Các dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong chương trình trung học phổ thông

2 Chương 1: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG .... Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .... Trong chương trình Toán lớp 10, học s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐINH THỊ XUÂN

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐINH THỊ XUÂN

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2016

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Anh, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành, sâu sắc tới thầy đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khoá luận Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại Học Tây Bắc, các thầy cô trong khoa Toán - Lý - Tin, các bạn sinh viên K53-ĐHSP Toán cũng như gia đình và bạn bè đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành khoá luận này

Trong quá trình thực hiện, khóa luận này khó tránh khỏi những thiếu xót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khoá luận được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2016 Sinh viên thực hiện

Đinh Thị Xuân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khoá luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của khoá luận 2

8 Cấu trúc của khoá luận 2

Chương 1: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 3

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1.1.1 Toạ độ của vectơ và các phép toán trên vectơ 3

1.1.2 Toạ độ của điểm 3

1.1.3 Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương 4

1.2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 4

1.2.1 Kiến thức cơ bản 4

1.2.2 Các dạng bài toán và bài tập áp dụng 5

1.3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 18

1.3.1 Các kiến thức cơ bản 18

1.3.2 Các dạng bài tập 19

1.4 ĐƯỜNG TRÒN 22

1.4.1 Các kiến thức cơ bản 22

1.4.2 Các dạng bài tập cơ bản 23

1.5 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 29

1.5.1 Các kiến thức cần nhớ 29

1.5.2 Các dạng toán cơ bản 30

Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN 35

2.1 VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 35

2.1.1 Vectơ trong không gian 35

2.1.2 Hệ toạ độ trong không gian 36

2.1.3 Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập 39

2.2 BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 43

2.2.1 Các kiến thức liên quan 43

2.2.2 Các dạng bài tập thường gặp 44

2.3 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẢNG 58

2.3.1 Các kiến thức cơ bản 58

2.3.2 Các dạng bài toán và bài tập áp dụng 61

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn khoá luận

Môn Toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chương trình giáo dục phổ thông, nó không chỉ là cơ sở, là tiền đề để học tốt các môn học khác, mà còn có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong thực tế

Trong chương trình Toán lớp 10, học sinh đã đựơc tìm hiểu về phương pháp tọa độ (PPTĐ) trong mặt phẳng và lên lớp 12, các em được nghiên cứu mở rộng lên PPTĐ trong không gian Đây là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán THPT Nội dung này thường xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, cũng như trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp

Và nay là kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

Đó thường là những dạng toán khó đối với học sinh, có bài không thể giải được hoặc giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp, kiến thức vận dụng thì mở rộng, xuyên suốt Hơn nữa, do số tiết dạy về nội dung này trong chương trình THPT không đủ để giáo viên có thể đưa ra đầy đủ các dạng toán mà chỉ có thể dừng lại ở một số dạng toán cơ bản

Với mong muốn giúp học sinh bớt lúng túng hơn trong cả về phương pháp cũng như tính toán, đồng thời giúp các em nhớ lại, hiểu sâu hơn một số dạng toán cơ bản, vừa nâng cao kỹ năng giải bài tập khi gặp các bài toán quen thuộc Trên cơ sở nghiên cứu phát triển thêm đề tài về các dạng bài tập hình học ở

trường phổ thông đã làm từ trước, vì thế nên tôi lựa chọn đề tài: “Các dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong chương trình Trung học phổ thông ”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khoá luận này là đưa ra cho học sinh một số dạng toán về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian Qua đó giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo, nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các dạng bài toán khác nhau trong kỳ thi THPT Quốc gia

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức liên quan cũng như các dạng bài tập về PPTĐ trong chương trình phổ thông

- Tổng hợp các dạng bài tập cơ bản về PPTĐ trong chương trình THPT và đưa ra phương pháp giải cho một số dạng bài tập cơ bản

4 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu một số dạng bài tập và cách giải bài tập về PPTĐ trong chương trình Toán THPT

5 Phạm vi nghiên cứu

Vì lí do thời gian, cũng như do điều kiện có hạn của bản thân nên trong phạm vi của khoá luận chỉ tập trung nghiên cứu một số dạng bài tập về PPTĐ trong mặt phẳng và trong không gian theo nội dung chương trình môn Toán ở trường phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích tổng hợp kiến thức

- Nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm của bản thân, trao đổi với giáo viên hướng dẫn

7 Đóng góp của khoá luận

Khoá luận sẽ là cuốn tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán Trường Đại học Tây Bắc Đồng thời là cuốn tài liệu trợ giúp hữu ích cho học sinh THPT trong việc rèn luyện giải các bài tập toán liên quan đến phương pháp toạ độ, phục vụ cho các em trong việc học tập cũng như ôn thi vào các trường Đại học, Cao đẳng, Trung cấp chuyên nghiệp,…

8 Cấu trúc của khoá luận

Ngoài các phần mở đầu, mục lục danh mục tài liệu tham khảo và kết luận Khoá luận gồm hai chương với những nội dung sau:

Chương 1: Một số dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Chương 2: Một số dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong không gian

Chương 1: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Toạ độ của vectơ và các phép toán trên vectơ

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi i , j lần lượt là vectơ đơn vị của

1.1.2 Toạ độ của điểm

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, ta có:

A B M

x kx x

k

y ky y

Đặc biệt, khi M là trung điểm của AB thì: 2

2

A B M

A B M

x x x

y y y

A B C G

 Phương trình chính tắc của đường thẳng: đi qua điểm M x y0( ;0 0)và VTCP ( , )

 Cách 2:

 Tìm một VTPT n a b( , ) của đường thẳng

 Giả sử đường thẳng đã cho có phương trình dạng ax by  c 0,a2 b2 0

 Do đường thẳng đi qua M x y0( ;0 0)nên thay toạ độ của M x y0( ;0 0)vào phương trình trên ta tìm được c

Đặc biệt: giả sử đường thẳng d có phương trình d: 2 2

Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:

a) d đi qua điểm M(3;4) và có vtpt n(1;2);

b) d đi qua điểm M(3; 2) và có vtcp u(4;3);

Ví dụ 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2)

và vuông góc với đường thẳng có phương trình: d' : 2x3y 5 0

Ví dụ 3: Một đường thẳng d đi qua M(5; 3) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB Viết PTTQ của đường thẳng d

Hướng dẫn :

Vì d cắt Ox Oy tại hai điểm , A B, nên ( ;0), (0; )A x B y

Do M là trung điểm của AB Suy ra: (10;0), (0; 6)A B 

Ta có: AB ( 10; 6) Suy ra một vtcp của d là 1  

5;32

Chú ý:

- Đường thẳng cắt hai trục toạ độ thì chọn dạng phương trình theo đoạn chắn

- Nếu đường thẳng d có VTPT n a b( , ) thì đường thẳng d có VTCP là

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vtcp u(3;4);

b) d đi qua điểm M(5; 2) và có vtpt n(4; 3) ;

a) d đi qua điểm M(5;1) và có hệ số góc k3;

b) d đi qua hai điểm (3;1) A và B(4;2);

b) d đi qua hai điểm (3;1) A và B(4;2) nên có vtcp là: u AB(1;1)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 3

2 Viết PTTQ của đường thẳng d biết:

a Đi qua M( 1; 4)  và song song với đường thẳng ':d 3 x5y 2 0

b Đi qua N(1;1) và vuông góc với đường thẳng ":d 2x3y 7 0

3 Lập PTTS, phương trình chính tăc nếu có của đường thẳng d biết:

a Đi qua M(2;1) và có VTCP u(3; 2)

b Đi qua M(1; 2) và có VTPT n( 5;3)

c Đi qua M(3;2) và có hệ số góc k 2

d Đi qua điểm A(3;4) và B(4;2)

4 Cho hai điểm P(4;0), (0; 2)Q  Viết PTTQ của đường thẳng biết:

a Đi qua R(3;2) và song song với đường thẳng PQ

a Qua A và song song với d

b Qua A và vuông góc với d

6 Viết phương trình các đường trung trực của ABC biết

( 1;1), (1;9), (9;1)

M  N P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC BC, ,

7 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2;5)và cách đều hai điểm ( 1;2), (5;4)

HD: Xét hai trường hợp / /d PQ và d không song song với PQ

8 Cho đường thẳng d1: 2x  y 2 0,d2:x  y 2 0và điểm M(3;0) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M , cắt d d1, 2 lần lượt tại hai điểm A và B , sao cho M là trung điểm của AB

9 Lập phương trình đường thẳng  đi qua Q(2;3)và cắt tia Ox, Oy tại hai điểm M N, O sao cho OM ON nhỏ nhất

Dạng 2: Vị trí tương đối, tương giao của hai đường thẳng

Nếu hệ (1) vô nghiệm thì 1 song song 2

Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì 1 trùng 2

 Ba đường thẳng   1, 2, 3 đồng quy giao điểm A của 1,2thuộc 3

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau:

a) d: x y 2 và d’: 2x  y 3 0

x y

10 '

x t d

a) Viết phương trình tổng quát của hai đường thẳng

b) Tìm giao điểm của hai đường thẳng

a) Tìm điểm M thuộc d và cách điểm (0;1) A một khoảng bằng 5

b) Tìm toạ độ giao điểm của d với đường thẳng x  y 1 0

17 Cho hai đường thẳng: 1: (m1)x2y  m 1 0 và

2

2:x (m 1)y m 0

a) Tìm giao điểm I của 1 và 2

b) Tìm điều kiện để I nằm trên trục Oy

Dạng 3: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng d

Hướng dẫn:

 Cách 1:

 Viết phương trình đường thẳng 'd đi qua A và vuông góc với d

 Hình chiếu H là giao điểm của d và ' d

 Cách 2:

 H d  toạ độ của H theo phương trình của d

 H là hình chiếu của A trên d  AH u d  AH u d 0

Ví dụ: Tìm hình chiếu H của điểm A(1;2) trên đường thẳng d: 2x3y 5 0

Thay vào phương trình đường thẳng d , suy ra y 1 Vậy H( 1; 1) 

Dạng 4: Tìm điểm đối xứng A' của A qua đường thẳng d

Hướng dẫn:

 Tìm điểm H là hình chiếu của A trên d (xem dạng 3)

 A' đối xứng với A qua đường thẳng d H là trung điểm của AA'

Ví dụ: Cho đường thẳng    :x y 2 0 và điểm A(2;0) Tìm điểm đối xứng của O qua đường thẳng 

Giải:

 Tìm điểm H là hình chiếu của A trên :

Đường thẳng ' đi qua A và vuông góc với  có phương trình:

x y

 Lấy điểm cho trước A d

 Tìm điểm B đối xứng A qua I thì B d '

 Viết phương trình đường thẳng 'd qua B và nhận VTPT của d là VTPT

 Cách 2:

 Lấy điểm M x y bất kỳ thuộc ( ; ) d

 Gọi M x y là điểm đối xứng của điểm '( '; ') M qua I

'

2 '2

x x x

 Tìm giao điểm I của d và 

 Lấy một điểm cụ thể A d rồi tìm điểm A' đối xứng A qua I

 Viết phương trình đường thẳng 'd đi qua hai điểm I và A'

Nếu d song song với 

 Lấy một điểm cụ thể A d rồi tìm điểm A' đối xứng A qua  (xem dạng 4)

 Viết phương trình đường thẳng 'd đi qua A' và nhận VTCP của d làm VTCP (hoặc nhận VTPT của d làm VTPT)

 Cách 2:

 Lấy hai điểm cụ thể A B, d

 Tìm điểm A B', ' đối xứng với A B, qua  (xem dạng 4)

 Viết phương trình đường thẳng 'd đi qua hai điểm A' và B'

Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1:x  y 1 0 và d2:x3y 3 0 Viết phương

trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d2

Giải:

Lấy hai điểm A(1; 2) và B( 1;0) đều thuộc d1

Tìm tọa độ điểm A B', ' đối xứng với A B, qua d2 Khi đó phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A B', '

Hình chiếu H của A trên d2 có toạ độ: H(0;1) Suy ra toạ độ điểm A' là: '( 1;6)

A 

Hình chiếu K của B trên d2 có toạ độ: 6 3;

18 Cho đường thẳng d x: 2y 4 0 và điểm A(0;4)

a) Tìm toạ độ hình chiếu H của A lên d

b) Tìm toạ độ điểm A' đối xứng A qua d

19 Tìm hình chiếu của điểm M(3;1)lên đường thẳng : 2 2

23 Cho đường thẳng : 2x  y 1 0 và điểm I(1;2) Viết phương trình

đường thẳng d đối xứng với  qua I

24 Cho đường thẳng :ax by  c 0 Viết phương trình đường thẳng 'đối xứng với  qua các trục toạ độ

Dạng 7: Các yếu tố của tam giác, tứ giác

Cho ABC biết toạ độ ba đỉnh Khi đó:

 Phương trình cạnh BC : đi qua Bvà C

 Phương trình đường cao AH: đi qua A và vuông góc với BC

 Phương trình trung tuyến AM : đi qua A và trung điểm M của BC

 Phương trình trung trực của BC : đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC

 Phương trình đường phân giác AD: đi qua hai điểm A và D Với D là

điểm chia đoạn BC theo tỷ số k AB

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM

2

n  

Vậy phương trình đường trung tuyến AM là:

5( 1) ( 4) 0

2

x  y  hay 2x5y220

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

25 Cho ABC biết (1;4), (3; 1), (6;2) A B  C

a) Viết phương trình các đường thẳng AB BC CA, ,

b) Viết Phương trình đường phân giác trong của góc A

26 Cho ABC có phương trình ba cạnh lần lượt là:

M  là trung điểm của cạnh BC Viết phương trình cạnh BC

28 Viết phương trình ba cạnh của ABC biết điểm C(4;3) và trung tuyến

 M N, nằm cùng phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

 M N, nằm khác phía đối với  (ax M by M c ax)( N by N  c) 0

 Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau: 1:a x1 b y1  c1 0 và 2:a x2 b y2  c2 0 là:

1.3.2 Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính góc và khoảng cách

 Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0

 Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành

Gọi u u1, 2 lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng và n n1, 2 lần lượt là các VTPT thì:

 Góc A của ABC là góc giữa hai vectơ AB AC ,

 Khoảng cách giữa hai điểm A x y( A; A), (B x y B; B) là:

( B A) ( B A)

 Khoảng cách từ điểm M x y0( ;0 0) đến đường thẳng :ax by  c 0

được cho bởi công thức: 0 0



30 Cho hai đường thẳng d x: 2y 5 0 và d' : 3x y 0 Tìm giao điểm

và tính góc giữa hai đường thẳng đã cho

31 Cho ABC có (4; 1), ( 3;2), (1;6) A  B  C Tính góc giữa AB và AC

32 Tìm các giá trị của m để đường thẳng d mx:   y 1 0 hợp với đường thẳng d' : 2x  y 9 0 một góc bằng 30

33 Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng sau bằng 45:

2:

35 Tính khoảng cách từ điểm M(4; 5) đến các đường thẳng sau:

a) : 4

2 3

x t d

37 Đường thẳng : 2x5y 9 0 cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A B,

Tính chiều cao OH của OAB

38 Tìm giá trị của m để khoảng cách từ A(1;1) đến đường thẳng :mx (2m 1)y 3 0

     bằng 2

39 Tính bán kính đường tròn có tâm là điểm I(1;5) và tiếp xúc với đường thẳng : 4x3y 1 0

Dạng 2: phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách

 Để tìm phân giác trong AD của ABC , ta lập phương trình hai cạnh

,

AB AC rồi tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB AC,

Chọn đường phân giác trong ứng với hai điểm B C, nằm khác phía nhau

 Để tìm phương trình đường thẳng là tập điểm cách đều hai đường thẳng (cắt hoặc song song) cách đường thẳng cho trước một đoạn không đổi, ta gọi M x y là điểm thoả mãn điều kiện rồi dùng quan hệ khoảng cách để ( ; )

 Nếu a2 b2 c2 0 thì chỉ có một điểm I a b thoả mãn phương trình ( ; )

b) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến tại điểm M x y0( ;0 0)của đường tròn tâm I a b có phương trình: ( ; )

(x a x)( x )(y b y)(  y )0

Lưu ý:

 Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

 Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính

 Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn chính là bài toán viết phương trình đường thẳng

c) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường thẳng  và đường tròn ( )C có tâm I bán kính R

Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng  khi đó:

 Nếu dR thì  cắt đường tròn ( )C tại hai điểm phân biệt

 Nếu d R thì  không cắt đường tròn ( )C

 Nếu d R thì  tiếp xúc với đường tròn ( )C

a) Với giá trị nào của mthì (1) là phương trình của đường tròn?

b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính

đường tròn đó theo m

Hướng dẫn:

a) (1) có dạng x2 y2 2ax2by c 0, với am b,  2 ,m c6m1 (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2b2  c 0,

 ( ) đi qua A tiếp xúc với đường thẳng  tại AIAd I( , ).

 ( ) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d I( , 1) d I( , 2) R

 Cách 2:

 Gọi phương trình của đường tròn ( ) là x2  y2 2ax2by c 0

(2)

 Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a b c, ,

 Giải hệ phương trình tìm a b c, , thế vào hệ (2) ta được phương trình đường tròn ( )

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn ( ) trong các trường hợp sau:

a) ( ) có tâm I( 1;2) và tiếp xúc với đuờng thẳng  :x 2y 7 0;

A B I

x x x

y y y

 Tìm toạ độ tâm ( ; )I a b của ( )

 Phương trình tiếp tuyến với ( ) tại M x y0( ;0 0) có dạng:

(x a x)( x )(y b y)(  y )0

 Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến  với ( ) khi chưa biết tiếp điểm: Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định :

 tiếp xúc với đường tròn ( ) tâm I a b , bán kính ( ; ) Rd I( , ) R

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Hướng dẫn:

  có tâm I(2; 3) bán kính r 10

Phương trình của đường thẳng  song song với d có dạng: 3 x  y c 0

 tiếp xúc với   khi và chỉ khi:

19

9 1

c c

Vậy phương trình của  là: 3x  y 1 0 hay 3x y 190

 Loại 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Phương pháp:

- Tìm tâm vị tự của hai đường tròn

- Lập phương trình đường thẳng đi qua tâm vị tự và tiếp xúc với 1 đường tròn Trong trường hợp đặc biệt hai đường tròn có bán kính bằng nhau thì đã có hai tiếp tuyến chung song song với đường thẳng nối hai tâm

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho hai đường tròn

Tâm vị tự của hai đường tròn là điểm T1 và T2 đường tròn (C) có tâm

I(1;1); đường tròn (C’) có tâm I’(-1;3) Suy ra T I1 '2T I1 suy ra T1(3; 1) Đường thẳng đi qua điểm T1 có phương trình dạng: k x(    3) y 1 0 là tiếp tuyến cuả đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến nó đúng bằng bán kính của (C)

2

1

31

k

k k

c) Viết phương trình của  

Bài 2: Lập phương trình của đường tròn   đi qua hai điểm A(1;2), (3;4)B

và tiếp xúc với đường thẳng : 3x  y 3 0

Bài 3: Cho đường tròn   2 2

:x y x 7y 0

     và đường thẳng : 3 4 3 0

d x y 

a) Tìm tọa độ giao điểm của   và d

b) Lập phương trình tiếp tuyến với   tại các giao điểm đó

Bài 4: Lập phương trình tiếp tuyến  của đường tròn

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của    1 , 2

1.5 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

1.5.1 Các kiến thức cần nhớ

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm F1(c;0),F c2( ;0) và độ dài không đổi

2a ( a c 0) Elip ( )E là tập hợp các điểm M sao cho: F M1 F M2 2a

 Hai tiêu điểm: F1(c;0),F c2( ;0);

 Mọi điểm thuộc elip ( )E ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật

có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x a y,  b

Hình chứ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip

 Ta có toạ độ các điểm đặc biệt của elip ( )E :

 Hai tiêu điểm: F1(c;0),F c2( ;0)

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip ( )E trong mỗi trường hợp sau:

a) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3;0) và một tiêu điểm là điểm ( 2;0) ;

b) Đi qua hai điểm M(0;1) và 1; 3

Do ( )E đi qua hai điểm M(0;1) và 1; 3

2

N 

  nên thay toạ độ của M và N

vào phương trình của ( )E ta được:

2 2

b b

 còn gọi là tâm sai của elip)

 Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:

( )( )

Suy ra: F M1 2 F M2 2 4cx (1)

Theo định nghĩa của elip ta có: F M1 F M2 2a (2

Chia (1) cho (2) ta được: F M1 F M2 2c x

b b

Hãy viết phương trình đường tròn ( ) có đường kính là F F1 2 trong đó F1 và F2

là hai tiêu điểm của  E

Vậy phương trình của   là: x2  y2 64

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của elip  E trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16;

b) Một tiêu điểm là (12;0) và điểm 13;0 nằm trên elip 

Bài 4: Cho elip   2 2

a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F F1, 2 và các đỉnh của  E

b) Tìm điểm M E sao cho M nhìn F F1 2 dưới một góc vuông

Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

2.1 VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

2.1.1 Vectơ trong không gian

a) Định nghĩa và các phép toán

Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xác định hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng

Lưu ý:

 Quy tắc ba điểm: cho ba điểm A B C, , bất kì, ta có: ABBC  AC

 Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành ABCD , ta có: AB AD AC

 Quy tắc hình hộp: cho hình hộp ABCD A B C D , ta có: ' ' ' '