Thành lập một đoàn gồm hai ngời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin.. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau2. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi
Trang 6NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I – NGUYÊN HÀM
Trang 7
Vấn đề 1: Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa:
Trang 10
Ví dụ 5: Tính nguyên hàm của hàm số 4 2 2 3 ( ) x x f x x − + = và F(1) = - 3 ( ) 3 2ln 3 3 x F x x C x = − − + ; Vì F(1) = - 3 nên C = C= −13 Vậy nguyên hàm ( ) 3 2ln 3 1 3 3 x F x x x = − − −
Trang 11
Vấn đề 2: Xác định nguyên hàm bằng việc dùng bảng:
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
Bài 7: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
Bài 8: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
Bài 9: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
Bài 10: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
Trang 12II- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI TẬP
Bài 1 Tích phân các hàm đa thức
1) 1( 2)2
0
1 x x− − dx
∫ 2) 1 ( )19
0
1
∫ 3) 1( ) ( 2)10
0
1 3+ x 1 2+ x+3x dx
2 2 0
x −x dx
∫
Bài 2 Tích phân các hàm hữu tỉ
1) ( )
1
3
0
3 1
3
x
dx
x
+
+
∫ 2) ( )
1
3
x dx
x+
∫ 3) ( )
2 5
dx
x x +
∫ 4) ( )
4 2
dx
∫ 5)
2
x dx
x − x+
∫ 6)
3 3 1
dx
x x+
∫
Bài 3 Tích phân các hàm vơ tỉ
1)
2 2
2
0
1
2
dx
x+ + x−
∫ 3)
6
dx
2
xdx x
+ −
5)
2
2
2
3
1
1 dx
2 3
2
dx
1 2
0
1 1
x dx x
− +
∫ 8)
7/3 3 0
1
3 1
x dx x
+ +
1
0
1
x −x dx
1
2 1/2
1 x dx
−
−
∫ 11)
2 /2 2
2
x dx x
−
4
dx
∫
Trang 1310
dx
x− x−
0
x − x +x dx
∫ 15) 16)
Bài 4 Tích phân các hàm lượng giác
2 0
sin 2 1 sinx x dx
π
+
0
sin x cos x dx
π
+
0
os os4
π
/4 2 0
1 sin 2 os
x dx
∫
e)
3
8
8
sin os
dx
π
π
2
6
1 sin 2 os2 sinx cos
dx x
π
π
+
2 3 6 4
sin os
x dx
π
π
0
2cos
3 2sinx
x dx
π +
∫
k)4 2
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx x
π
−
+
sinx 0
cos cos
π +
0
cos
1 cos
x dx x
π +
0
4sin
1 cos
x dx x
π +
2
0
1 cos sinx os x c x dx
π
−
0
sin 2 sinx
1 3cos
x
dx x
π
+ +
0
sinx.cos
1 os
x dx
π +
0
sin 2 cos
1 cos
dx x
π +
∫
t)2 2
0
sin t anx.x dx
π
0
cosx sinx.dx
π
3
6 sinx.sin
6
dx x
π
0
cos 2sinx 4cos 3sinx
x
dx x
π
+ +
∫
Bài 5 Tích phân các hàm mũ và logarit
a)1( ) 2
0
2x−1 e x x− dx
ln 2
0
1 1
x x
e dx e
− +
1 2 0
dx
e +e
1
1 3ln ln
e
dx x
+
∫ e)
ln 5 2
x
x
e dx
e −
1
0
x
e dx
1
0 2x 1
dx
+
2
2 1
2 log 2
x dx x
+
∫
1/9
3
1
1 5
sin 2 1 4 1
dx
2
10x sin
x dx
π
−
−
∫
Bài 6 Tích phân từng phần:
a) 1 ( )
1
ln 1
e
−
+
2
ln x −x dx
0
.ln 1
1
.ln
∫
e) ( )2
1/2
ln
1
e
x dx
x+
1 2 0
1
x + dx
0
os
x c x dx
π
0
1 os2
x dx
π +
∫
k)3 2
0
sinx
os
x
dx
π
+
2 0
1 sinx
π +
2 0
2 os 1
π
−
2
1
sin x dx
π
∫
o)
2
1
.sin
π
10 2 1
.lg
0
5 sin 2x
π
1 3 0
x
x e dx
0
os
x
e c x dx
π
∫
Bài 7 Tích phân 2 cận đối
a)
2
2
sinx.sin 2 os5
1
x
dx e
π
π
2
2 2
cos
4 sin
dx x
π
π
−
+
−
1
1 2x
x dx
2
2
sinx
4 5x dx
Trang 14Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng vaứ theồ tớch vaọt theồ troứn xoay
1 Tính phần diện tích phẳng giới hạn bởi các đờng cong: y =f(x) = x2 – 2x và y g(x) = x
2 Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng:
x
sin
1
= ,
x
cos
1
= ,
3
, 6
π
3 Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng: ln2
x
x
y = , y = 0, x = 1, x = e
4 Cho D là một miên bị giới hạn bởi các đờng cong: 2
1
1
x
y
+
= và
2
2
x
a Tính diện tích miền D
b Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox
5 Trên mặt phẳng với hệ toạ độ chuẩn Oxy, D là miền đợc giới hạn bởi các đờng có phơng trình: y = x2,
27
2
x
x
y= 27 Tính diện tích của D
6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = |x| và y = 2 - x2
7 Cho miền D đợc giới hạn bởi hai đờng: x2 + y – 5 = 0 ; x + y – 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo nên do quay miền D quanh trục hoành
8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: x = 1, x = e, y = 0 và
x
x
y= 1+ln .
9 Tính S của hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 – 4x + 5 và 2 tiếp tuyến của (P) kẻ tại 2 điểm A(1, 2), B(4, 5)
10.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y=− 4 x− 2 và x2 + 3y = 0
11.Cho D là miền kín giới hạn bởi các đờng y= x , y = 2 – x, y = 0
a Tính diện tích của miền D
b Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy
12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = |x2 - 4x + 3| và y = 3 trong mặt phẳng toạ độ Oxy
13.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: x = 1, x = e, y = 0 và
x
x
y= 1+ln
14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x2, y = 4x2, y = 4
15 Tính S phần mặt phẳng hữu hạn đợc giới hạn bởi các đờng x = 0, x= 12 , trục Ox và đờng cong 4
1 x
x y
−
16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = xex, y = 0, x = -1, x = 2
18
Trang 15a) b)
ẹAẽI SOÁ TOÅ HễẽP
Quy tác cộng, Quy tắc nhân:
1 Một trờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán Thành lập một đoàn gồm hai ngời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn nh trên?
2 Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8
a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
3 Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9?
4 Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
5 Từ các sô 0,1,2,3,4,5
a Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5
b có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9?
Hoán vị
1 Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5
a Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
b Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3?
c Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1
d Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ?
2 Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho:
a Bạn C ngồi chính giữa
b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế?
3 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau?
4 Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Ngời ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a Các học sinh ngồi tuỳ ý?
b Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn?
5 Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5 Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu
a Năm chữ số 1 xếp kề nhau
b Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý?
Chỉnh hợp
1 Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau?
2 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau??
3 Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau
a Chia hết cho 5
b Không chia hết cho 5?
4 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó
a Số tạo thành là số chẳn?
b Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1?
c nhất thiết phải có mặt chữ số 5??
d Phải có mặt hai số 0 và 1?
5 Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?
Tổ hợp
1 Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu
a Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý?
b Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?
c Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau??
Trang 162 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn?
3 Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th và 3 bì th và dán 3 tem th lên 3 bì
th đã chọn Mỗi bì th chỉ dán 1 tem Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế?
4 Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngời đi dự Hội nghị sao cho trong
đó có ít nhất 1 cán bộ lớp?
5 Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
6 Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ:
a Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau?
b Có bao nhiêu cách chọn 5 ngời trong đó không quá một nam?
7 Có hai đờng thẳng song song d1 và d2 Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy?
8 Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu?
b Không có đủ ba màu?
9 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ??
10 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ
3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2??
11 Đội TNXK của một trờng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy??
12 Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em, gồm 7học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Cử 8 em đi
dự trại hố sao cho mỗi khối cú ớt nhất 1 em được chọn Hỏi cú bao nhiờu cỏch cử như vậy?
13 (ĐH Y-2000)
Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 ngời cần có cả nam và nữ ,có cả toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách
14 Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy
15 Bill Gate có 5 ngời bạn thân.Ông muốn mòi 5 trong số họ đi chơi xa Trong 11 ngời này có 2 ngời không muốn gặp mặt nhau.Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời
16 ĐH-CĐ khối B/2004
Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không ít hơn 2?
17 ĐH-CĐ khối B/2005
Một đội thanh nien tình nguyện có 15 ngời,gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ
18 ĐH-CĐ khối B/2002
Cho đa giác đều A1,A2, A2n(n∈N và n ≥2) nội tiếp đờng tròn (O).Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1,A2, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n đỉnh A1,A2, A2n.tìm n
RUÙT GọN CáC BIểU THứC
1/ Rút gọn các biểu thức sau:
a A= 4 7 8 9
10 3 5 2 7
P P P P P
b B=
4 n
A +A
A c C =
2
5
A
P 2P
−
d D= n+1
4
n n-k
P
A P +
7 17
C +2C C
C
+
e E=
3
3 5
P A
+
f F=
2
A - A
P + 5
2
P P
Trang 172/ Chứng minh :
a
n
n
P =
n-1
1
P +
n-2
1
P b n+2 n+1 2 n
A +A =k A c 2 2 2 5
k n+1 n+3 n+5 n+5
P A A A =n.k!A d k n-k
C =C
PHơng trình liên quan đến công thức tổ hợp:
Giải các PT và BPT sau:
1 C1x+6C x2 +6C x2 =9x1−14x 2 P2x2-P3 .x=8 3 2 2
2A +50=A , x N∈ 4 3 2
2n 20C n
5 3+ 2 =14 x−1
x x
A 6 1 2 3
7
C +C +C = x
2 7 3 2 2
x-1 x-1 x-2
2
3
− 8 1 2 1
=
C −C 6C
9 3 n-2
A +C =14n 10 3 4 2
A − C = A 11 72 6( 2 2 )
ã
2
x x x
P + = + 12.A10x +A x9 =9A x8
13 Giải phơng trình x!(−x(+x1−)!1)!= 61 với x là số tự nhiên khác 0
Giải bất phơngtrình : 14 6 10
2
2x − x ≤ x +
x A
A 15.A x3 +5A x2 ≤21x 16 2 2 3 2 30
1 + <
C
17:
1 2
+ <
n n
n
n
P P
P
P
18 Giải hệ:
=
−
= +
80 2
5
90 5
2
y x
y x
y x
y x
C A
C A
19
1
5 y 3 y
−
=
Các bài toán tổng hợp:
1 Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2,3,4,5,6 trong đó 1 và 6 có mặt hai lần, các số còn lại 1 lần
2 Có bao nhiêu số chẳn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đàu tiên là số lẻ
3 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẳn và 3 chữ số lẻ
4, Có baonhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt số 0 nhng không có mặt số 1
5 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ sô biết rằng sô 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại không quá một lần?
6.Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trờn đường thẳng d1 lấy 10 điểm phõn biệt, trờn đường thẳng d2 cú n điểm phõn biệt (n>1) Biết rằng cú 2800 tam giỏc cú đỉnh là cỏc điểm đó cho Tỡm n
7.Từ caực chữ số 0,1,2,3,4,5,6, cú thể lõp bao nhiờu số chẳn, mỗi số cú 5 chữ số khỏc nhau trong đo cú đỳng 2 chữ số
lẻ và hai chữ số lẻ đú đứng cạnh nhau?
8 Từ cỏc số 0,1,2,3,4 cú thể lập baonhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau? Tớnh tổng tất cả cỏc số tự nhiờn đú 9.Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 5 chữ số sao cho: Chữ số 0 cú mặt hai lần, số 1 cú mặt 1 lần, 2 số cũn lại phõn biệt
10 Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú bốn chữ số sao cho khụng cú chữ số nào lặp lại 3 lần
11 Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 7 chữ số sao cho: Số 2 cú mặt 2lần, số 3 cú mặt 3 lần, cỏc số cũn lại khụng quỏ một lần
12 Cho đa giỏc đều A1, A2, A2n nội tiếp đường trũn tõm O, biết rằng số tam giỏc cú cỏc đỉnh là 3 trong 2n điểm
A1, A2, A2n gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú đỉnh là 4 trong 2n điểm.Tỡm n
13 Từ cỏc số 1,2, ,6 Lập bao nhiờu số cú 3 chữ số khỏc nhau và chia hết cho 3
14 Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẳn gồm 5 chữ số khỏc nhau và khụng bắt đầu bằng 123
Nhị thức Newton
I áp dụng công thức khai triển
1 Tìm hệ số của số hạng thứ t trong khai triển
10
1
+
x x
2 Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển
40 2
1
+
x x
3 Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển: ( )7
3 x− 2 +x
4 Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau:
Trang 18a
12
3
+
x x
b
7 4
+
x x
5 Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (2x-3y)25
6 Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển
10 3 5
1
+
x x
7 trong khai triển
21 3 3
+
a
b b
a
tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau??
II Khai triển với giả thiết có điều kiện
1/ Biết khai triển
n
x
2 +1
Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46 Tìm số hạng không chứa x?
2/Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển =
− n
x
x2 2 là 97 Tìm hạng tử của khai triển chứa
x4.
n n n n
n
n n
n
C x
C x
C x
3
1 ) 1 .(
3
1 3
1 = 0 − 1 1+ −
− − Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triểnlà 5 Tìm số hạng chính giữa??
4/ Cho khai triển n n n n n n
x C x
C x
x 2 ) ( ) ( 2 )
2
3 + = + + Biết tổng ba hệ số đầu là 33.Tìm hệ số của x2 5/ Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển
n
x
+ 5 3
1
Biết rằng 1 3 7( 3)
+
n
n
6/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2-3x)n trong đó n thoả mãn hệ thức sau
1024 2 1
1 2
3 1 2
1
1
+ +
C
7/ Giải phơng trình sau
1 2 2 2007 2
4 2
2
n n
C
8/ Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển
n
x
− 7 4
1
biết n thoả mãn hệ thức
2 1 2 1 2 1 2n1 2 1
9/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 khi khai triển (2+x)n biết
2048 )
1 (
3 3
3 0 − − 1 1 + − 2 2 + + − n =
n
n n
n n
n n
10/Cho n n1 n 2 79
C +C − +C − = Trong khai trieồn nhũ thửực 3 1528
n
x x x
−
+
haừy tỡm soỏ haùng khoõng phuù thuoọc vaứo x.
11/Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x26trong khai trieồn nhũ thửực Niutụn cuỷa 7
4
x x
+
, bieỏt raống
2 +1+ 2 +1+ + 2n+1=2 −1
12/.Tỡm heọ soỏ cuỷa x4trong khai trieồn bieồu thửực ( 2)
A= − −x x thaứnh ủa thửực Trong ủoự n laứ soỏ nguyeõn dửụng
thoỷa maừn: ( 2 2 2 2) 2
2 C +C +C + + C n =3A n+
13/ Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x10 trong khai trieồn nhũ Niu tụn cuỷa (2+x)n bieỏt:
( )
3n 3n 3n 3n 1 n n 2048
C − − C + − C − − C + + − C =