Bài tập tự học ở nhà.. có một số là số chính phương.
Trang 1Chuyên đề về các bài toán có chữ số giống nhau
1Lý thuyết:
Cấu tạo số có chữ số giống nhau:
Số 1, 11, 111, 1111, 11111có thể viết thành
1
2
10 1
1 9
10 1
11 9
− =
− =
vv đến số 11 1 ở đó có n số 1có thể viết 111111 11 10 1
9
n n
−
=
1 4 2 4 3
999 9 1000 0 1 10 1
k k
6 7 8 6 7 8
12 3 Các chữ số 2, 22, 222, có viết thành:
1
2
10 1
9
10 1
9
10 1
9
n
− =
− =
− =
ở đó có n số 2
và các số khác cũng có thể viết theo quy tắc trên:
2 Bài tập:
Bài 1: cho số tự nhiên n có k chứ số 9.Chứng tỏ tổng các chữ số của số n2 là 9k.
Giải: Ta viết
10 1 999 9 9(111 1) 9 10 1
9
k
k k
1 2 3
Tính chữ số của N2 theo công thức:
2 2 2 2
(999 9).(10 1) 999 9000 0 999 9 999 98000 01
k
N N N
=
=
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 Vậy tổng các chữ số là: 9(k− + + =1) 8 1 9 k
Trang 2Bài 2: Cho các số 49, 4489, 444889, , là số ta viết thêm số 48 vào giữa các chữ số của số 49,
chứng tỏ rằng tất cả các số viết theo quy tắc như vậy là bình phương của số tự nhiện
Giải: Ta iết các số dưới dạng:
:
1 2 3
49 4.1.10 8.1 1
4489 4.11.10 8.11 1
444889 4.111.10 8.111 1
Và cứ thế, cứ thế
{ 1
444 488 89 4.111 1.10n 8.111 1 1
n
N
−
Mà theo lý thuyết 11 11 10 1
9
n n
−
=
2 2
(10 1).10 (10 1) 1
2.10 1 3
n
N N N
+
Số 2.10n+1é chia hết cho 3, vậy chứng tỏ N là bình phương của số tự nhiên.
Bài 3: Cho số A(n) và B(n) với 2n chữ số 1 và n chữ số 2
Có thể hay không A(n) – B(n) là bình phương của số tự nhiện ?
Giải: Ta có:
2
( ) ( ) 111 1 222 2
A n −B n =12 3 −1 2 3
Mà 222 2 210 1
9
n n
−
=
2 2
9
n n
−
=
12 3 nên:
2
(10 1)(10 1) 10 1
(10 1)[(10 1) 2]
( ) ( )
9
2 (10 1) ( ) ( )
9
n
2 2
(10 1)
3
n
Vâyj ( )A n −B n( ) số chính phương
Bài 4 : Tính giá trị của B= (999.999.999) 2
Trang 3Giải: Ta viết
2 9
10 1 (999.999.999) 9 10 2.10 1 1000 0 2000 0 1
9
−
Vậy:
2
(999.999.999) =999 98000 011 2 3 1 2 3
Bài 5:
Cho số
666
666 6
A=1 2 3 và số
666 333 3
B=1 2 3 Tính AB ?
Giải: Ta có
666 666
666 6 6.111 1
666 666
10 1 333 3 3.111 1 3 ,
9
1 2 3 123 Vậy
666
3.6.(111 1)
9
666 2.(111 1)(10 1)
666 (222 2)(10 1)
666 (222 2).10 222 2
666 666 666 222 2000 0 222 2
AB=1 2 3 1 2 3 −1 2 3
665 665 222 21777 78
AB=1 2 3 1 2 3
ở tích AB:
- có một số 1;
- có một số 8;
- có 665 số 2;
- có 665 số 7
3 Bài tập tự học ở nhà.
1 Tính tổng : 2 22 222 2+ + +
ở số hạng cuối cùng có n chũ số 2
2
111 1 222 2 (333 3)
12 3 1 2 3 1 2 3
3 Chứng minh rằng 111 1
n
1 23 chia hết cho 41 nếu n chia hết cho 5.
4 Có thể hay không trong các số : 11,111,1111,11111, có một số là số chính phương
5 Có thể hay không các : 1111,111111, , ở đó có chẵn chữ số 1, là hợp số