có khả năng tìm ra được lời giải, thậm chí còn rấtngắn gọn

Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải được luyện tập vận dụng tổng hợpcác kiến thức liên quan

Học sinh cần nắm được quy trình :

+ Chọn hệ trục toạ độ thích hợp (đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu chọnthích hợp thì bài toan sẽ được giải quyết nhanh gọn);

+ Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ;

+ Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ;

+ Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán;

+ Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học

II Vận dụng phương pháp toạ độ vào giải các bài toán hình học phẳng.

1 Các bài toán chứng minh tính chất hình học: thẳng hàng, vuông góc, đồng quy… Bài 1: Cho ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm ACM, I

là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh rằng GI CM

Hướng dẫn

Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC Dựng hệ toạ độ

Oxy (như hình vẽ )

Các điểm A, B, C có toạ độ: A(0; h), B(- a; 0), C(a; 0)

(ở đây giả sử BC = 2a, OA = h )

Do M là trung điểm của AB nên M a h;

cũng chính là lợi thế của Phương pháp toạ độ.

Bài 2 (Thi vào chuyên Toán PTNK TP.HCM năm 2009): Cho đường tròn (O) đường kính

AB C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho ABC không cân tại C Gọi H làchân đường cao của ABC hạ từ C Hại HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng Cácđường thẳng EF và AB cắt nhau tại K Gọi D là giao điểm của (O) và đường tròn đườngkính CH, D khác C Chứng minh rằng K, D, C thẳng hàng

Hướng dẫn

K

I D

C

E

F

B O

H A

Chọn hệ trục toạ độ Hxy như hình vẽ, khi đó: H(0; 0); O(0; a); A(a – 1;0); B(a + 1; 0) vàC(0; b)  b2 = |(a – 1)(a + 1)| = 1 – a2

Phương trình đường tròn tâm I đường kính CH:

 Phương trình trục đẳng phương CD của (O) và (I) là: 2ax – by + b2 = 0

Phương trình AC: bx + (a – 1)y = b(a – 1)

by

K ;02a



Ta có, toạ độ K thoả mãn phương trình CD  K  CD Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng

Nhận xét: + Bài hình này ít khi nghĩ tới phương pháp toạ độ mà thường nghĩ tới phương

pháp khác Tuy nhiên, khi chọn hệ toạ độ khéo léo ta giải bài toán này mà không phải tínhtoán nhiều

+ Bài toán này có nhiều cách giải Trong phương pháp toạ độ như trên nhận xét

CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) là khá quan trọng, giúp ta giảmnhiềm trong việc tính toán Ý tưởng này cũng thường hay được sử dụng để viết phươngtrình đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn hay đường thẳng đi qua hai tiếp điểm

Bài 3 (China TST 1996): Cho tam giác ABC, đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần

lượt tại E, D Gọi F, G là hình chiếu của D và E trên BC; M là giao điểm của EF và DG.Chứng minh rằng AM  BC

Hướng dẫn

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ (chân đường cao hạ từ đỉnh A là gốc toạ độ)

Khi đó, giả sử toạ độ các đỉnh: A(0; 1);

B(b; 0); C(c; 0)

Ta thấy biểu thức trên đối xứng với b,c nên nếu gọi M’ = EF  Oy thì M’ trùng với M.

Do đó, EF cắt DG tại M thuộc trục Oy Vậy AM  BC (đpcm)

Nhận xét: + Dựa vào đề bài có nhiều yếu tố vuông góc và dựa vào hình vẽ ta thấy bài toán

này rất thuận lợi cho việc áp dụng toạ độ

+ Chú ý đến tính đối xứng của biểu thức toạ độ để việc tính toán thuận lợi hơn.

Bài 4: Cho hai hình vuông ABCD và AB’C’D’ cùng chiều Chứng minh các đường thẳng

BB’, CC’, DD’ đồng quy

Hướng dẫn

Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A(0; 0); B(0; 1); D(1; 0)

Gọi B’(a; b), vì hai hình vuông cùng chiều nên ta có:

D’(b; -a); C’(a + b; b – a), với (a, b)  (0, 1)

Khi đó phương trình các đường thẳng:

đường thẳng BB’: (1 – b)x + ay – a = 0 (1) D'

C' B'

D

C B

H  O

C B

A

đường thẳng CC’: (a + 1 – b)x + (a + b – 1)y – 2a = 0 (2)

đường thẳng DD’: ã + (b – 1)y – a = 0 (3)

Ta có (1) + (3) được phương trình (2) Do đó BB’ và DD’ cắt nhau tại I(x0; y0) thì (x0; y0) cũng thoả mãn phương trình CC’

Vậy 3 đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy tại I (đpcm)

Nhận xét: Bài toán này đề bài khá đơn giản, nhưng chứng minh bằng phương pháp tổng

hợp khá rắc rối Trong hình có nhiều yếu tố vuông góc nên có thể nghĩ tới cách dùng toạ

độ Với bài này ta có thể thấy ngay cách xây dựng hệ trục toạ độ để bài toán được đơn giảnhơn

2 Các bài toán chứng minh tính cố định.

Bài 5 (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008): Cho tam giác ABC với trung tuyến AD, đường

thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AD Xét điểm M trên (d) Gọi E, F lần lượt là trungđiểm của MB và MC Đường thẳng đi qua E và vuông góc với (d) cắt đường thẳng AB tại

P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với (d) cắt đường thẳng AC tại Q Chứng minh rằngđường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di độngtrên (d)

M F

E

2 2

Bài 6: Cho đường tròn (C) đường kính AB, đường thẳng (d) vuông góc với AB tại C cố

định H là điểm thay đổi trê (d) AH và BH cắt đường tròn (C) tại D và E Chứng minhrăng DE luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn

Xét hệ trục toạ độ Oxy sao cho C trùng với gốc

toạ độ; B(1 – c; 0); A(-1 – c; 0) và d trùng với Oy

Đường tròn đường kính AB: (x + c)2 + y2 = 1

Giả sử H(0; m), m thay đổi Gọi Q là giao điểm

D H

B A

Bài 7 (Báo THTT): Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định trên đường thẳng  cho trước.Với mỗi điểm M trên đường thẳng , xác định mỗi điểm N nằm trên  sao cho:

 Trên nửa mặt phẳng bờ , dựng nửa đường tròn ( ) đường kính

MN Chứng minh rằng khi M di động trên đường thẳng  thì nửa đường tròn ( ) luôn tiếpxúc với một đường tròn cố định

Hướng dẫn

Gọi O là trung điểm của AB

Chọn hệ trục Oxy với Ox  , ta xét các điểm

Ta sẽ chứng minh: ( ) luôn tiếp xúc với đường tròn (I; 1) với mọi x Thật vậy:

2 x 1





 Xét các trường hợp: + Nếu x > 1:

2(x 1) 4IK

+ Nếu x < 1:

2(x 1) 4IK

Suy ra: ( ) , (I;1) tiếp xúc ngoài với nhau

+ Nếu x = 1: ( ) suy biến thành một tia gốc B, vuông góc Ox, hướng theo chiều dương củaOy; đó cũng chính là tiếp tuyến của (I; 1)

Vậy nửa đường tròn ( ) luôn tiếp xúc với đường tròn (I; 1) cố định Ta có đpcm

3 Các bài toán quỹ tích.

Bài 8 (Đề chọn ĐT HSGQG trường PTNK TP.HCM năm 2008): Cho góc Ĩy và điểm P

nằm bên trong góc Đường tròn thay đổi qua I và P cắt hai tia Ix, IY lần lượt tại A, B Tìmquỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác IAB

Hướng dẫn

Ta dựng hệ trục toạ độ Oxy với Oy là trung trực

của IP và I(-1; 0); P(1; 0); C(0; a) và D(0; b) (b < 0)

là giao điểm của Oy với các tia Ix, Iy

Gọi K(0; m) là đường tròn thay đổi qua I và P

Tương tự, với quỹ tích trực tâm H

Nhận xét: Với bài toán này, không khó để dự đoán quỹ tích là một đường thẳng Với quỹ

tích là đường thẳng thì hoàn toàn có thể tự tin để giải bằng phương pháp toạ độ

Bài 9 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007): Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố

định và đỉnh A thay đổi Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC.Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC

Hướng dẫn

Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC

Đặt BC 2a 0  Khi đó tọa độ B( a ,0) ; C(a ,0) Giả sử A(x , y ) y0 0 0 0

Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình

0

x x(x a)(a x ) y y 0

>x

I H A

a  3a  bỏ đi hai điểm B, C

Bài 10 (Đề thi OLYMPIC 30/4 năm học 2008-2009): Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C

cố định và đỉnh A thay đổi Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đườngtrung tuyến AI của tam giác ABC tại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tíchđiểm A, biết rằng IH song song với KC

Hướng dẫn

Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là

đường thẳng BC

Đặt BC 2a 0  Khi đó B( a; 0); C(a; 0)

Giả sử tọa độ điểm A(x ; y ) với 0 0 y0 0

Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình:

y xx

Bài 11: Cho ABC có M là điểm di động trên cạnh BC Hạ MN, PQ tương ứng vuông góc

và song song với AB ( NAB, QBC ) Gọi P là hình chiếu của Q trên AB, I là tâm củahình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB