Phương pháp vectơ trong giải toán hình học phổ thông

Các dạng toán hìnhhọc có thể giải được bằng phương pháp vectơ là đa dạng, phong phú vàthường xuất hiện trong các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi.. Sách giáo khoa cũng đưa ra một vài

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm vectơ được hình thành từ rất lâu, bắt nguồn từ việc nghiêncứu các đối tượng có hướng Tuy nhiên đến đầu thế kỷ 19 vectơ mới đượcnghiên cứu và sử dụng một cách có hệ thống, gắn liền với việc biểu diễn hìnhhọc của số phức Thuật ngữ “vectơ” trong Toán học được W Hamilton đềxuất vào khoảng giữa thế kỷ 19 Ngày nay, vectơ đã hiện hữu trong nhiều lĩnhvực của Toán học, cũng như những ngành khoa học khác Các dạng toán hìnhhọc có thể giải được bằng phương pháp vectơ là đa dạng, phong phú vàthường xuất hiện trong các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi

Trong chương trình toán bậc phổ thông trung học hiện nay, vectơ đượcđưa vào giảng dạy ngay từ chương trình lớp 10, tuy nhiên với một thời lượngcòn khiêm tốn Sách giáo khoa cũng đưa ra một vài ứng dụng của vectơ,nhưng chưa chỉ ra việc định hướng tìm tòi lời giải bằng phương pháp vectơcũng như chưa chú trọng đến việc rèn luyện kỹ năng này

Nhằm tìm hiểu phương pháp vectơ, cùng với sự định hướng của TS

Nguyễn Ngọc Châu, tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp vectơ trong giải toán hình học phổ thông” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Phương pháp vectơ trong hình học phẳng, hình học không gian.

- Các dạng toán hình học giải được bằng phương pháp vectơ

- Ứng dụng phương pháp vectơ để giải một số bài toán thực tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp vectơ trong chương trình toán phổ thông

- Các dạng toán hình học phổ thông giải được bằng phương pháp vectơ

- Một số bài toán thực tế giải được bằng phương pháp vectơ

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các tài liệu về vectơ như sách giáo khoa, sách giáo viên, cáctài liệu chuyên đề về vectơ, …

- Khảo sát, phân tích, tổng hợp tài liệu để hệ thống và phân loại cácdạng toán giải được bằng phương pháp vectơ

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để thựchiện đề tài

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được chia thành hai chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở về vectơ

Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về vectơ cùng cáctính chất của nó để làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan có thểxem trong [9], [10], [11], [12], …

Chương 2 Ứng dụng của phương pháp vectơ

Chương này trình bày ứng dụng của phương pháp vectơ trong giải toán hình học phổ thông

CHƯƠNG IKIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VECTƠ

Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về vectơ cùng cáctính chất của nó để làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan có thểxem trong [9], [10], [11], [12], …

1.1 VECTƠ VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng

Định nghĩa 1.1 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí

hiệu AB

và đọc là “vectơ AB”

Vectơ còn được kí hiệu là a, b, x, y

, … x khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ – không và kí

hiệu 0

hướng tùy ý

là giá của vectơ đó.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song

hoặc trùng nhau Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược

Ta gọi độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối

của vectơ đó Độ dài của AB được kí hiệu là AB

a

Định nghĩa 1.2 Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng có

cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu AB  CD

.Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài

Nhận xét 1.1.

.iii) Mỗi vectơ có duy nhất một vectơ đối

Định nghĩa 1.3 Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0 Từ một điểm O bất

Định nghĩa 1.4 Trong không gian ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường

thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng

1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC VECTƠ

1.2.1 Phép cộng, phép trừ của hai vectơ

Định nghĩa 1.5 Cho hai vectơ avà b

Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB a 

Tính chất 1.1 [10] Với 3 vectơ a, b, c tùy ý, ta có:

cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD,

AA’ và có đường chéo là AC’

ii) Nếu ABCD là hình bình hành, thì AB  AD  AC

1.2.2 Phép nhân một vectơ với một số thực

Định nghĩa 1.7 Cho một số thực k 0 và vectơ a  0

định như sau:

ka cùng hướng với a, nếu k 0

ka ngược hướng với a, nếu k 0

.

Định nghĩa 1.8 Cho hai điểm A và B phân biệt Ta nói điểm M chia

đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 nếu      MA                       k MB

Định lý 1.1 [15] Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì với

điểm O bất kỳ, ta có:

1

OA kOB OM

Định lý 1.2 [10] Trong một mặt phẳng (P), cho hai vectơ a và b không

Định lý 1.3 [11] Trong không gian cho hai vectơ a và b không cùng

phương và vectơ c Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi

có duy nhất cặp số ( , )h k sao cho c ha  kb

Định lý 1.4 [11] Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b,

c



sao cho x ma  nb  pc

1.2.3 Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa 1.9 Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0 Tích vô hướng của

hai vectơ a và b là một số thực, kí hiệu là a.b và được xác định bởicông thức sau:

a b   a b c  a b  Nếu a  0 hoặc b  0, ta quy ước a b   0

Tính chất 1.3 [10] Với ba vectơ a b c  , , bất kì và mọi số thực k ta có:

ii) Tích vô hướng a a . được ký hiệu là 2

của vectơ a Ta có a2  a2

1.2.4 Định lý hàm số sin, hàm số côsin trong tam giác

Định lý 1.5 [10] (Định lý hàm số sin)

bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

Chương này trình bày ứng dụng của phương pháp vectơ trong giải toánhình học phổ thông

2.1 ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

Để ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán hình học phổ thông tathường tiến hành các bước như sau:

Bước 1: Chuyển đổi các giả thiết, yêu cầu của bài toán hình học sang ngônngữ vectơ

Bước 2: Giải bài toán theo ngôn ngữ vectơ

Bước 3: Chuyển đổi các kết quả thu được từ bài toán theo ngôn ngữ vectơ vềlại bài toán hình học ban đầu

Trong các bước trên, việc chuyển đổi ngôn ngữ ở bước đầu tiên là khâuquan trọng nhất Từ bước này ta có thể định hướng được cách giải của bàitoán

Để chuyển đổi ngôn ngữ tốt ta cần kết hợp giữa các biểu thức vectơ với

ý nghĩa hình học của chúng, đồng thời cố gắng mô tả chúng bằng các hìnhảnh trực quan

Để bước thứ hai được thực hiện tốt, cần thiết phải rèn luyện các kỹ nănggiải bài toán bằng phương pháp vectơ như là: phân tích vectơ theo hai vectơkhông cùng phương, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, các bàitoán tính tổng, hiệu các vectơ,…

Cũng trong bước này, ta thường chọn một hệ các vectơ cơ sở, phân tíchcác vectơ khác theo hệ vectơ cơ sở đó Sau đó tiến hành giải toán theo phươngpháp vectơ Khi chọn các vectơ cơ sở ta nên chọn sao cho các vectơ khácphân tích qua chúng thuận lợi nhất Kỹ thuật này có thể tích góp qua kinh

nghiệm giải toán Chẳng hạn, đối với hình tam giác ABC ta chọn hệ các vectơ

cơ sở là AB AC, 

, hình tứ diện ABCD ta chọn hệ vectơ cơ sở là

AB AC AD,  , 

, hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ ta chọn hệ vectơ cơ sở

Trong vật lý ta thường gặp các đại lượng có hướng như lực, vận tốc, …Người ta dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng đó Các phép toán trên nhữngđại lượng có hướng cũng được biểu thị qua các phép toán trên vectơ Do đónhiều bài toán vật lý được giải bằng công cụ vectơ

Bài toán 1: [10] Một xe tải chuyển động từ A đến B dưới tác dụng của lực F

Lực F tạo với hướng chuyển động một góc  , tức là

( ,F AB  ) 

Hãy tính công sinh ra bởi lực F

để đưa xe tải di chuyển

Lực F được phân tích thành tổng hai lực thành phần là F1 và F2

Trong đó F1 vuông góc với AB

xe chuyển động từ A đến B

 

chuyển từ A đến B mà ta đã biết trong vật lí

Bài toán 2: [10] Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp.

Hình 2.2: Kim tự tháp Kheops, Ai Cập Hình 2.3

Giả sử CD h là chiều cao của tháp, trong đó C là chân tháp Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Khi đó ta có thể đo được khoảng cách AB và các góc

CAD , CBD  Tính chiều cao của kim tự tháp đó.

Vậy ta tính được chiều cao của kim tự tháp





Bài toán 3: [11] Để đo chiều cao của Tháp Chàm Po Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách

12

AB  m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế.

Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm

A 1 , B 1 cùng thẳng hàng với C 1 thuộc chiều cao CD của tháp Người ta

h CD  1,3  C D1  1,3  21, 47  22,77 m

Bài toán 4: [10] Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông.

Hình 2.5

Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây

C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với

A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C Ta đo được khoảng

cách AB và các góc CAB  và CBA  Tính khoảng cách AC.

Bài toán 5: [4] Một chiếc ô tô bị chết máy được kéo bởi hai lực T 1

và T2 Trong đó, T1 tạo với trục dọc của xe một góc bằng 20 0 , T2 tạo với trục dọc góc  Tổng hợp lực R

của T1 và T2 (R T1  T2

) có phương trùng với trục dọc của xe và có cường độ 300N.

a) Tính cường độ của T 1

và T2 khi  300 b) Tính góc  khi cường độ của T2 nhỏ nhất có thể được; khi đó

Vận dụng định lý hàm sin vào tam giác ACD, ta có

đổi, còn cường độ thì phụ thuộc vào vị trí

của điểm B trên tia Ay Hình 2.7

nên T2 có độ dài nhỏ nhất khi BC có độ dài BC nhỏ nhất



B

O G

Bài toán 6: [18] (Cơ học)

Một thanh dài OA có trọng tâm ở giữa thanh

và khối lượng m = 1kg Đầu O của thanh liên kết

với tường bằng bản lề, còn đầu A được treo vào

tường bằng một sợi dây AB Thanh được giữ nằm

ngang và dây làm với thanh một góc α = 30 o Lấy

có giá đồng quy nên giá của Q

không vuông góc với tường mà đi qua điểm I (giao điểm của giá các lực P T , 

I

Từ  1  Q T thế vào (2) ta được 2 sinT  P

Vì tam giác AIO cân tại I nên Q = T

Khi đó F2 Q2  T2  2QTcos 2 2 (1T2  cos2 ) 2 (2sinT2 2)

Bài toán 7: [19] (Định luật bảo toàn động lượng)

Một quả đạn khối lượng m đang bay theo phương nằm ngang với vận tốc v 5 3m/s thì nổ thành hai mảnh có khối lượng bằng nhau Mảnh 1 bay thẳng đứng xuống với vận tốc v 1 10m/s Hỏi mảnh 2

bay theo hướng nào với vận tốc bao nhiêu?

Bài toán 8: [19] (Điện trường)

Cho hai điện tích điểm q 1 = 10 -6 C, q 2 = -2.10 -6 C đặt tại hai điểm

A, B cách nhau 20cm trong không khí Xác định vectơ cường độ điện trường tại điểm M cách đều A, B các khoảng AM = BM = 20cm.

- Theo định lý hàm côsin đối với tam giác MEE 1, ta có:

Nên BC  AC2 AB2  2AC AB cosA

Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra được Định lí hàm số côsin (Định lý 1.5 )

b) Áp dụng

Bài toán 10: [9] Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi m a ,

m b và m c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B

và C của tam giác Hãy tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Bài toán 11: [10] Hai lực f1

và f2 cho trước cùng tác dụng lên một vật

Phương pháp: Ta dùng quy tắc ba điểm hoặc quy tắc hình bình hành,

kết hợp với các tính chất của phép cộng vectơ để thực hiện phép biến đổitương đương

Bài toán 12: [6] Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) GA  GB  GC 0

, b) M , MA  MB  MC 3MG

Lời giải

a) Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng với G qua M

Tứ giác GBDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗiđường nên là hình bình hành

Bài toán 14: [11] Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm của AD

và BC O là trung điểm của MN Chứng minh các đẳng thức sau:

Vì AM, BN, CP là các trung tuyến

2.3.3 Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Phương pháp: Thiết lập mối liên hệ vectơ giữa các đối tượng, rồi từđó

khai triển bằng phương pháp xen điểm hoặc phân tích thành hiệu của haivectơ cùng gốc

Bài toán 16: [10] Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến là AK

và BM Hãy phân tích các vectơ AB BC CA,  ,

theo hai vectơ u AK,

Lời giải

Gọi G là giao điểm của AK và BM

Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC

Bài toán 17: [10] Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I là trung

điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho 1

k

k k

2.3.4 Tìm tập hợp các điểm thoả mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp: Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng

được xác định, cụ thể như sau:

với O, A cố định và k  R thì tập hợp điểm M là đườngthẳng OA

Bài toán 19: [17] Cho tứ giác ABCD.

a) Xác định điểm O sao cho OB  4OC 2OD

Bài toán 20: [14] Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có

2.3.5 Chứng minh hai điểm trùng nhau

Phương pháp: Muốn chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau, tachứng minh OA 1  OA2

hoặc ta chứng minh A A 1 2 0

, với O là một điểmtùy ý

Bài toán 23: [6] Cho tam giác ABC Lấy các điểm A1BC, B1AC,

Vậy hai tam giác ABC và A B C có cùng trọng tâm.1 1 1

Bài toán 24: [6] Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam giác ANP

và tam giác CMQ có cùng trọng tâm.

Bài toán 25: [3] Cho lục giác lồi ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và tam giác NQS có cùng trọng tâm.

Phương pháp: Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta cần

BD // CH (cùng vuông góc AB) và BH // DC (cùng vuông góc AC)Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm của HD.Nên OI là đường trung bình của tam giác AHD.

(1)Mặt khác, vì I là trung điểm của BC

nên theo hệ thức trung điểm ta có

(2)Cộng vế (1) và (2) ta suy ra

Bài toán 27: [1] Cho tứ giác ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thay

đổi trên các cạnh AD, BC sao cho AM CN

Vì E là trung điểm của AC và I là

trung điểm của MN nên ta có Hình 2.24

Bài toán 28: [7] (Định lý Menélaus) Cho tam giác ABC và các điểm