Đồ Thị

TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1.

Ôn Thi Vao Lớp 10 Phần Đồ Thị Hàm Số

CHỦ ĐỀ 4: Hàm số – đồ thị

I MỤC TIÊU:

• HS nắm vững các tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số bậc hai y = ax2 (với a

≠0)

• Rèn luyện kỷ năng viết phương trình của đường thẳng khi biết một số điều kiện

• Xác định quan hệ giữa các đồ thị hàm số

• Rèn luyện kỹ năng vẽ hình

II NỘI DUNG:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Hàm số bậc nhất:

 Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a; b ∈ R; a ≠0)

 Hàm số đồng biến trong R khi a > 0; nghịch biến trong R khi a < 0

 Với hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a’x + b’ (d2) ta có:

• (d1) // (d2) ⇔ a = a’; b ≠b’

• (d1) cắt (d2) ⇔ a ≠ a’

• (d1) trùng (d2) ⇔ a = a’; b = b’

• (d1) ⊥ (d2) ⇔ a a’ = -1

 Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) là: y = A B

A B

y - y

x - x x +

A B B A

A B

x y - x y

x - x

2 Hàm số bậc hai:

 Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 (a ≠ 0)

 Nếu a > 0; hàm số đồng biến trong R+; nghịch biến trong R-; nếu a < 0 hàm số đồng biến trong R-, nghịch biến trong R+

 Đồ thị của hàm số y = ax2 là parabol nằm phía trên trục hoành nếu a > 0, nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0, nhận trục tung làm trục đối xứng

3 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = ax + b (d) và y = kx 2 (p)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p) là kx2 = ax + b (1)

 (d) và (p) không có điểm chung khi và chỉ khi (1) vô nghiệm

 (d) và (p) có một điểm chung khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

 (d) và (p) có hai điểm chung khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt

B LUYỆN TẬP:

Bài 1:

Cho hàm số y = −12x2

a) Vẽ đồ thị

b) Gọi M và N là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là –2; 1 Viết

phương trình của đường thẳng d song song với đường thẳng MN và tiếp xúc với (p)

Hướng dẫn:

a)

b) Vì M(-2; yM) thuộc (p) nên yM = −12(-2)2 = -2 ⇒ M(-2; -2)

Vì N(1; yN) thuộc (p) nên yN = −12.12 = − ⇒12 N(1; 1

2

− ) Phương trình của đường thẳng MN có dạng y = ax + b

⇒

2 = -2a + b 1

- = a + b 2

−







1

a = 2

b = -1









⇒Vậy phương trình của đường thẳng MN là y = 1

2x – 1 Phương trình của đường thẳng d có dạng y = mx + n

Vì d //MN nên m = 12 ⇒ y = 1

2x + n Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p) là: −12x2 = 12x + n

⇔x2 + x + 2n = 0

⇔ ∆ = 1 – 8n

(d) tiếp xúc với (p) khi 1 – 8n = 0 ⇒ n = 1

8 Vậy phương trình của đường thẳng (d) là: y = 12x + 18

Giáo viên nguyễn Đình Long Trường THCS Nguyễn Du-CS- Gia Lai Longnga63n@yahoo.com

Bài 2:

Trên cùng một hệ trục toạ độ gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 và (T) là đồ

thị của hàm số y = -x + 2

a) Vẽ (P) và (T)

b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (T) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng đại số

Hướng dẫn:

Hàm số y = x2 có TXĐ là R; đồng biến trong R+ nghịch biến trong R

-Bảng các giá trị tương ứng của x và y

Hàm số y = - x + 2 có TXĐ là R, nghịch biến trong R

Điểm cắt trục tung A(0; 2); Điểm cắt trục hoành B(2; 0)

Đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại hai điểm M(-2; 4) và N(1; 1)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (T) là:

x2 = -x + 2

x2 + x – 2 = 0

Giải phương trình trên ta được

x1 = -2 ⇒y1 = 4

x2 = 1 ⇒y2 = 1

Vậy (P) và (T) cắt nhau tại

hai điểm M(-2; 4) và N(1; 1)

Bài 3:

Cho đường thẳng (D) : 5x – 7y = 3

a) Một parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ, trục đối xứng Oy và tiếp xúc với (D) Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 6; x = 18; y = 7; y = 23 có duy nhất 1 điểm thuộc (D) mà toạ độ của điểm đó là cặp số nguyên

Hướng dẫn:

y = ax2 (a≠0) (D) có phương trình: y =

7

3 -5x (P) tiếp xúc với (D) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng có nghiệm kép:

ax2 = 5x7-3 ⇔7ax2 – 5x + 3 = 0

∆ = 25 – 84a = 0 ⇒a =

84 25

Toạ độ của tiếp điểm: M( ;73

5

6 ) b) Aùp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn ta có công thức nghiệm của 5x – 7y = 3 là:







=

= 5t -1 y

7t

- 2 x

với t ∈ Z Mà 6 ≤ x ≤18 ⇔

7

16 -t 7

4 ≥ ≥

−

(1)

7≤ y ≤23 ⇔

5

22 -t 5

6 ≥ ≥

Từ (1) và (2) suy ra: t -56

7

16 ≤ ≤

t = -2 (vì t ∈ Z) Khi đó x = 16; y = 11 Vậy trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 6; x = 18; y = 7; y = 23 có duy nhất 1 điểm thuộc (D) mà toạ độ của điểm đó là cặp số nguyên là điểm

A(16; 11)

Bài 4:

Cho hàm số: y = 4x + 7

a) Các điểm A(-1; 3) B(4; 47) có nằm trên đồ thị của hàm số trên không?

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B

Cho biết vị trí tương đối của hai đường thẳng đó Vẽ chúng trên cùng một mặt phẳng toạ độ

Hướng dẫn:

Cho hàm số: y = 4x + 7

a) Điểm A(-1; 3) thuộc đồ thị hàm số; Điểm B(4; 47) không thuộc đồ thị hàm số

b) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là: y = -14 x + 114

Hai đường thẳng trên vuông góc với nhau tại điểm A(-1; 3)

y = 4x + 7

Giáo viên nguyễn Đình Long Trường THCS Nguyễn Du-CS- Gia Lai Longnga63n@yahoo.com

y = - 14x + 114

Bài 5:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm A(0; 5); B(-3; 0); C(1; 1); M(-4,5; -2,5)

a) Chứng minh rằng A; B; M thẳng hàng và A; B; C không thẳng hàng

b) Tính diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn:

a) Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 5) và B(-3; 0) là y = 35x + 5 Điểm M(-4,5; -2,5) thuộc đường thẳng AB hay A; B; M thẳng hàng

Điểm C(1; 1) không thuộc đường thẳng AB hay A; B; C không thẳng hàng

b) Ta có: AB2 = 32 + 52 = 34; AC2 = 12 + 42 = 17; BC2 = 42 + 12 = 17

⇒AB2 = AC2 + BC2 nên tam giác ABC vuông cân tại C

SABC = 21 CA CB = 21CA2 = 8,5 (đvdt)

Bài 6:

Cho parabol (P): y = -

4

x2

và đường thẳng (D): y = mx – 2m – 1 a) Vẽ (P)

b) Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)

c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P)

Hướng dẫn:

a) Vẽ (P): y = -

4

x2

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: -

4

x2

= mx – 2m - 1

⇔x2 + 4mx – 8m – 4 = 0

Δ ’ = 4m2 + 8m + 4 = (2m + 2)2

(D) tiếp xúc với (P) khi Δ ’ = (2m + 2)2 = 0 ⇒ m = -1

c) Giả sử A(x0; y0) là điểm cố định thuộc (D) ta có: y0 = mx0 – 2m – 1 với mọi m

⇔m(x0 – 2) – 1 – y0 = 0 với mọi m ⇔







=

−

−

=

− 0 y 1

0 2 x

0







−

=

= 1 y

2 x

0 0

Vậy (D) luôn đi qua điểm cố định A(2; -1) thuộc (P): y = -

4

x2

Bài 7:

Cho parabol (P); y = ax2 và điểm A(2; -1)

a) Xác định a biết (P) đi qua điểm A Vẽ (P)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 1) và có hệ số góc m

c) Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

d) Chứng minh rằng có hai đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P)

Hướng dẫn:

a) (P): y = ax2 đi qua A(2; -1) nên a = -14

Giáo viên nguyễn Đình Long Trường THCS Nguyễn Du-CS- Gia Lai Longnga63n@yahoo.com

b) Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M(0; 1) và có hệ số góc m là y = mx + 1 c) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: -41x2 = mx + 1

⇔x2 + 4mx + 4 = 0

Δ ’ = 4m2 – 4 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi Δ ’ = 4m2 – 4 > 0 ⇔m > 1 hoặc m < -1

d) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) khi Δ ’ = 4m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±1

Vậy có hai đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là y = x + 1 và y = -x + 1

Bài 8:

Cho parabol (p): y = ax2 và đường thẳng (D): y = (m – 1)x – (m – 1) với m ≠1 a) Tìm a và m biết (p) đi qua điểm I(-2; 1) và tiếp xúc với (D)

b) Chứng minh (D) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m c) Vẽ (P) và (D) tìm được ở câu a trên cùng một hệ trục toạ độ

Hướng dẫn

a) (P): y = ax2 đi qua điểm I(-2; 4) nên a = 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: x2 = (m – 1)x – (m – 1)

x2 – (m – 1)x + (m – 1) = 0

∆ = (m – 1)2 – 4(m – 1) = m2 – 6m + 5

(P) tiếp xúc với (D) khi ∆= m2 – 6m + 5 = 0 ⇔m1 = 1 (loại); m2 = 5 b) Giả sử (D) luôn đi qua điểm cố định M(x0; y0) với mọi m ta có:

y0 = (m – 1)x0 – (m – 1)

⇔m(x0 – 1) + 1 – x0 – y0 = 0 với mọi m

0 0

x -1=0 1-x -y =0





0 0

x =1

y =0





 Vậy (D) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0) với mọi giá trị của m

c) Vẽ đồ thị

Bài 9:

Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D): y = mx – m + 1

a) Chứng minh rằng (D) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m

b) Với giá trị nào của m thì (D) và (P) tiếp xúc với nhau

c) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị của hai hàm số tìm được ở câu b

Hướng dẫn:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là: x2 = mx – m + 1 (1)

⇔x2 – mx + m – 1 = 0

∆ = m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m

phương trình (1) luôn luôn có nghiệm hay (D) và (P) luôn luôn có điểm chung với mọi giá trị của m

b) (D) tiếp xúc với (P) khi (1) có nghiệm kép hay: ∆= (m – 2)2 = 0 ⇔ m = 2

Lúc đó phương trình của đường thẳng (D) là: y = 2x – 1

c) Vẽ đồ thị

Trên đồ thị ta thấy (P) và (D) tiếp xúc nhau tại điểm A(1; 1)

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

x

y

A

Giáo viên nguyễn Đình Long Trường THCS Nguyễn Du-CS- Gia Lai Longnga63n@yahoo.com

Bài 10:

Cho hàm số y = x2 + bx + c

a) Xác định các hệ số b và c biết đồ thị hàm số đi qua các điểm A(1; 2) và B(2; 1) b) Với b; c vừa tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

c) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x – 4 tiếp xúc với đồ thị của hàm số trên

Hướng dẫn:

a) Đồ thị hàm số y = x2 + bx + c đi qua các điểm A(1; 2) và B(2; 1) nên:

b c 1

+ =



 + = −

c 5

=



 = −



b) y = x2 – 4x + 5 = (x – 2)2 + 1 1 với mọi x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi x = 2

c) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x – 4 và đồ thị hàm số trên là

x2 – 4x + 5 = 2x – 4

x2 – 6x + 9 = 0 (x – 3)2 = 0 Phương trình có nghiệm kép x= 3

Vậy hai đồ thị tiếp xúc nhau tại M(3; 2)

Bài 11:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P): y = x2 Gọi A; B; C là ba điểm thuộc (P) thoả mãn xA – xB = xB – xC = a (a > 0) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC không thay đổi khi A; B; C di chuyển trên (P)

Hướng dẫn:

Ta có: SABC = SAHKC – (SAHIB + SBIKC)

= ( 2 2)

A C

x + x 2a

A B

x + x a

2 - ( 2 2 )

B C

x + x a 2

= a2(2x + 22A 2

C

x - 2 A

x - 2 B

x - 2 B

x - 2 C

x )

= a2 ( 2 2) ( 2 2)

A B B C

x - x - x - x

= a2 a x + x - a x + x( A B) ( B C)

= a2

2 (xA – xB + xB – xC)

= a2

2 .2a = a

3 không đổi

Bài 12:

Cho hàm số y = 2x2 (P)

a) Vẽ (P)

b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể vẽ được hai đường thẳng

vuông góc và cùng tiếp xúc với (P)

Hướng dẫn:

a) vẽ (P)

b) Giả sử M(a; b) và đường thẳng (D)

qua M có phương trình y = kx + m

⇒ b = ka + m ⇒ m = b – ka

(D): y = kx + b – ka

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)

Và (D) là: 2x2 = kx + b – ka

2x2 – kx + ka – b = 0

∆ = k2 – 8ka + 8b

(D) tiếp xúc với (P) khi ∆ = 0

⇒ k2 – 8ka + 8b

Để có hai tiếp tuyến vuông góc thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

k1; k2 và tích k1.k2 = -1

⇒ 1 16a - 8b > 02

8b = -1

∆ =





2

b < 2a 1

b = -8









Vậy M thuộc đường thẳng y = -18 và nằm ngoài (P) y = 2x2

Giáo viên nguyễn Đình Long Trường THCS Nguyễn Du-CS- Gia Lai Longnga63n@yahoo.com