Bài tập 8 trang 98
A
B
Cho tứ diện ABCD có :
Chứng minh rằng:
0 60 ˆ
ˆ = =
=
= AC ADvàB A C B A D
AB
CD AB
a ) ⊥
b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm
của AB và CD thì
CD
MN ⊥
AB
MN ⊥ và
M N
Trang 2Cho tứ diện ABCD có :
Chứng minh rằng:
0 60 ˆ
ˆ = =
=
= AC ADvàB A C B A D
AB
CD AB
a ) ⊥
A
B
Nếu và lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và thì :
v
a
u
b
⇔
⊥ b
a u v ??? = 0
Muốn chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc nhau ta có thể chứng minh
0 CD =
AB
Hãy nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và trong không gian
u v
??
( ) u v v
u v
u = cos ,
⇓
( AB CD )
CD AB
CD
AB = ??? cos ,
Với 3 điểm A, C, D :(quy tắc trừ)
=
CD AD ??? − AC
( ) ? , ?
ˆ C =
A
B
( ) ? , ?
ˆ D =
A B
( AB AC )
C A
( AB AD )
D A
AD AC
AB AB = = = AC ⇒ = AD ??
Trang 3Cho tứ diện ABCD có :
Chứng minh rằng:
0 60 ˆ
ˆ = =
=
=
D A B C
A B
ADvà AC
AB
CD AB
a ) ⊥
A
B
Xét tích vô hướng: AB CD
Ta có:
( AD AC )
AB CD
AB = −
AC AB
AD
AB −
=
) ,
cos(
.
) ,
cos(
AD AB AD AB AC AB AC
= mà:
AD AC
AB AD
AC
AB = = ⇒ = = và B A ˆ C = B A ˆ D = 600
Do đó:
CD AB
CD
AB = 0 ⇔ ⊥
Trang 4Cho tứ diện ABCD có :
Chứng minh rằng:
0 60 ˆ
ˆ = =
=
=
D A B C
A B
ADvà AC
AB
b) Nếu M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD thì
CD
MN ⊥
AB
MN ⊥ và
M N
Áp dụng tính chất trung điểm:
M là trung điểm AB ⇒ ???
N là trung điểm CD ⇒ ???
0
= + MB
MA
0
= + NC
ND
hay
0
= + CN
DN
Hãy phân tích thành tổng của các vectơ trong đó có
MN
AD
DN AD
MA
CN BC
MB
MNMN== 1 2 +( AD ++ BC )
⇒
Với 3 điểm A, B, C: (quy tắc trừ)
AB AC
BC BC = = ??? −
Với 3 điểm A, C, D: (quy tắc trừ)
=
DC AD ??? AC
CD = −
Trang 5MN ⊥
b) Chứng minh nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì:
AB
MN ⊥
Xét tích vô hướng MN AB
Ta có:
AB BC
AD AB
2
1
mà
AB AB
AC AD
AB MN
AB AC
BC
)
( 2
1 = + −
⇒
−
=
)
.
( 2
AB AB
AC AB
=
Theo giả thiết ta lại có:
AD AC
AB = = và B AˆC = B AˆD = 600
Do đó:
AB MN
AB
MN = 0 ⇔ ⊥
Xét tích vô hướng MN CD
Ta có:
CD BC
AD CD
2
1
mà:
AC AD
CD AB
AC
BC = − ; = −
Tương tự ta sử dụng những giả thiết của đề bài :
AD AC
0
60 ˆ
ˆC = B A D =
A
B
Do đó:
CD MN
CD
MN = 0 ⇔ ⊥