SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Việc hướng dẫn học sinh giải toánkhông phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu màcòn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràngbuộc

MỤC LỤC

A.MỞ ĐẦU 2

1 Lí do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

I Cơ sở lí luận 3

II Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4

III Nội dung, biện pháp thực hiện 4

1 Kiến thức cần nắm 5

2 Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong giải các bài toán hình không gian 10

IV Hiệu quả bước đầu của SKKN 19

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Hình học không gian là một môn học tương đối khó có tính hệ thốngtương đối chặt chẽ, logic và trừu tượng Việc hướng dẫn học sinh giải toánkhông phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu màcòn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràngbuộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suynghĩ để giải bài toán cho phù hợp với trình độ học sinh ở trường THPT

Trong các đề thi THPT quốc gia gần đây các bài toán hình học không giannhư tính khoảng cách, tính thể tích, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, bàitoán về xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng,giữa hai mặt phẳng trong không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giảiđược bằng cả phương pháp hình học thuần túy và cả phương pháp tọa độ Việcgiải các bài toán Hình học bằng phương pháp thông thường sẽ khá phức tạp vàkhó khăn cho các em học sinh lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quên kiếnthức, kỹ năng chứng minh, dựng hình…trong không gian

Với những bài toán đó thì phương pháp tọa độ cho ta lời giải nhanhchóng, dễ dàng hơn, tuy nhiên học sinh cũng gặp không ít khó khăn Bởi vì,phương pháp này không được đề cập nhiều trong sách giáo khoa, học sinh phổthông ít được tiếp cận

Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán Hình họckhông gian chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia Tôi đưa ra một sáng kiến nhỏ:

“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán hình học không gian bằngphương pháp tọa độ’’ giúp học sinh với kiến thức của mình có thể hiểu rõ đượcphương pháp, giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng này

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:

Giúp học sinh giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng bài tập

“Sử dụng tọa độ để giải một số bài tập về hình không gian”

` Giúp học sinh vận dụng được lí thuyết vào giải toán, thực hiện tốt nguyên

lí giáo dục “học đi đôi với hành”

Đây là kiến thức không mới nhưng nếu người giáo viên không có sự đầu

tư đúng mức thì hiệu quả thu được sẽ không cao

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp sưu tầm, tham khảo tài liệu có thể phục vụ cho việc tiến hànhnghiên cứu giải pháp

- Phương pháp trao đổi, lấy ý kiến đối với đồng nghiệp về nội dung giải pháprồi rút ra kinh nghiệm cho bản thân

- Phương pháp tổng hợp, phân tích và tổng quát hóa để xây dựng giải pháp

4 Đối tượng và phạm vi áp dụng.

- Giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán

- Học sinh lớp 12, trường THPT Tống Duy Tân – Vĩnh Lộc – Thanh Hóa

B NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

I Cơ sở lí luận:

Vào năm 1637, nhà toán học RénéDescartes đã cho xuất bản cuốn “LaGéométrie” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ đánh dấumột bước tiến mạnh mẽ của toán học Descartes là nhà toán học thiên tài đã khaisinh ra phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùngngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh caocủa sự khái quát hóa và trừu tượng hóa toán học trong nhiều lĩnh vực

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và họcsinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thứcnào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải quyết một bài toángồm:

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2: Xây dựng thuật giải

 Bước 3: Thực hiện thuật giải

 Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông,đặc biệt là dạy hình học là giáo viên hướng dẫn cho học sinh biết sử dụngphương pháp tọa độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dung linh hoạt và sáng tạocác kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và các công thức có liên quan vào

giải toán Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo cácbước sau:

hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng

Tuy nhiên trong thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụngvào giải toán thật không đơn giản với học sinh, vì đây là một quá trình nghiêncứu trừu tượng hóa và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Dovậy thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quên với việcgiải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Cách giải bài toánnhư vậy gọi là phương pháp tọa độ hóa

II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Vì chất lượng đầu vào thấp nên năng lực của các em còn hạn chế Với tâm

lý sợ môn toán nhất là môn hình học nên nhiều em bỏ không học hoặc cố học

mà không vào (hổng kiến thức hình học các lớp dưới) hoặc chậm tiếp thu kiếnthức mới Khi dạy hình học không gian chỉ một bộ phận ít học sinh có thể tiếpthu nội dung: vẽ hình, chứng minh các bài toán đơn giản Đối với học sinh khối

12 việc làm các bài tập hình học không gian lớp 11 lại càng khó khăn, mà cácbài toán liên quan đến hình học không gian như: tính khoảng cách, xác định góc,tính thể tích khối đa diện…lại gặp nhất nhiều trong các đề thi THPT quốc gia

Để giúp học sinh giải quyết được các bài tập dạng này giáo viên đã thay đổiphương pháp giảng dạy đó là hướng dẫn các em chuyển các bài toán hình họckhông gian thuần túy sang cách giải bằng phương pháp tọa độ Sau khi thay đổiphương pháp giảng dạy nhận thấy đầu tiên là các em hứng thú hơn trong việcgiải các bài toán liên quan đến hình không gian trong các đề Hi vọng với sự học

hỏi, đổi mới phương pháp giảng dạy giúp cả cô và trò trong việc học và dạyđược tốt hơn trong các năm học tới.

III Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

1 Kiến thức cần nắm:

1.1 Phương pháp:

 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ trong không gian: Vìvuông góc với nhau từng đôi một nên nếu hình vẽ bài toán cho cóchứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ

 Bước 2: Suy ra tọa độ các đỉnh, điểm trên hệ trục vừa ghép

 Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán

1.2.Các bài toán về ghép trục tọa độ thường gặp:

Hình lập phương

hoặc hình hộp chữ

nhật

Chọn hệ trục như hình vẽ

+ Gốc tọa độ trùng với giao điểm của hai đường chéo của hình thoi

+ Trục đi qua hai tâm của hai đáy

y

C A

+)Đáy là tam giác

vuông hoặc tam

giác đều

+) vuông góc

với đáy

Chọn hệ trục tọa độ saocho:

y C

A H

O

Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta cóthể ghép tọa độ vào để giải Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa mộtkhối đa diện bất kỳ Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đadiện đó và thông thường ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đadiện; trục cao là đường cao, sau đó dựng hai tia còn lại Trong thực hànhgiải toán chúng ta căn cứ tùy bài toán để đặt hệ trục sao cho việc tìm tọa độ cácđỉnh của khối đa diện và các điểm liên quan một cách dễ dàng.

1.3.3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua , có một vectơ chỉ phương và một điểm Khi đó khoảng cách từ đến đường thẳng là:

1.3.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho đường thẳng đi qua , có một vectơ chỉ phương

A

Đường thẳng đi qua , có một vectơ chỉ phương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và là:

1.3.5 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho đường thẳng có một vectơ chỉ phương

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương Gọi là góc giữa và Khi đó :

1.3.8 Diện tính thiết diện :

Diện tích tam giác

Diện tích hình bình hành

1.3.9 Thể tích khối đa diện:

Thể tích khối hộp

Thể tích tứ diện:

1.3.10 Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc

2 Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình không gian:

2.1 Các bài toán về hình lăng trụ:

Bài toán 1: (Câu 30 Đề 001- Đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2019)

Cho hình lập phương Góc giữa hai mặt phẳng

A B C D

Lời giải:

Gọi cạnh của lập phương là a

Chọn hệ trục tọa độ sao cho như hình vẽ

Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng và bằng

Đáp án: D

Bài toán 2: ( Câu 46 Đề 101- Đề thi THPT quốc gia 2018)

Cho hình lập phương có tâm Gọi là tâm hìnhvuông và điểm là điểm thuộc sao cho (hình vẽ).Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng:

A B C D

Lời giải:

Gọi cạnh của lập phương là a

Chọn hệ trục tọa độ sao cho như

Vì là tâm hình lập phương nên

Vì là tâm hình vuông nên

có vectơ pháp tuyến Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và , ta có:

2.2 Các bài toán về hình chóp tam giác:

Bài toán 1: ( Đề 132 thi thử lần 5 THPT Chuyên Thái Bình năm 2019)

Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , tamgiác là tam giác đều cạnh và tam giác là tam giác cân Tínhkhoảng cách từ đến mặt phẳng ?

Bài toán 2: ( Câu 30 - Đề 001 Sở giáo dục và Đào tạo Quãng Bình năm 2019)

Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và , gọi là trung điểm của Tính

của góc là góc giữa đương thẳng và ?

Bài toán 3: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011)

Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác vuông cân tại

Gọi là trung điểm của ; mặt phẳng qua và song song với cắt tại Biết góc giữa hai mặt phẳng và bằng Tính thểtích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Vectơ pháp tuyến của là:

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến

Vì góc giữa hai và bằng nên ta tìm được

2.3 Các bài toán về hình chóp tứ giác:

Bài toán 1: ( Câu 43 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2017)

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc vớimặt phẳng đáy và tạo mặt phẳng một góc bằng Tính thể tích Vcủa khối chóp đã cho:

S

và Vậy

Đáp án: B

Bài toán 2: ( Câu 29 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2018)

Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật ,vuông góc với mặt phẳng đáy và Khoảng cách giữa đường thẳng

S

Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , , vàvuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ đến mặt phẳng

S

O

Nhận xét: Đối với bài toán về xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa

hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hay bài toán về tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…khi giải bằng phương pháp cổđiển thì rõ ràng khâu khó khăn nhất là dựng hình( trực tiếp hoặc gián tiếp) vốnđòi hỏi học sinh phải nắm vững về phương pháp cũng như phải có sự suy nghĩkhá sâu sắc; trong khi đó, nếu ta có thể tọa độ hóa để giải thì phương pháp tiếpcận rất rõ ràng vì tất cả các yêu cầu trên đều đã có công thức, do đó còn lại làyêu cầu học sinh thực hiện cẩn thận một số bước tính toán cơ bản để áp dụngđược công thức đã cho

2.4 Bài tập rèn luyện:

Bài 1: ( Câu 17 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại

A B C D

Bài 2:( Câu 43 Đề 001 đề thi thử THPT Lý Thường Kiệt Hà Nội năm 2019)

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại

Tính khoảng cách từ đến

A B C D

Bài 3: (Câu 11 Đề 061 thi thử THPT Hàm Rồng Thanh Hóa lần 3 năm 2019)

Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm cạnh , cạnh bên khoảng cách giữa và là:

A B C D

Bài 4: : ( Câu 34 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)

Cho hình chóp đều có đáy là hình thang vuông tại và

khoảng cách giữa hai đường thẳng và ?

A B C D

IV Hiệu quả bước đầu của sáng kiến kinh nghiệm:

3 1 Thời gian áp dụng:

Với đề tài nghiên cứu này, tôi đã áp dụng đối với học sinh lớp 12 năm học2017-2018 và hiện tại tôi đang tiếp tục áp dụng đối với các lớp 12B , 12E nămhọc 2018-2019 Sau khi học nội dung này và sau các bài kiểm tra, tác giả nhậnthấy hầu hết học sinh đều đạt mục tiêu bài học đề ra

3.2 Hiệu quả đạt được.

a Học sinh bước đầu đã có được phương pháp tiếp cận lời giải các bàitoán một cách khoa học, biết quy lạ về quen, đặc biệt một số em có tư chất tốt đãbiết phát hiện và đề xuất những ý tưởng mới

b Tạo sự hứng thú đối với học sinh khi tiếp cận với các bài toán hìnhhọc không gian có trong các đề thi thử THPT trên toàn quốc

c SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống DuyTân sử dụng trong dạy học các lớp khối 12, tác giả đã nhận được phản hồi tốt từcác thầy cô SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ

1 Kết luận.

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian là một phươngpháp có nhiều tính ưu việt, phù hợp với đối tượng học sinh chuẩn bị thi THPTQuốc gia, đặc biệt là các kỳ thi gần đây khi Bộ giáo dục có chủ trương thực hiện

kỳ thi “ Ba chung” Nên bản thân tôi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này

2 Đề xuất, khuyến nghị.

Với thời gian ngắn, trình độ bản thân có hạn, chắc chắn đề tài của tôi còn cónhiều hạn chế Với tâm huyết và tấm lòng của mình, tôi muốn đóng góp chocông việc dạy học một số giải pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy

Vì tác dụng tích cực trong việc ôn thi cho các em học sinh lớp 12 nên kính mong hội đồng khoa học và quý thầy (cô) góp ý bổ sung để giải pháp tôi

đưa ra ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy học ở trường THPT

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của

người khác

LÊ THỊ TÍNH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

2 Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản, Nhà xuất