KỲ THI CHỌN LỌC HS GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC : 2006-2007 MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề
Bài 1: Chứng minh rằng :
a) Với mọi số tự nhiên n>1thì số A=n6-n4+2n3+2n2 không thể là số chính phương b) Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai
số chính phương
Bài 2: a) Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức :
5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0
b) Cho hai số thực x,y thỏa mãn phương trình : 2x+3y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng : S=3x2+2y2
Bài 3: Giải phương trình :
2 7x3 − 11x2 + 25x− 12 =x2 + 6x− 1
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) , kẻ đường phân giác AD của góc BAC và
đường trung tuyến AM (D;M ∈BC ) Vẽ hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC
và tam giác ADM , hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là I , đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F Tia AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J
a) Chứng minh rằng: 3 điểm I , M, J thẳng hàng
b) Gọi K là trung điểm của EF , tia MK cắt AC và tia BA theo thứ tự tại P và Q Chứng minh rằng tam giác PAQ cân
HẾT
Trang 2
Bài giải Bài 1: a) A=n6-n4+2n3+2n2=n2(n-1)2(n+1)2 suy ra A là số chính phương khi n>1
b) Đặt a = x2 + y2 ; b = z2 + t2
Khi đó ta có a.b =( x2 + y2 )( z2 + t2 ) = x2 z2 + x2 t2 + y2 z2 + y2t2
a.b = (x2 z2 – 2 xzyt + y2t2) +( y2 z2 +2xzyt + x2 t2 ) =(xz + yt)2+(yz+xt)2 ( đpcm) Bài 2: a) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y -2x +2 = 0 ⇔4x2 + 8xy +4y2+x2-2x +1+y2+2y+1 = 0
⇔4(x+y)2+(x-1)2 +(y+1)2=0 ⇔
−
=
=
⇔
= +
=
−
= +
1
1 0
1
0 1
0
y
x y
x
y x
Vậy (x;y)=(1;1) thì đẳng thức thoả mãn
b) 1=
2
3 2 3
2 3 3
2x+ y− x + y suy ra 12=(
2
3 2 3
2
3x + y )2
+
=
+
≤
6
35 2
3 2
3 3
2
2
2 2
2 2
y x y
y x
4 9 2 3 2 3 2
kết hợp 2x + 3y = 1 suy ra x=
35
4
;y=
35 9
Vậy MinS =
35
9
; 35
4 35
6
=
=
Bài 3: 2 7x3 − 11x2 + 25x− 12 =x2 + 6x− 1 ⇔(x2 −x− 3)− 2 (x2 −x− 3 )( 7x− 4 ) + 7x− 4 = 0
=
=
≥
⇔
−
=
−
−
≥
−
−
≥
−
⇔
=
−
−
−
−
⇔
7
; 1 7 4 4
7 3
0 3
0 4 7 0 4 7 ) 3 (
2
2 2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=7
P Q
K F E
I
J
C B
A