Luận Văn thạc sĩ NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Thanh Hoành (2015)

Từ đó, chúng tôi đặt câu hỏi: Có phải sách giáo khoa hiện hành chưa cung cấp công cụ phù hợp để học sinh phát hiện sai lầm khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên?. Từ những ghi nhậ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hoành

NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT

CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hoành

NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ

SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT

CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

 TS Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương và TS Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán

 PGS.TS Claude Comiti và PGS.TS Annie Bessot, hai cô đã không quản ngại xa xôi về tham dự góp ý và định hướng luận văn của lớp chúng tôi Đặc biệt hai cô đã góp ý cho tôi về thực nghiệm của luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn:

 Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán–Tin của trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học

 Ban giám hiệu và học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trỗi (Tỉnh Bình Thuận), trường THPT Bắc Bình (Tỉnh Bình Thuận) đã hỗ trợ giúp tôi tổ chức thực nghiệm luận văn này

Tôi cảm ơn các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã động viên và giúp tôi trong suốt thời gian học tập

Nguyễn Thanh Hoành

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Khung lý thuyết tham chiếu 4

3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu và giới hạn của luận văn 5

5 Nội dung nghiên cứu 5

5.1 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

5.2 Cấu trúc luận văn 6

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM KHI TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TOÁN HỌC 7

1.1 Chướng ngại gắn với khái niệm xác suất 7

1.2 Kết luận 20

Chương 2 PHÉP TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 22

2.1 Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 22

2.1.1 Phép đếm trong sách Đại số và giải tích 11 22

2.1.2 Phép thử - Biến cố - Xác suất 38

2.2 Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao 70

2.3 Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu 80

Chương 3 THỰC NGHIỆM 82

3.1 Giới thiệu thực nghiệm 82

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 82

3.1.2 Kế hoạch thực nghiệm 83

3.2 Thực nghiệm cho giáo viên 83

3.2.1 Bộ câu hỏi thực nghiệm cho giáo viên 83

3.2.3 Phân tích hậu nghiệm 86

3.2.4 Kết luận 90

3.3 Thực nghiệm cho học sinh 90

3.3.1 Bộ câu hỏi thực nghiệm cho học sinh 90

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm 90

3.3.3 Phân tích hậu nghiệm 92

3.4 Tiểu đồ án dạy học 95

3.4.1 Dàn dựng kịch bản 95

3.4.2 Các biến dạy học 100

3.4.3 Phân tích kịch bản 101

3.4.4 Diễn tiến thực nghiệm 102

3.5 Kết luận 107

KẾT LUẬN 109

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113

PHỤ LỤC 115

Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam của tác giả Trần Túy An (2007) mà chúng tôi rất quan tâm và

đặt câu hỏi rằng: Vì sao trong thực nghiệm của tác giả, học sinh lúng túng chọn mô hình ba phần tử ( mô hình quan sát) hay mô hình bốn phần tử (mô hình xác suất) cho

phép gieo hai đồng tiền?

Tác giả cho rằng: Đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo đưa ra hoàn toàn chính xác Tuy nhiên, nếu học sinh hiểu theo hướng chọn theo thứ tự khi đó lời giải bài toán như sau:

Số cách chọn 4 thẻ theo thứ tự trong 16 thẻ là 4

16

A = 43680 cách Số cách chọn 4 thẻ chẵn theo thứ tự trong 8 thẻ chẵn là 4

Hai kết quả khác nhau nên không thể cả hai lời giải đều cùng đúng Lời giải 1 liệt kê

đủ các trường hợp có thể có và các trường hợp thuận lợi, huy động định nghĩa cổ điển của xác suất nên là một lời giải đúng Vậy, lời giải 2 sai Sai lầm của lời giải 2 là đã

thay đổi điều kiện của bài toán: ½ là xác suất để 3 đồng tiền cùng mặt với điều kiện đã

có 2 đồng tiền cùng mặt Học sinh có phát hiện được sai lầm của lời giải 2 không?

Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi khảo sát 40 học sinh lớp 12A1, trường THPT Phan Bội Châu (Bình Thuận) bằng phiếu thăm dò ý kiến Cả 2 lời giải đều được trình bày trên phiếu Câu hỏi như sau: Theo em, lời giải nào sai? Nếu được, em hãy chỉ ra chỗ sai hoặc/ và nêu nhận xét

Và kết quả khảo sát 40 học sinh của tác giả thì có 35 học sinh chọn lời giải 2 sai Nhưng không có học sinh nào giải thích được lời giải 2 sai ở đâu Từ đó, chúng tôi đặt câu hỏi: Có phải sách giáo khoa hiện hành chưa cung cấp công cụ phù hợp để học sinh phát hiện sai lầm khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên?

 Tổng quan về các đề tài đã có:

 Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trung học phổ thông của tác giả

Vũ Như Thư Hương (2005) Tác giả cho rằng: Với cách trình bày sách giáo khoa toán 11(thí điểm) không nhấn mạnh tính hợp thức của xác suất cổ điển ( đồng khả năng) và xem nhẹ xác suất thực nghiệm dẫn đến học sinh gặp sai lầm khi tính xác suất cổ điển cho các biến cố không đồng khả năng

 Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam của tác giả Trần Túy An (2007) Trong

luận văn này, tác giả đã chỉ ra rằng: Giáo viên ưu tiên dạy xác suất cổ điển mặc dù trong phân tích của luận văn tác giả khẳng định xác suất thực nghiệm và xác suất cổ điển bổ trợ cho nhau Từ đó, tác giả khẳng định học sinh gặp khó khăn khi tính xác suất các biến cố ngẫu nhiên (học sinh tính

theo công thức xác suất cổ điển mặc dù bài toán đưa ra không hợp thức)

Từ những ghi nhận trên và tham khảo các đề tài đã có, chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu về những khó khăn và sai lầm của học sinh khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên ở trung học phổ thông để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các lý thuyết khái niệm sau đây:

- Lý thuyết nhân học didactic Cụ thể, chúng tôi sử dụng khái niệm "tổ chức toán học",

“tổ chức didactic”, “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và “chuyển đổi sư phạm”

- Lý thuyết tình huống: Chúng tôi sử dụng khái niệm phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm, tình huống cơ sở, biến didactic, chiến lược, môi trường,…

- Chướng ngại: Trong Didactic toán phân biệt 4 loại chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn gốc của chúng

 Chướng ngại khoa học luận: Là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi được đưa vào một cách tường minh trong tri thức cần được truyền tải đến học sinh

 Chướng ngại didactic: Là những khó khăn được sinh ra từ sự chuyển đổi sư phạm trong kiến thức đó Chúng chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của mỗi hệ thống giáo dục

 Chướng ngại thuộc về sự phát triển của mỗi cá thể: Là những chướng ngại gắn liền với những hạn chế nhận thức ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của một số học sinh

 Chướng ngại văn hóa: Là những chướng ngại trong cuộc sống văn hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học nhưng vẫn luôn tồn tại

3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm một số yếu tố trả lời các câu hỏi sau:

Q1: Trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất đã gặp những khó khăn và chướng ngại khoa học luận nào? Những khó khăn đó được các nhà toán học đã giải quyết ra sao?

Q2: Phép tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên được đưa vào sách giáo khoa như thế nào? Ðược giải thích trong sách giáo viên ra sao? Giáo viên và học sinh gặp những khó khăn nào khi dạy và học phép tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên?

4 Phương pháp nghiên cứu và giới hạn của luận văn

Đầu tiên, chúng tôi tổng hợp và phân tích các nghiên cứu đã có về những khó khăn và chướng ngại trong phát triển lý thuyết xác suất Chúng tôi sẽ giới hạn phần này trong khuôn khổ khó khăn và chướng ngại do bản thân của khái niệm xác suất Tiếp theo, chúng tôi phân tích sách giáo khoa, sách giáo viên và đưa ra giả thuyết nghiên cứu Cuối cùng, chúng tôi thiết kế thực nghiệm để kiểm tra giả thuyết nghiên cứu của mình

5 Nội dung nghiên cứu

5.1 Nhiệm vụ nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu những khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy và học xác suất ở lớp 11, nhất là những điều kiện và ràng buộc của việc kiểm tra tính đúng đắn của một kết quả tính xác suất

5.2 Cấu trúc luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm 5 phần:

MỞ ĐẦU

Trong phần này, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu và tổng quan một số luận văn khóa trước, khung lý thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và nội dung nghiên cứu

SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Trong chương này, chúng tôi tổng hợp một số khó khăn và sai lầm khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên đã gặp trong lịch sử toán học thông qua một số tài

liệu đã nghiên cứu Đặc biệt là trong quyển sách dạy học xác suất ở trung học phổ thông của tác giả Lê Thị Hoài Châu (2012)

Chương 2 PHÉP TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích hai bộ sách giáo khoa hiện hành

đó là sách Đại số và giải tích 11 dùng cho ban cơ bản (ĐS&GT11CB) và sách Đại số

và giải tích 11 nâng cao (ĐS&GT11NC)

Trong chương này, chúng tôi tổng hợp các kết quả đạt được ở chương 1, chương

2 và chương 3 Từ đó, kết luận những việc đã làm được và đưa ra hướng mở nghiên

cứu tiếp theo của luận văn

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM KHI TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Trong chương này, chúng tôi tổng hợp một số khó khăn và sai lầm khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên đã gặp trong lịch sử toán học Từ ”khó khăn” chúng tôi đang dùng có nghĩa là gây trở ngại cho một hoạt động nào đó Chướng ngại khoa học luận cũng là một khó khăn nhưng được hiểu theo nghĩa hẹp hơn Theo Lê Thị Hoài Châu (2012), tác giả có giải thích rằng:

Không phải mọi khó khăn đều xem là chướng ngại, cụ thể các đặc trưng của chướng ngại

đã được Brousseau (1986) xác định rõ qua những điểm sau:

 Một chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một sự thiếu kiến thức

 Kiến thức quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số tình huống mà

ta thường gặp

 Nhưng khi vượt ra khỏi tình huống ấy thì nó sản sinh ra câu trả lời sai Để có câu trả lời đúng cho một ( hay những) tình huống tổng quát hơn cần có sự thay đổi đáng kể trong kiến thức hay quan niệm Nói cách khác, việc loại bỏ kiến thức, quan niệm ấy là cần thiết,

là yếu tố cấu thành nên tri thức mới

 Thế nhưng, kiến thức, quan niệm này lại cản trở sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn

 Hơn thế, ngay cả khi chủ thể ý thức được sự không chính xác của kiến thức hay quan niệm ấy, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng trong những tình huống mới

Theo tác giả

Các chướng ngại được Brousseau (1976) phân loại theo nguồn gốc của chúng Chướng ngại sinh ra do chuyển hóa sư phạm được gọi là chướng ngại sư phạm Chướng ngại khoa học luận là chướng ngại gắn liền với tri thức, và do đó mà việc dạy học không thể tránh khỏi, dù với cách chuyển hóa sư phạm nào

Theo Girard J-C.(1997), những chướng ngại , khó khăn mà việc dạy học xác suất phải đương đầu khá đa dạng và có nhiều nguồn gốc khác nhau

Theo Lê Thị Hoài Châu (2012), những chướng ngại khoa học luận gắn liền với

xác suất liên quan đến các khái niệm ngẫu nhiên và xác suất Ngoài ra, còn có những

khó khăn trong việc chuyển hóa sư phạm khái niệm xác suất, những chướng ngại gắn liền với quan niệm của học sinh và giáo viên

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung phân tích, tổng hợp một số khó khăn và chướng ngại gắn với khái niệm xác suất Do đặc trưng của đề tài, chúng tôi đặt tên mục như sau:

1.1 Chướng ngại gắn với phép tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên

Theo Vũ Như Thư Hương (2005), sau khi phân tích lịch sử hình thành khái niệm xác suất tác giả cho rằng có ba cách tiếp cận khái niệm xác suất như sau:

• Tiếp cận theo Laplace (AL - Approche Laplacienne):

- Xác suất của một biến cố, theo Laplace, là “tỉ số của số trường hợp thuận lợi với

số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”

- Để tính xác suất theo Laplace, đòi hỏi phải có một không gian hữu hạn các biến cố

sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (đây chính là điểm hạn chế của tiếp cận này)

- Theo cách tiếp cận này, việc xác định xác suất của một biến cố được đưa về các phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trò chính trong các tính toán xác suất Chính vì

thế mà Coutinho đặt tên cho tiếp cận này là « tiếp cận đại số tổ hợp »

- Trong trường hợp phép thử có thể gắn với một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa của Laplace người ta có thể tính được xác suất mà không cần thực hiện phép thử Vì lẽ đó, Bernard Parzysz gọi xác

suất theo định nghĩa của Laplace là “xác suất chủ quan” hay “ xác suất tiên nghiệm”

• Tiếp cận thống kê (AS: Approche Statistique):

- Theo tiếp cận này, xác suất của một biến cố là một giá trị mà tần suất tương đối của biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử

- Xác suất theo quan điểm này còn được gọi là « xác suất khách quan » vì giá trị

của xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm

Đứng từ góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê cho phép giải quyết vấn đề tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace không thể vận hành được (ví dụ như việc ước tính xác suất để một đinh mũ rơi ngẫu nhiên

chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu) Nhưng, đứng từ góc độ dạy-học, Parzysz cho rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau:

- Trước hết, nó dựa trên sự « hội tụ » của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất), tức

không phải là sự hội tụ thuần túy (của dãy số) mà học sinh gặp trong giải tích

- Mặt khác, tiếp cận này có thể dẫn đến nguy cơ là « học sinh không thực hiện được bước nhảy khái niệm mà lại đồng hóa tần suất với xác suất » (tham khảo Parzysz,

2003, tr.31-32)

• Tiếp cận tiên đề (AA: Approche Axiomatique)

- Xác suất được định nghĩa như « một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên »

Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), hai tác giả có ghi vấn đề xác suất như sau:

Định nghĩa 1.1 Một không gian xác suất là một tập hợp Ω, cùng với:

1) Một họ S các tập con của Ω, thỏa mãn các tính chất sau:

Ω ∈S,và nếu A, B ∈S thì A ∪ B ∈S, A ∩ B ∈S và = Ω \ A ∈S Một họ như vậy được gọi là một đại số các tập con của Ω.Trong trường hợp Ω là một tập có vô hạn các phần tử, thì chúng ta sẽ đòi hỏi thêm điều kiện sau: Nếu A i , i =1, 2, 3, là một dãy vô hạn các phần tử của S, thì i1A i cũng thuộc họ S Với thêm điều kiện này, S được gọi là một sigma-đại số Các phần tử của S được gọi là tập hợp con đo được của không gian xác suất

2) Một hàm số thực P : S→ R trên S, được gọi là độ đo xác suất trên Ω, thỏa mãn các tính chất sau:

i)Với mọi A ∈S,ta có: 0 ≤ P(A) ≤ 1 (1.6)

ii) P(∅)=0, P(Ω)=1 (1.7)

iii) Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B)= P(A)+ P(B) (1.8)

Tổng quát hơn, nếu Ai, i =1, 2, 3, là một dãy các tập hợp con đo được không giao

nhau thì i ( i)

i i

   (1.9) Định nghĩa 1.2 Phân bố xác suất P trên không gian xác suất hữu hạn với N phần tử Ω= {A 1 , ,A N } được gọi là phân bố xác suất đều nếu như P(A 1 )= = P(A N )=1/N Ánh xạ giữa các không gian xác suất cùng một vấn đề tính toán xác suất, ta có thể lập nhiều mô hình không gian xác suất khác nhau.Ví dụ, mô hình xác suất đơn giản nhất cho sự kiện “bị ốm” sẽ là mô hình Bernoulli Ω1 = {S, H} với 2 sự kiện S = “ bị ốm ” (sick) và H = “không bị ốm ” (healthy) Như ta cũng có thể chia nhỏ sự kiện bị ốm ra thành rất nhiều sự kiện con, ví dụ như “ ốm bệnh A”,“ ốm bệnh B ”, “ ốm cả bệnh A lẫn bệnh B” , v.v và sự kiện “không bị ốm” cũng có thể chia thành nhiều sự kiện con,

ví dụ như “ rất khỏe ”,“ không ốm nhưng mà yếu ”, v v Khi chia nhỏ như vậy, ta được mô hình xác suất với một không gian xác suất 2 = {S 1 , S 2 , , H 1 , H 2 , } với nhiều phần tử hơn Hai không gian đó liên quan với nhau bởi một ánh xạ φ : 1 →

phần tử đó là như nhau (nếu phần tử này có phân biệt thứ tự thì phần tử kia cũng có phân biệt thứ tự)

Tập các phần tử thuận lợi của biến cố A là tập con của không gian mẫu Do đó, phần tử ở không gian mẫu và phần tử của biến cố A có cùng cấu trúc

Nếu mỗi phần tử trong không gian xác suất thứ nhất được biến đổi về nhiều phần

tử trong không gian xác suất thứ hai và các phần tử này có cùng cấu trúc thì xác suất của chúng không thay đổi

Trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất D’Alembert đã giải bài toán “Tung hai

đồng xu liên tiếp, tính cơ hội nhận được ít nhất một mặt ngửa” như sau:

D’Alembert cùng một lúc đưa ra hai mô hình Mô hình thứ nhất gồm 3 kết quả

có thể (N-S, N-N, S-S), ông nói rằng xác suất cần tìm là 2/3 Trong mô hình thứ hai gồm 4 kết quả có thể (N-S, N-N, S-N, S-S), kết quả xác suất là 3/4 Trong lập luận của mình, D’Alembert đã thừa nhận quan niệm cho rằng “tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử đều đồng khả năng” cho cả hai mô hình ở trên Chính điều này đã gây ra hai kết quả mâu thuẫn nhau Theo Trần Túy An (2007) tác giả gọi mô hình thứ nhất là

mô hình quan sát và mô hình thứ hai là không gian các phần tử mịn nhất Và theo tác giả để kiểm tra hai kết quả trên thì sử dụng xác suất thực nghiệm để kiểm chứng kết quả và hiển nhiên mô hình thứ hai đúng

Theo các nhận xét trên mà chúng tôi đưa ra về xác xuất Laplace, chúng tôi thấy

mô hình thứ nhất các phần tử không đều nhau vì N-S phải là 2 phần tử N-S và S-N Nghĩa là các phần tử cùng cấu trúc thì phải liệt kê vào các trường hợp có thể có của không gian mẫu Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tôi xét bài toán nghịch lý ba đồng tiền đã gặp trong lịch sử toán học như sau: Tung ngẫu nhiên ba đồng tiền cân đối đồng chất, tính xác suất để ba đồng tiền đó có cùng mặt

Khi nói, gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền thì nếu hiểu ba đồng tiền gieo lần lượt, hoặc gieo ba đồng tiền phân biệt, hoặc gieo ba đồng tiền phân biệt có thứ tự, hoặc gieo

ba đồng tiền 200đ đồng thời thì kết quả xác suất không thay đổi Tuy nhiên, khi liệt kê mỗi kết quả có thể có thì mỗi phần tử đó phải tuân theo một cấu trúc giống nhau

Nghĩa là khi phần tử kết quả có thể này theo cấu trúc có thứ tự thì mọi phần tử khác cũng tuân theo quy tắc này Chẳng hạn khi gieo 3 đồng tiền lần lượt hoặc cùng lúc ba đồng tiền phân biệt kết quả có thể có { SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} Và kết quả xác suất gieo ba đồng tiền cùng mặt là ¼ Giả sử nếu hiểu rằng, gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền là gieo ba đồng tiền phân biệt (Ba màu của đồng tiền là: xanh, đỏ, vàng) ba lần liên tiếp khi đó mỗi kết quả có thể có tương ứng với SSS ở trên được liệt kê lại như sau: SđSxSv, SđSvSx, SxSđSv, SxSvSđ, SvSđSx, SvSxSđ Tương tự liệt

kê như vậy cho bảy phần tử còn lại Như vậy có 48 kết quả có thể có, số phần tử có thể có cho biến cố cả ba đồng tiền cùng mặt là 12 Kết quả xác suất ba đồng tiền cùng mặt là 12/48 =1/4 Khi nói gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền thì chúng ta thường hiểu là ba đồng tiền phân biệt hoặc ba đồng tiền lần lượt để khi liệt kê không gian mẫu trùng với kết quả có của trường hợp này Vì khi liệt kê gieo cùng lúc ba đồng xu giống nhau { SSS, SSN, NNS, NNN } ta thấy kết quả SSS và NNN trùng với kết quả gieo ba đồng tiền phân biệt Do đó, những phần tử còn lại phải tuân theo cấu trúc gieo ba đồng tiền phân biệt Nhưng số phần tử không gian mẫu khi gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền là

8 biến cố sơ cấp chứ không thể là số khác

 Khi tính xác suất chúng ta phải thừa nhận sự ngẫu nhiên Vì cùng một hiện tượng như nhau thì hiện tượng ngẫu nhiên có thể xảy ra hoặc không xảy ra Do đó, nó làm cho cảm giác của chúng ta không chắc chắn khi tính xác suất của một biến cố Những bài toán mà trong lịch sử phát triển xác suất thường gặp rơi vào nghịch lý loại 2 ( một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn đến mâu thuẫn) Chúng tôi phân tích bài toán dạng này và cách giải quyết đã gặp trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất hoặc trong dạy học thực tiễn mà các đề tài đã nghiên cứu trong hai phần dưới đây

 Bài toán Méré Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), hai tác giả có viết

về bài toán này như sau:

Hiệp sĩ de Méré (tên khai sinh là Antoine Gombaud (1607-1684), là nhà văn và nhà triết học người Pháp) là một nhân vật lịch sử nghiện đánh bạc Ông ta hay chơi súc sắc, và nhận thấy rằng trong hai sự kiện sau:

A = “Tung một con súc sắc 4 lần, có ít nhất 1 lần hiện lên 6”, và

B = “Tung một đôi súc sắc 24 lần, có ít nhất 1 lần hiện lên một đôi 6”,

thì B ít xảy ra hơn A.Tuy nhiên ông ta không giải thích được tại sao Theo ông ta thì đáng nhẽ hai sự kiện đó phải có khả năng xảy ra bằng nhau, vì 24=6×4 Ông ta bèn hỏi bạn mình là nhà toán học và triết học Blaise Pascal (1623-1662), vào năm 1654 Pascal lúc đó đã “từ bỏ toán ”, nhưng có nhận lời suy nghĩ về câu hỏi của de Méré Sau đó Pascal viết thư trao đổi với Pierre de Fermat (159?-1665), một luật sư đồng thời là nhà toán học ở vùng Toulouse (Pháp) Hai người cùng nhau phát minh ra lý thuyết xác suất cổ điển, và giải được bài toán của de Méré Kết quả là:

P(A)=1−P(A )=1−(1−1/6) 4 ≈ 0, 5177 và

P(B)=1 − P(B)=1 − (1 − (1/6) 2

)24 ≈ 0, 4914

Trong bài toán trên, de Méré đã biết sai lầm trong suy luận của mình thông qua

số lượng lần chơi khá lớn Còn Pascal và Pierre de Fermat đã trình bày lời giải bài toán trên liên quan đến “tích của các không gian xác suất” Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), hai tác giả có ghi vấn đề này như sau:

Nếu M và N là hai tập hợp, thì tích của chúng (hay còn gọi là tích trực tiếp, hay tích Descartes), ký hiệu là M × N, là tập hợp các cặp phần tử (x, y), x ∈ M, y ∈ N Trong trường hợp M =(Ω 1 , P 1 ) và N =( Ω 2 , P 2 ) là hai không gian xác suất, thì tích Ω 1 × Ω 2 , cũng có một độ đo xác suất P, được xác định một cách tự nhiên bởi P 1 và P 2 bằng công thức sau: Nếu A 1 ⊂ Ω 1 và A 2 ⊂ Ω 2 nằm trong các sigma-đại số tương ứng của P 1 và

P 2 thì: P(A 1 × A 2 )= P 1 (A 1 ) × P 2 (A 2 ) (1.15) Sigma-đại số của P chính là sigma-đại số sinh bởi các tập con của Ω 1 × Ω 2 có dạng A 1 × A 2 như trên Khi ta nói đến tích trực tiếp của hai không gian xác suất, ta sẽ hiểu là nó đi kèm độ đo xác suất được xác định như trên

Tương tự như vậy, ta có thể định nghĩa tích trực tiếp của n không gian xác suất, hay thậm chí tích trực tiếp của một dãy vô hạn các không gian xác suất

 Bài toán nghịch lý ba đồng tiền Theo Trần Lương Công Khanh (2013), tác giả cho rằng :

Nghịch lý 3 đồng tiền xuất phát từ bài toán sau: Tung ngẫu nhiên 3 đồng tiền cân đối, đồng chất Tính xác suất để cả 3 đồng tiền rơi xuống có cùng mặt (cùng sấp hoặc cùng ngửa)

Lịch sử toán học từng xuất hiện 2 lời giải với 2 kết quả khác nhau của bài toán 3 đồng tiền Lời giải thứ nhất huy động định nghĩa cổ điển bằng cách liệt kê các trường hợp

có thể có và các trường hợp thuận lợi Lời giải thứ hai xét riêng 2 đồng xu đầu với đồng xu thứ ba

Lời giải 1: Các kết quả có thể có: SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN Các kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét: SSS, NNN Xác suất cần tính: 2/8 = ¼

Lời giải 2: Theo nguyên lý Dirichlet, khi tung 3 đồng xu, có ít nhất 2 đồng xu rơi xuống cùng mặt Để cả 3 đồng xu rơi xuống cùng mặt, cần và đủ là đồng xu thứ ba có cùng mặt với hai đồng xu đầu Vậy xác suất cần tính là ½

Hai kết quả khác nhau nên không thể cả hai lời giải đều cùng đúng Lời giải 1 liệt kê

đủ các trường hợp có thể có và các trường hợp thuận lợi, huy động định nghĩa cổ điển của xác suất nên là một lời giải đúng Vậy, lời giải 2 sai Sai lầm của lời giải 2 là đã

thay đổi điều kiện của bài toán: ½ là xác suất để 3 đồng tiền cùng mặt với điều kiện đã

có 2 đồng tiền cùng mặt Học sinh có phát hiện được sai lầm của lời giải 2 không? Theo Trần Túy An (2007), để thuận lợi cho liệt kê các trường hợp gieo 3 hoặc 4 đồng tiền thì sách song ngữ Pháp-Việt đã cung cấp cách liệt kê sơ đồ cây cho học sinh Với cách liệt kê này học sinh dễ liệt kê không để sót phần tử Bên cạnh đó, chúng tôi thấy nó có thể giúp học sinh phát hiện được sai lầm lời giải 2 do thay đổi điều kiện của bài toán

 Bên cạnh những khó khăn như các bài toán nghịch lý loại 2 đã nêu trên, thì trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất còn gặp khó khăn các bài toán khác rơi vào nghịch

lý loại 1 và nghịch lý loại 3 Theo Trần Lương Công Khanh (2013) tác giả có ghi như sau:

Trong toán học, thuật ngữ nghịch lý được dùng để chỉ một kết quả đúng nhưng trái với trực giác thông thường (nghịch lý loại 1) hoặc một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2) Trong lý thuyết xác suất, tồn tại những bài toán

có nhiều kết quả khác nhau phụ thuộc vào cách hiểu (hợp thức hoặc không) đề bài đã cho Do lạm dụng ngôn ngữ, ta gọi chúng là nghịch lý loại 3

 Bài toán nghịch lý sinh nhật: Theo Trần Lương Công Khanh (2013)

Nghịch lý sinh nhật được nhà bác học Mỹ gốc Áo Richard von Mises (1883-1953) phát hiện, nghịch lý sinh nhật bắt nguồn từ bài toán xác định số người của một nhóm

để xác suất hai người trong nhóm có cùng ngày tháng sinh là 0,5

Dưới đây là nội dung lời giải của bài toán đó như sau:

Lời giải của bài toán này không xét đến các năm nhuận Xét một nhóm n người Gọi

A = “Tồn tại 2 người có cùng ngày tháng sinh” Ta cần xác định n để P(A) = 0,5 Đặt

A = “Hai người bất kỳ đều có ngày tháng sinh khác nhau ” Trong một nhóm có n bạn

Vì mỗi bạn đều có 365 cách chọn ngày sinh nhật, cho nên n bạn sẽ có 365n cách chọn ngày sinh Tức là có tất cả 365n khả năng khác nhau khi nói về ngày sinh của n bạn trong nhóm

Số phần tử thuận lợi cho biến cố A là: Bạn thứ nhất có 365 cách chọn ngày sinh nhật Bạn thứ 2 không cùng sinh nhật bạn thứ nhất nên có 364 cách chọn, tương tự cho đến bạn thứ n không cùng ngày sinh nhật với n-1 bạn trước đó Vậy có tất cả 365!

(365 n 1)! phần tử thuận lợi cho biến cố A Xác suất của biến cố A là

Hoặc chúng ta có thể kiểm tra lại kết quả P(A) với n = 23 trên chức năng calculator ở chế độ khoa học trong Windows trên máy vi tính của chúng ta

Căn cứ vào hình 1.1, chúng ta thấy với một nhóm 57 người thì xác suất hai người cùng ngày sinh nhật là 0,99 Điều này trái với trực giác thông thường của chúng ta Tác giả Trần Lương Công Khanh (2013) đã khảo sát 35 học sinh về bài toán trên thì có

34 học sinh cho rằng kết quả n = 23 thì xác suất của chúng vào khoảng (0;0,25) Cụ thể nội dung khảo sát như sau:

Phiếu số 1 gồm hai câu hỏi sau đây:

Câu hỏi 1: Có bạn nào trong lớp có cùng ngày, tháng sinh với em không?

Câu hỏi 2: Không tính toán, em hãy phỏng đoán xác suất để trong một nhóm 23 người, có 2 người có cùng ngày, tháng sinh (đánh dấu vào ô tương ứng với khoảng giá trị phỏng đoán):

(0; 0,25) (0,26; 0,5) (0,6; 0,75) (0,76; 1) Phiếu số 1 được thu hồi trước khi phát phiếu số 2 để học sinh không thể điều chỉnh phiếu số 1 sau khi đọc phiếu số 2 Phiếu số 2 gồm hai phần:

- Phần 1 phát biểu và chứng minh nghịch lý sinh nhật, kèm theo kết luận: Trong 23 người có ngày tháng sinh bất kỳ, xác suất để có 2 người có cùng sinh nhật là 0,5073

- Phần 2 yêu cầu học sinh nêu nhận xét của mình về kết luận trên với các gợi ý: Đối chiếu với phỏng đoán, với thực tế lớp em, nêu ý nghĩa của giá trị 0,5

Kết quả khảo sát như sau: Trước hết, chúng tôi ghi nhận rằng trong 35 học sinh của lớp học được khảo sát, không có 2 em nào có cùng ngày, tháng sinh

- 34/35 học sinh phỏng đoán xác suất đang xét nằm trong khoảng (0; 0,25) Chỉ có 1 học sinh chọn khoảng (0,26; 0,5)

- 34 học sinh đã chọn khoảng (0; 0,25) nhận xét rằng kết quả trong phiếu số 2 lớn hơn phỏng đoán của các em Học sinh duy nhất chọn khoảng (0,26; 0,5) cho biết em biết trước kết quả nhờ đã đọc một tài liệu về nghịch lý sinh nhật - Khi đối chiếu với thực

tế lớp học, cả 35/35 học sinh đều viết rằng: “Em không tìm thấy chỗ sai trong chứng

minh nhưng kết quả không phù hợp với thực tế vì lớp em có 35 người nhưng không ai

có cùng ngày tháng sinh với em”

- Giải thích cho sự “kỳ lạ” này, có hai nhóm ý kiến

+ 26/35 học sinh cho rằng xác suất chỉ thể hiện một khả năng nào đó chứ không có gì chắc chắn Một phản ví dụ của 26 học sinh này là “lớp em có 35 người (đông hơn 23 người) nhưng không ai có cùng sinh nhật với em.”

+ 9 học sinh còn lại dùng mô hình tần suất để giải thích nghịch lý sinh nhật Theo đó, xác suất gieo một con súc sắc được 6 chấm là 1/6 không có nghĩa là cứ 6 lần gieo thì

có 1 lần được 6 chấm Điều này có nghĩa là khi số lần gieo n đủ lớn thì số lần xuất hiện 6 chấm sẽ gần với n/6 Đối với nghịch lý sinh nhật, khi số người n  366, ta luôn tìm được ít nhất 2 người có cùng ngày tháng sinh (theo nguyên lý Dirichlet)

Chúng tôi rút ra những nhận xét sau từ khảo sát trên:

- Tuyệt đại đa số học sinh ước lượng P(A) < 0,5 Điều này cho thấy khó xem xét biến

cố A bằng trực giác thông thường

- Việc học sinh quan niệm rằng xác suất là khả năng không chắc chắn cho thấy sự cần thiết phải đi tìm ý nghĩa của xác suất trong những tình huống cụ thể

- Với tiếp cận tần suất, học sinh giải thích một cách chặt chẽ ý nghĩa của 1/6 khi cho

n  (trường hợp gieo 1 con súc sắc) nhưng không giải thích được ý nghĩa của 0,5073 (trường hợp nghịch lý xác suất)

- Học sinh đã xem xét xác suất để ngày tháng sinh của một người nào đó giống với ngày tháng sinh của một người cho trước (chẳng hạn của mình) thay vì xem xét xác suất để ngày tháng sinh của một người nào đó giống với ngày tháng sinh của một người bất kỳ

Từ các nhận xét trên của tác giả, chúng tôi ghi nhận và giải thích rõ ràng hơn nữa các vấn đề sau:

Học sinh xem xác suất để một người nào đó trùng với ngày sinh của mình thay vì xem xác suất hai người bất kì cùng ngày sinh Mà xác suất này ứng với 23 người là rất thấp

Cụ thể chúng tôi giải lại bài toán này như sau: Gọi B = “Tồn tại 1 người có cùng ngày

tháng sinh với bạn” Ta cần xác định n để P(B) = 0,5 Đặt B = “không có người nào có ngày tháng sinh với bạn ”

Kết quả có thể có 365n khả năng khác nhau, khi nói về ngày sinh của n bạn trong nhóm Số phần tử thuận lợi cho biến cố B là: Bạn thứ nhất có 364 cách chọn ngày sinh nhật khác bạn Bạn thứ 2 có 364 cách chọn ngày sinh nhật khác bạn, tương tự cho đến bạn thứ n không cùng ngày sinh nhật với bạn có 364 cách chọn Vậy có tất cả

 364 n phần tử thuận lợi cho biến cố B Xác suất của biến cố B là P(B)=364

Tính xác suất để MN có độ dài lớn hơn 3 (độ dài cạnh tam giác đều nội tiếp)

Xác suất cần tìm là tỉ số diện tích đường tròn nhỏ và đường tròn lớn Do đó kết quả là ¼ Khi cách chọn dây cung được xác định, bài toán có lời giải duy nhất Khi chưa xác định cách chọn dây cung, thuật ngữ “ngẫu nhiên” trong “chọn ngẫu nhiên một dây cung trên đường tròn” trở thành mơ hồ Ba lời giải của Bertrand ứng với ba cách chọn dây cung khác nhau và ta không có lý do để ưu tiên hoặc bác bỏ lời giải nào Ngoài đường kính, một dây cung hoàn toàn được xác định bởi trung điểm của nó Một cách khác để chọn dây cung ngẫu nhiên là xem xét phân phối trung điểm dây cung Hai lời giải đầu tạo ra hai phân phối không đều, khác nhau Lời giải thứ ba tạo ra một phân phối đều các trung điểm ở miền trong của đường tròn Có thể xây dựng các phân phối khác và thu được các xác suất khác Giáo viên có tính đến sự phụ thuộc của xác suất vào các lựa chọn ngẫu nhiên?

Qua trình bày trên, chúng tôi thấy liên quan đến vấn đề chọn ngẫu nhiên Để tìm hiểu vấn đề này, chúng tôi trích lại phần tri thức luận liên quan đến phép thử ngẫu nhiên Theo Lê Thị Hoài Châu (2012), Tác giả có ghi như sau:

Lịch sử phát triển lý thuyết xác suất cho thấy cần phân biệt các phép thử ngẫu nhiên theo những loại khác nhau như sau:

 Phép thử ngẫu nhiên có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện

 Phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả không đồng khả năng xuất hiện

 Phép thử ngẫu nhiên có thể có vô hạn khả năng ( đồng hoặc không đồng khả năng ) xuất hiện

Trong trình bày trước, chúng tôi có đề cập đến ba cách tiếp cận khái niệm xác suất Đó là: Tiếp cận cổ điển, tiếp cận thống kê và tiếp cận hệ tiên đề Trong tiếp cận

cổ điển của Laplace có thể mở rộng cho trường hợp vô hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Cách tiếp cận mở rộng này gọi là tiếp cận hình học Công thức để tính xác suất của chúng là: P(A)=độ đo của A/độ đo  Trong đó mỗi kết quả có thể được biểu thị mỗi điểm trong miền đo  Mỗi kết quả thuận lợi được biểu thị mỗi điểm trong miền đo A Miền đo có thể là đường thẳng, diện tích, thể tích Ba lời giải trong nghịch

lý Bertrand đều thỏa các yếu tố trong tiếp cận hình học Nhưng làm thế nào để chọn phương án đúng trong trường hợp này? Theo Trần Lương Công Khanh (2013) những vấn đề trên là một phần nguyên nhân hình thành nên xác suất hệ tiên đề Khi đó, lời giải 3 được chấp nhận vì chọn ngẫu nhiên như vậy tạo ra được phân phối đều

1.2 Kết luận

 Khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo ba cách khác nhau: Tiếp cận tiên đề, tiếp cận Laplace và tiếp cận thống kê Tuy nhiên, hai tiếp cận phù hợp với học sinh THPT là tiếp cận Laplace và tiếp cận thống kê Tính xác suất theo tiếp cận Laplace ứng với biến cố đồng khả năng Còn tiếp cận thống kê sẽ hiệu quả hơn khi các biến cố

là không đồng khả năng Theo Trần Túy An (2007): “Cả hai cách tiếp cận (Laplace và thống kê) vừa mâu thuẫn nhưng cũng vừa hỗ trợ cho nhau Vì vậy cần một tiến trình

sư phạm gắn bó hai cách tiếp cận này, sao cho tận dụng được quan niệm “ban đầu” của

học sinh đồng thời giải quyết được các vấn đề trong thực tế” Cụ thể tác giả đã dẫn chứng: Muốn kiểm tra hai mô hình “gieo hai đồng xu” mà D’Alembert đưa ra cách tốt nhất công nhận mô hình nào thì chúng ta dùng thống kê để kiểm tra

 Công thức tính xác suất Laplace đưa ra, chỉ cần liệt kê các phần tử cấu trúc giống nhau của phần tử có thể có và phần tử của biến cố thuận lợi Xác suất của biến cố đó là

tỉ số của số biến cố thuận lợi và số phần tử có thể có Bên cạnh đó, xác suất tiếp cận theo Laplace là xác suất đều nên lấy định lý tích Descartes làm các không gian xác suất làm trọng tâm

 Chúng tôi nhận thấy rằng: Khi dạy và học về khái niệm xác suất ở THPT hoặc cao hơn luôn xuất hiện những khó khăn tương tự ba nghịch lý chúng tôi đã phân tích trên Đặc biệt là nghịch lý loại 2 ( một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn đến mâu thuẫn) Để giải quyết một phần khó khăn trên khi tính xác suất, chúng ta thường chọn những phương pháp đếm càng cụ thể càng tốt Hiển nhiên, liệt kê sơ đồ cây rồi đếm phần tử là cụ thể nhất Với cách liệt kê này, không những dễ liệt kê để đếm số phần tử

mà còn phát hiện được một số sai lầm trong nghịch lý loại 2 Để tìm hiểu xem sách giáo khoa trình bày khái niệm xác suất như thế nào? Hạn chế những khó khăn trên ra sao? Chúng tôi tiến hành phân tích sách giáo khoa môn toán lớp 11 hiện hành ở chương 2

Chương 2 PHÉP TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích hai bộ sách giáo khoa hiện hành

đó là sách Đại số và giải tích 11 dùng cho ban cơ bản (ĐS&GT11CB) và sách Đại số

và giải tích 11 nâng cao (ĐS&GT11NC) Nhằm trả lời câu hỏi Q2: Phép tính xác suất

của một biến cố ngẫu nhiên được đưa vào sách giáo khoa như thế nào? Ðược giải thích trong sách giáo viên ra sao? Giáo viên và học sinh gặp những khó khăn nào khi dạy và học phép tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên?

2.1 Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11

Xác suất được dạy ở học kì I lớp 11 trong chương II Tổ hợp - Xác suất Trong chương này được chia thành các bài kèm theo số tiết dạy như sau

 Bài 1: Qui tắc đếm (3 tiết)

 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (5 tiết)

 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn (1 tiết)

 Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết)

 Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết)

 Ôn tập chương II (3 tiết)

Với cách sắp xếp như trên chúng tôi thấy thể chế đang mong muốn vận dụng đại số tổ hợp vào tính xác suất Các yếu tố liên quan khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên bao gồm: Phép đếm, phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên và công thức tính xác suất Do đó chúng tôi trình bày theo cấu trúc sau:

2.1.1 Phép đếm trong sách Đại số và giải tích 11

Trong phần này, chúng tôi phân tích chủ yếu các kỹ thuật liên quan đến phép đếm nhằm làm rõ kỹ thuật nào thể chế được ưu tiên và không ưu tiên Liên quan đến phép

đếm, sách Đại số và giải tích 11 dùng cho ban cơ bản (ĐS&GT11CB) có hai bài

Bài 1: Qui tắc đếm và Bài 2: Hoán vị-Chỉnh hợp-Tổ hợp

 Qui tắc đếm

Trước khi trình bày hai qui tắc đếm cơ bản sách ĐS&GT11CB có ghi như sau:

Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n(A) Người ta cũng dùng kí hiệu

|A| để chỉ số phần tử của tập A Chẳng hạn:

a) Nếu A={a,b,c} thì số phần tử của tập A là 3, ta viết n(A)=3 hay |A|=3

b) Nếu A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, B={2,4,6,8}(tập hợp các số chẵn của A) thì A\B={1,3,5,7,9}

- Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9

- Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4

- Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5

Những phép đếm cơ bản học sinh đã biết từ rất sớm Đếm số phần tử của tập hợp như trên thì học sinh đã được học lớp 6 và lớp 10 Chúng tôi nghĩ phần này sách ĐS&GT11CB chỉ ôn tập lại kiến thức cũ cho học sinh để chuẩn bị cho bài học mới

 Quy tắc cộng

Trước khi phát biểu quy tắc cộng, sách ĐS&GT11CB đưa ra ví dụ 1

Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9 Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả ấy?

Và được giải như sau:

Vì các quả cầu trắng hoặc đen được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn Nếu chọn quả trắng có 6 cách chọn, còn nếu chọn quả đen thì

có 3 cách chọn

Do đó, số cách chọn một trong các quả cầu là 6 + 3 = 9 (cách)

Từ ví dụ trên, sách ĐS&GT11CB đưa ra quy tắc cộng:

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này

có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện

Tiếp đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra hoạt động 1 như sau:

Trong ví dụ 1, kí hiệu A là tập hợp các quả cầu trắng, B là tập hợp các quả cầu đen Nêu mối quan hệ giữa số cách chọn quả cầu và số phần tử của hai tập A, B Hoạt

động 1 được Sách giáo viên đại số và giải tích 11 giải như sau Kí hiệu A, B lần lượt

là tập hợp các quả cầu trắng, đen, ta có A={1, 2 , 3, 4, 5 ,6}, B={7, 8, 9} Khi đó, vì n(A)=6, n(B)=3, A  B nên n(AB)=n(A)+n(B)=6+3=9, trong đó(AB)là tập hợp các quả cầu trắng và đen

Từ đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra nhận xét: Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì n(AB)= n(A)+n(B)

Sau đó trình bày phần chú ý: quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động

Để làm rõ hơn cách phát biểu quy tắc cộng trong phần nhận xét trên sách ĐS&GT11CB đưa ra ví dụ 2:

Có bao nhiêu hình vuông trong hình 23?

Và được giải như sau:

Rõ ràng, chỉ có thể có hình vuông cạnh 1cm và 2cm Kí hiệu A là tập hợp các hình vuông có cạnh là 1cm và B là tập hợp các hình vuông có cạnh 2cm Vì

A  B nên n(AB)=n(A)+n(B)=10+4=14 Vậy có tất cả 14 hình vuông

Có thể nhằm giảm nhẹ cho học sinh ở ban cơ bản nên ở sách ĐS&GT11CB không đưa công thức n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB) Tuy nhiên công thức này vẫn có trong sách Bài tập đại số và giải tích 11 dành cho ban cơ bản

Đến đây, chúng tôi thấy có kiểu nhiệm vụ Tcộng: Tính số phần tử thỏa quy tắc cộng

Kỹ thuật:

- : Tính số phần tử thỏa tính chất thứ nhất, tính số phần tử thỏa tính chất thứ 2, sau đó cộng lại

- : Đặt A là tập hợp các phần tử thỏa tính chất 1 và đặt B là tập hợp các phần tử thỏa tính chất 2 Đếm số phần tử của tập A, B sau đó tính n(AB)=n(A)+n(B) với

 Quy tắc nhân: Được sách ĐS&GT11CB trình bày như sau:

Trong phần này, chúng tôi thấy sơ đồ cây xuất hiện ở hình 24 Và cách giải thích

trong Sách giáo viên đại số và giải tích 11 như sau: “Ví dụ 3 trong SGK nhằm dẫn đến

quy tắc nhân nên khi giảng ví dụ này, giáo viên nên dùng sơ đồ hình cây để học sinh

dễ hình dung” Tiếp sau đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra quy tắc nhân:

Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc đó

Tiếp đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra hoạt động 2:

Và hoạt động trên được Sách giáo viên đại số và giải tích 111 giải thích như sau:

Hoạt động 2 nhằm cũng cố thêm ý tưởng về công thức nhân được nêu trong ví dụ 3, được giải như sau: Kí hiệu a, b, c là tên ba con đường từ A đến B; 1, 2, 3, 4 là tên bốn con đường từ B đến C

Khi đó, tập các cách đi từ A đến C qua B được mô tả như sau:

a1, a2, a3, a4

b1, b2, b3, b4

1

Sách giáo viên đại số và giải tích 11 ở đây và trong luận văn này là tên của sách giáo viên đại số và

giải tích 11 ban cơ bản

c1, c2, c3, c4

Vậy có 3.4 = 12 cách đi từ A qua B đến C

Đến đây, chúng tôi thấy không còn sơ đồ cây nữa Thay vào đó là liệt kê theo thứ

tự từ điển Và từ đó trở về sau công thức nhân sẽ ưu tiên sử dụng thay cho hai cách liệt

kê trên Chẳng hạn, sang ví dụ 4 đề bài và lời giải như sau

Ví dụ 4 Có bao nhiêu số điện thoại gồm:

b) Tương tự, số các số điện thoại gồm sáu chữ số lẻ là 56 = 15 625 (số)

Có thể ở ví dụ 4, số cách chọn quá lớn không phù hợp với liệt kê, nhưng các bài

tập ở sách giáo khoa được giải trong Sách giáo viên đại số và giải tích 11

(SGVĐS&GT11) tất cả đều dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân Điều này cũng được thể hiện ở phần mục đích yêu cầu trong SGV là: Nắm được quy tắc cộng và quy tắc nhân để giải toán

Từ các ví dụ trên, chúng tôi thấy có kiểu nhiệm vụ Tnhân: Tính số các phần tử thỏa quy tắc nhân

Các Kỹ thuật tham chiếu:

- : Tính số phần tử của k hành động liên tiếp tương ứng với mỗi hành động là m1, m2, …, mk phần tử Sau đó, tính tích của chúng

- + : Đặt tập hợp A1, A2, …, Ak tương ứng với mỗi hành động trong k hành động Đếm số phần tử của mỗi tập hợp sau đó sử dụng công thức n(A1 x A2 x … x Ak) = n(A1) x n(A2) x … x n(Ak)

- : Liệt kê2 tất cả các phần tử, sau đó đếm số phần tử

- : Liệt kê tất cả các phần tử theo sơ đồ cây Sau đó, đếm số phần tử

Trong các kỹ thuật trên, sách ĐS&GT11CB ưu tiên kỹ thuật

Lời giải:

Để xác định, ta giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A, B, C, D, E Để tổ chức

đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai, … và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự tên năm cầu thủ Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai, … và B đá quả cuối cùng Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau:

2 Trong luận văn này từ liệt liệt kê là tất cả các cách liệt kê ngoại trừ liệt kê sơ đồ cây

ĐỊNH NGHĨA

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( 1)

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Để vận dụng định nghĩa vừa nêu, sách ĐS&GT11CB đưa hoạt động 1: “Hãy liệt kê tất

cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3.” Chúng tôi thấy rằng: Ở hoạt động này, số các hoán vị nhỏ, rất phù hợp để học sinh làm bài bằng cách liệt kê hoặc

liệt kê sơ đồ cây Và bài giải ở sách giáo viên đại số và giải tích 11(SGVĐS&GT11)

viết có 3!=6 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau

Thông qua ví dụ 1 và hoạt động 1, sách ĐS&GT11CB đã đưa ra nhận xét sau: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau thứ tự sắp xếp Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau

Tiếp sau đó, sách ĐS&GT11CB đưa vào ví dụ 2 và lời giải như sau:

Ví dụ 2 Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ngồi?

Giải Để đơn giản, ta viết A, B, C, D thay cho tên bốn bạn và viết ABCD để mô

tả cách sắp xếp như hình 27

a) Cách thứ nhất: Liệt kê

Các cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau:

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDAB, DACB, DABC, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA

Như vậy có 24 cách, mỗi cách cho ta một hoán vị tên của của bốn bạn và ngược lại

- Bạn còn lại xếp vào chỗ thứ tư

Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp chỗ ngồi là 4.3.2.1 = 24 (cách)

Tiếp sau đó là, kí hiệu Pn là số các hoán vị n phần tử Ta có định lí sau đây

ĐỊNH LÍ

Và chứng minh bằng cách dùng quy tắc nhân Sau đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra chú

ý Kí hiệu n(n-1)(n-2)…2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có: Pn = n!

Để giúp học sinh ứng dụng định lí vừa nêu trên, sách ĐS&GT11CB đưa ra hoạt động 2 với nội dung: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội gồm mười người được xếp thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? Ở hoạt động này được SGVĐS&GT11 giải rất ngắn gọn Có 10! cách

Trong phần này, chúng tôi thấy có kiểu nhiệm vụ

Thoán vị: Tính số các hoán vị của n phần tử

Pn = n(n-1)(n-2)…2.1

Các kỹ thuật tham chiếu:

- : Liệt kê tất cả các phần tử của hoán vị n phần tử, sau đó đếm các phần tử đó

- : Liệt kê tất cả các phần tử của hoán vị n phần tử theo sơ đồ cây, sau đó đếm các phần tử đó

- : Tính số phần tử của n hành động liên tiếp tương ứng với mỗi hành động là n, n-1, …, 2, 1 sau đó tính tích của chúng

- : Đặt tập hợp A1, A2, …, An tương ứng với mỗi hành động trong n hành động Đếm số phần tử của mỗi tập hợp Sau đó sử dụng công thức n(A1 x A2 x … x An) = n(A1) x n(A2) x … x n(An)=n(n-1) … 2.1

- : Sử dụng công thức tính số hoán vị của n phần tử Pn=n!

Trong các kỹ thuật trên sách ĐS&GT11CB có trình bày kỹ thuật liệt kê, kỹ thuật quy tắc nhân và kỹ thuật hoán vị Qua đó, chúng tôi thấy thiếu vắng kỹ thuật sơ đồ cây

 Chỉnh hợp

Trước khi đưa ra định nghĩa chỉnh hợp, sách ĐS&GT11CB đưa ra ví dụ 3

Một nhóm học tập có 5 bạn A,B,C,D,E Hãy kể ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật: Một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế

Và được giải như sau: Ta có bảng phân công sau đây

Từ đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra định nghĩa: Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây

ĐỊNH NGHĨA:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp

chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

đã cho

Sau đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra hoạt động 3: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D Liệt kê tất cả các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho Với hoạt động này SGVĐS&GT11 đưa ra lời giải:

Có 2

4

A vectơ

Trước khi nêu định lí tính số các chỉnh hợp, sách ĐS&GT11CB làm như sau:

Trở lại ví dụ 3, ngoài cách tính số phân công trực nhật bằng phương pháp liệt kê, ta còn có một cách khác là sử dụng quy tắc nhân Để tạo nên mọi cách phân công, ta tiến hành như sau:

- Chọn một bạn từ 5 bạn để giao việc quét nhà Có 5 cách

- Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi, chọn tiếp một bạn từ bốn bạn còn lại để giao việc lau bảng Có bốn cách

- Khi đã có các bạn quét nhà và lau bảng rồi, chọn tiếp một bạn từ ba bạn còn lại để sắp bàn ghế Có 3 cách

Theo quy tắc nhân, số cách phân công trực nhật là:

5.4.3=60 cách

Nói cách khác, ta có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn

Rồi từ đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra kí hiệu, định lí và chứng minh định lí như sau:

Kí hiệu A n k là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1<=k<=n)

Định lí

Chứng minh Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành như sau:

Chọn một trong n phần tử đã cho xếp vào vị trí thứ nhất Có n cách

Khi đã có phần tử thứ nhất, chọn tiếp một trong n-1 phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ hai Có n-1 cách

…

Sau khi đã chọn k-1 phần tử rồi, chọn một trong n-(k-1) phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ k Có n-k+1 cách

Từ đó theo quy tắc nhân, ta được A n k n(n 1 )(n 2 ) (nk 1 )

Trong phần này, chúng tôi thấy sách ĐS&GT11CB rất quan tâm cách chứng minh mạch lạc công thức số các chỉnh hợp thông qua qui tắc nhân Điều này cũng làm tương tự như cách chứng minh công thức số các hoán vị Cách liệt kê chỉ mô tả một vài chỉnh hợp chứ không liệt kê để đếm tất cả các chỉnh hợp

Tiếp sau định lí trên, sách ĐS&GT11CB đưa ra ví dụ 4 để áp dụng và một số chú

ý được trình bày như sau:

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số

1, 2, …, 9?

Giải: Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9 Vậy số các số đó là

5 9

A n n n k 

b Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần

Các kỹ thuật tham chiếu:

- : Liệt kê tất cả các phần tử của chỉnh hợp chập k của n phần tử, sau đó đếm số các chỉnh hợp trên

- : Liệt kê tất cả các phần tử của chỉnh hợp chập k của n phần

tử theo sơ đồ cây, sau đó đếm số các chỉnh hợp trên

- : Tính số phần tử của n-k+ 1 hành động liên tiếp tương ứng với mỗi hành động là n, n-1, …, n-k+1 sau đó tính tích của chúng

- : Đặt tập hợp A1, A2, …, Ak tương ứng với mỗi hành động trong k hành động Đếm số phần tử của mỗi tập hợp, sau đó sử dụng công thức n(A1 x A2 x … x Ak) = n(A1) x n(A2) x … x n(Ak) = n(n-1) … (n-k+1)

- : Sử dụng công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần

k n

n A

chỉnh hợp Do đó, sau khi học chỉnh hợp, thể chế mong muốn học sinh áp dụng kỹ thuật vào giải quyết các bài toán tính số các chỉnh hợp

Để giúp học sinh nắm rõ định nghĩa trên, sách ĐS&GT11CB đưa ra hoạt động 4

“Cho tập A={ 1, 2, 3, 4, 5} Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 4, chập 5 của phần tử A” Hoạt động này được SGVĐS&GT11 giải thích như sau:

Hoạt động 4 được đưa ra nhằm cũng cố thêm về ý niệm của tổ hợp mà đang được hình thành qua ví dụ 5 Nó được giải như sau:

Có C53;C54 lần lượt là các tổ hợp chập 3 và 4 của 5 phần tử tập A

Tiếp đó, sách ĐS&GT11CB đưa ra kí hiệu, định lí và chứng minh định lí như sau:

Kí hiệu C là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0<=k<=n) n k