Với kết quả này, hệ thức cần chứng minh có thể được viết lại thành: MC⋅ME⋅DC=MC2⋅DE ME⋅DC=MC⋅DE DC/MC=DE/ME Do tứ giác EMOC nội tiếp nên dễ thấy DEO~DMC và DEM~DOC.. Đây chính là [r]
Trang 1ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI HSG lớp 9 tỉnh Nghệ An
năm 2012-2013
Câu 1 (4.0 điểm)
a/ Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c = a 3+b3+c3 = 0 Chứng minh rằng trong ba
số a,b,c có ít nhất một số bằng 0
b/ Cho các số tự nhiên a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d và: ac+bd=(b+d+a−c)(b+d−a+c) Chứng minh rằng ab+cd là hợp số
Lời giải.
a/ Do a+b+c =0 nên ta có a3+b3+c3−3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=0,
suy ra a3+b3+c3 =3abc Mà theo giả thiết a3+b3+c3 cũng bằng 0 nên ta có
3abc=0 Nói cách khác, trong ba số a,b,c sẽ có ít nhất một số bằng 0 ĐPCM
b/ Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề Nếu số nguyên dương a là một ước số của tích A=a1a2⋯an với aiN∗ và a>ai, i =1,2,…,n thì a là hợp số
Chứng minh Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt Khi đó, do A⋮a nên trong các số
ai phải có ít nhất một số aj chia hết cho a, tức ta phải có aj≥a Điều này mâu thuẫn với tính chất của số a, do đó nó phải là hợp số
Trở lại bài toán:
Giả thiết của bài toán có thể được viết lại dưới dạng như sau:
ac+bd=(b+d)2−(a−c)2,hay a2−ac+c2=b2+bd+d2
Ta có (ab+cd)(ad+bc)=ac(b2+d2)+bd(a2+c2)
=ac(b2+bd+d2)+bd(a2−ac+c2)=(ac+bd)(b2+bd+d2)
Do đó, ab+cd là ước của (ac+bd)(b2+bd+d2)
Theo bổ đề trên, để chứng minh ab+cd là hợp số, ta chỉ cần chứng minh được tính đúng đắn của hai bất đẳng thức:
ab+cd >ac+bd (1)
và ab+cd >b2+bd+d2 (2)
Bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng do ta có ab+cd−ac−bd = (a−d)(b−c)>0 Như vậy, ta chỉ còn phải xét bất đẳng thức (2)
Từ giả thiết, ta thấy nếu
a<b+d thì: a2−ac+c2 =a(a−c)+c2<(b+d)(b+d−c)+c2
=b2+bd+d2−(b−c)(c−d)<b2+bd+d2
Trang 2Mâu thuẫn này cho thấy a≥b+d và như thế, ta có ab+cd>(b+d)b+d2=b2+bd+d2 Bất đẳng thức (2) được chứng minh Bài toán được giải quyết hoàn toàn
Câu 2 (6.0 điểm) _
a/ Giải phương trình: √2x2+7x+10 + √2x2+x+4 = 3(x+1)
b/ Giải hệ phương trình:
x2−3xy+y2 =−1 (1)
3x2−xy+3y2=13 (2)
Lời giải
a/ Đặt a = √2x2+7x+10 và b = √2x2+x+4 với (a,b>0) Khi đó, ta có
a2−b2 = 6(x+1) Do đó, phương trình đã cho có thể được viết lại thành:
a+b =1/2 (a2−b2 ) (a+ b) = ½ (a+b) (a – b ) hay (a – b )(a – b – 2 ) = 0
Do a+b>0 nên từ đây ta có a − b =2 Lại có a+b=3x+3 nên kết hợp lại, ta được _
2a=(a−b)+(a+b) = 3x+5, 2 √2x2+7x+10 =3x+5
Phương trình này tương đương với
3x+5≥0
4(2x2+7x+10) = (3x+5)2
x ≥ −5/3
x2+2x−15=0
x≥−5/3
(x−3)(x+5)=0 x=3
Thử lại, ta thấy x=3 thỏa mãn phương trình đã cho ban đầu Vậy phương trình có
nghiệm duy nhất x=3 (ĐS)
(2) Từ hệ phương trình, ta suy ra
0=13⋅(−1)+13 =13(x2−3xy+y2)+(3x2−xy+3y2)=8(2x−y)(x−2y)
Do đó, ta có x=2y hoặc y=2x
*Trường hợp 1 x=2y Thay kết quả này vào phương trình
(1), ta được (2y)2−3⋅2y⋅y+y2=−1 y2=1 y=1 ; x=2
y=−1 ; x=−2
Trang 3*Trường hợp 2 y=2x Bằng phép thế tương tự như trên, ta tìm được
(x,y)=(1,2) hoặc (x,y)=(−1,−2) Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm (x,y) là
(1,2),(2,1),(−1,−2) và (−2,−1)
Câu 3 (3.0 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn
a3+b3+c3−3abc =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=a2+b2+c2
Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,
ta có 1=(a3+b3+c3−3abc) 2
=(a+b+c) 2 (a2+b2+c2−ab−bc−ca) 2 ≤ [(a+b+c) 2+2⋅(a2+b2+c2−ab−bc−ca)3]3
=(a2+b2+c2)3
Từ đây, ta thu được P≥1 Mặt khác, dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khi
a=1 và b=c=0 Vậy minP=1 Đ PCM
Câu 4 (7.0 điểm) Từ điểm D nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến DA,DB
với đường tròn (A và B là các tiếp điểm) Vẽ cát tiếp tuyến DEC (E nằm giữa D và C) OD cắt AB tại M, AB cắt EC tại N Chứng minh rằng:
a/ MA là phân giác góc EMC
b/ MB2⋅DC=MC2⋅DE
c/ 2/EC=1/DC+1/NC
Lời giải Dễ thấy các khẳng định của bài toán là
hiển nhiên đúng trong trường hợp cát tuyến DEC
đi qua O Chứng minh dưới đây, ta chỉ trường
hợp DEC không đi qua O và không mất
tính tông quát, ta giả sử E gần A hơn B
(như hình vẽ)
(a) Sử dụng tính chất của tiếp tuyến, ta có
DE⋅DC=DA2 Mặt khác, ta lại có
DA2=DM⋅DO (áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác DAO vuông tại A có AM là đường cao) Do
đó, ta thu được
DE⋅DC=DM⋅DO
Từ đây, ta suy ra tứ giác EMOC nội tiếp Suy ra
EMD=ECO Do tam giác OEC cân tại O
nên ECO=CEO
Trang 4Mà CEO=CMO (cùng chắn cung CO của (EMOC)) nên ta có
EMD =ECO = CEO =CMO
Một cách đơn giản, ta có EMD = CMO; Mà EMD +EMA= 90o
và CMO +CMA = 90o nên với kết quả trên, ta cũng thu được
EMA = CMA Nói cách khác, MA là phân giác của góc EMC
(2) Theo chứng minh trên, ta có EMD = OMC và DEM =COM
(do tứ giác EMOC nội tiếp), suy ra DEM△ ∽△COM Từ đây, ta có
EM/OM=DM/MC hay MC⋅ME=MD⋅MO
Mà MD⋅MO=MB2 (áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MBO vuông tại O có
BM là đường cao) nên ta suy ra MB2=MC⋅ME
Với kết quả này, hệ thức cần chứng minh có thể được viết lại thành:
MC⋅ME⋅DC=MC2⋅DE ME⋅DC=MC⋅DE DC/MC=DE/ME
Do tứ giác EMOC nội tiếp nên dễ thấy
DEO~DMC và DEM~DOC Suy ra DC/MC=DO/OE
và DE/ME=DO/OC Mà OC=OE nên từ đây, ta có
DC/MC=DO/OE=DO/OC=DE/ME
(3) Ta thấy hệ thức cần chứng minh có thể được viết lại như sau:
2=EC/DC+EC/NC 1−EC/DC=EC/NC−1DE/DC=EN/NC
Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có EN/NC=EM/ MC
Do đó, ta chỉ cần chứng minh được DE/DC=ME/MC, hay DC⋅ME=DE⋅MC Đây chính là kết quả đã được chứng minh trong phần (2) ở trên
PHH sưu tầm và giới thiệu 2/2014 Nguồn trunghocphothong