Bài 3: Đạo hàm các hàm số lượng giác

Hãy tính đạo hàm của sinx bằng định nghĩa 1.G/sử Δx là s số gia của x.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG

LỚP ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG TOÁN 08

Bài dạy:

ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Năm học: 2009 - 2010

KIỂM TRA BÀI CŨ

Nêu quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp ?

g’(x) = f’[u(x)].u’(x)

Với g là hàm số hợp của hai hàm số f và u, với u = u(x) gọi là hàm số trung gian.

Quy tắc trên còn có thể viết gọn là :

g’x = f’u.u’x

Bài 3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

sin x

x

1 Giới hạn

x

rađian

0,99994932

1 0,99998730 7 0,999996826 0,999999492 0,99999994 3

sin x

x

180



360



720



1800



5400



Em có nhận xét gì về giá trị của

khi x nhận các giá trị dương và rất gần điểm 0 ?

sin x

x

Dùng máy tính ta tính được các giá trị trong bảng sau:

Định lí 1

0

sin

x

x x

0 0

0

lim ( ) 0 x x ( )

x x









Bài 3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

sin x

x

1 Giới hạn

0

tan ) lim

x

x a

x



0

sin 3 ) lim

x

x b

x



0

osx

x

x

x c



1



lim lim

osx

x



0

sin 3 lim 3

3

x

x x



sin 3 3lim

3

x

x x



Ví dụ 1: tính

0

tan ) lim

x

x a

x

sin 3 ) lim

x

x b

x



Giải

Định lí 1

0

sin

x

x x

0 0

0

lim ( ) 0 x x ( )

x x









Bài 3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

sin x

x

1 Giới hạn

2 Đạo hàm của hàm số y = sinx

Hãy tính đạo hàm của sinx bằng định nghĩa

1.G/sử Δx là s số gia của x.

Δy = sin(x + Δx ) - sinx

sin

2

2 2 os x +

2

x

c



sin

2

os x +

2

2

x x

c

x





 

  



 

sin

2

3 lim lim os x + lim

2

2

x

c

x x





x

  

Định lí 1

0

sin

x

x x

0 0

0

lim ( ) 0 x x ( )

x x









Bài 3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

sin x

x

1 Giới hạn

2 Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lí 2

a) Hàm số y = sinx có đạo hàm trên R và (sinx)’ = cosx b) Hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì trên J ta cũng có (sin(u(x))’ = cos(u(x)).u’(x)

Chứng minh:

- Gọi g(x) = sin(u(x)) là hàm số hợp của hàm số f(u) = sinu và hàm số trung gian u = u(x)

- Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta được:

g’(x) = f’[u(x)].u’(x) =[cos u(x)].u’(x)

- Theo định lí ta có: f’(u) = (sinu)’ = cosu

Công thức trên còn được viết gọn là:

(sinu)’ = (cosu).u’ = u’cosu

(sin(u(x))’ = cos(u(x)).u’(x)

a) y = sin(x2 + 1) ) sin

2

b y      x  

'

b y        x           x c       x  

os

2

   s in x

a/ y’ = (sin(x2+1))’ = (x2+1)’.cos(x2+1)

= 2x.cos(x2+1)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

Giải

3 1

3

3

sin

3

1

3 cos

lim 3

sin

1

3 cos lim

3 sin

3

cos

lim 3

cot

lim















































































x

x

x x

x x

x

x x

x x

m

o x o

x

o x o

x

m

x cot 3

lim

0





trong các kết quả sau đây:

A m = 0

B m = 3

C m = 1

D m = 1/3

Hướng dẫn

x

x y

2

cos '

x

x

y'cos

x

y cos'

x

y

2

1 cos

'

x x

x x

x x

y

2 cos

cos

2

1 cos







x

đúng trong các kết quả sau đây:

A

B

C

D

Hướng dẫn

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

- Xem kỹ định lí 1, 2

- Làm bài tập 28 trang 211, bài 29b

trang 211