Chuan kien thuc GT 12 (Day them)

b Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1.. b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M0-1; -2 c Chứng minh rằng điểm uốn của C là tâm đối xứ

Trang 1

Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Giải tích 12

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) Ta có:

a) Điều kiện đủ:

- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)

- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)

b) Điều kiện cần.

- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f’(x) 0≥ trên khoảng (a ; b)

- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f'(x)≤0trên khoảng (a ; b).

2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính y’, giải phương trình y’ = 0

- Lập bảng xét dấu y’

- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận

• Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng

• Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c

Nếu ∆<0 thì f(x) luôn cùng dấu a

Nếu ∆=0 thì f(x) luôn cùng dấu a

a

b x

2

−

≠

∀ Nếu ∆>0 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:

3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ

Trang 2

−+

− x m x m x ĐS : −1≤m≤4

3

)1

+

−++

−

x m mx

x m

mx

+

+1 đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số ĐS : m < -1 hoặc m > 1 b) y =

m x

m mx







2

;

0 π

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x0∈(a;b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) ∀x∈(x0 −h ;x0 +h) và x≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) ∀x∈(x0 −h;x0 +h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0

* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên

)

;(

,0)('

0 0

h x x x x

f

x h x x x

)

;(

,0)('

0 0

h x x x x

f

x h x x x

f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)

* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0 Khi đó:

"

0)('

x f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)

"

0)('

x f

thì x0 là điểm cực đại của f(x)

Trang 3

−

x x

1

222

n ) y =

1

32+

−

x

x x

p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; π]

có cực đại và cực tiểu ĐS : m < 3 d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị ĐS : m > 0

mx x

+

−+

−

x

m mx x

đạt cực tiểu tại x = 1

3 Cho hàm số y =

1

22

−

+

x

x x

(1) a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]

c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [1 ; 4]

Trang 4

Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Giải tích 12 g) y =

2 2+

++

x

x x

3

4

trên [0;π] u) y = sin2x + 2sinx – 1 t) y = cos22x = sinxcosx + 4

o) y = sin4x + cos2x + 2 w) y = x – sin2x trên − ππ; 

2

2 Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất

3 Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là 48cm2

4 ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.

a) Công thức chuyển hệ tọa độ:

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vec tơ OI =(x0;y0)là :

x X x

b) Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ IXY:

Y = f(X + x0 ) – y0

BÀI TẬP

1 Xác định đỉnh I của (P) : y = x2 – 4 x + 3 Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo

OI và viết phương trình của (P) đối với hệ tọa độ IXY.

2 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0

b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI và viết phương trình của (C) đối với

hệ tọa độ IXY Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C)

3 Cho đường cong (C) : y = 1 -

1

1+

x và điểm I(-1 ; 1) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép

tịnh tiến theo OI và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY Từ đó suy ra I là tâm đối

x f x

f

x x x

x f x

f

x x x

4

Trang 5

2+

2 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số.

x

c) y =

12

42

3 2+

+

−

x

x x

d) y = x +

1

2 −

x x

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)

- Xác định một số điểm dặc biệt của đồ thị ( Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ)

- Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng

Trang 6

d cx

b ax

Trang 7

Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Giải tích 12 Khào sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

'

2

≠

≠+

++

=+

++

r a a b x a

r q px b

x a

c bx ax

−

x

x x

4 y =

1

32

−

+

x x

7 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

1/ Giao điểm của hai đồ thị.

Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiêm của phương trình

f(x) = g(x) (1)

Do đó số nghiệm phân biệt của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2/ Sự tiếp xúc của hai đương cong.

a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M0(x0 ; y0) nếu chúng có tiếp tuyến chung tại M0 Khi đó M0 gọi là tiếp điểm

b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình

)()(

x g x f

có nghiệm Nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm

Trang 8

3/ Tiếp tuyến.

a) Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C).

Phương trình là : y = y’(x0)(x – x0) + y0

b) Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.

Gọi M0(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là :

y = y’(x0)(x – x0) + y0 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 và y0

c) Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; yA).

Phương trình của (d) đi qua A có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA

y x x k x

)('

)(

−

x

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

4 Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =

1

33

2 2+

++

x

x x

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

5 Tìm m để đường thẳng đi qua A(- 1 ; - 1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y =

12

2+

+

x

b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh

6 CMR: (P): y = x2 – 3x – 1 tiếp xúc với (C) : y =

1

322

−

−+

−

x

x x

tiếp xúc với đường thẳng y = - x + 7 b) y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành

c) y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3

BÀI TẬP.

1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)

b) Tại điểm có tung độ bằng -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5

d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0

2 Cho (C) : y =

2

2+

−

x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5

c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x

8

Trang 9

Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Giải tích 12 d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.

3.Cho (C ) : y =

1

12

−

−+

x

x x

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0

c) Vuông góc với tiệm cận xiên

4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)

b) y =

2

332

1x4 − x2 + đi qua điểm A(0 ; )

2

3 c) y =

đi qua điểm A(2 ; 1)

TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)

c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó

2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x3 – 3x + m = 0

c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1

3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 2

24

1+

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số

4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x + 1c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)

3

++

−x x x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hòanh

7) Cho hàm số y = x3 + x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

1)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + 1 – m = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hòanh độ x = 2

2) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2

Trang 10

Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Giải tích 12 b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3) Cho hàm số y =

2

332

2

4

+

− x x

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; )

23

4) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0)

4

1x4 − x2 −a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 12) Cho hàm số y =

1

12+

+

x

.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hòanh độ x = -2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

2.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục tung

x

x 1−.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hòanh

c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b) Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4 ; 4)

1.Cho hàm số y =

1

332+

++

x

x x

b) Biện luận theo m só nghiệm của phương trình: x2 + (3 – m)x + 3 – m = 0

c) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ

10

Trang 11

2 Cho hàm số y =

x

x x

−

−+1

12

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(0, -1)

c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) song song với tiệm cận xiên của (C)

3 Cho hàm số y =

1

)2

−

x x

b) Gọi (d) là đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

c) Chứng minh rằng tích các khỏang cách từ một điểm M trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một số không đổi

a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 3

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ

5) Cho hàm số y = x +

x

1.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng – 3

c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của (C) để khỏang cách giữa chúng là nhỏ nhất

6 Cho hàm số y =

1

222+

++

x

x x

a) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên

b) Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

c) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P): y = - x2 + m

7 Cho hàm số y =

1

)2(2+

−++

x

m x m x

có đồ thị là (Cm)

a) Xác định m sao cho tiệm cận xiên của (Cm) định trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

c) Xác định k để cho đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho đọan EF là ngắn nhất

8 Cho hàm số y =

1

32+

+

x x

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x2 – mx + 3 – m = 0 và suy ra các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.c) Định k để đường thẳng (d): y = k(x – 3) + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt

1

32

−

+

x

x x

.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua giao điểm của hai tiệm cận

c) Tìm điểm trên (C) có tổng các khỏang cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất

Trang 12

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.

aα = − = 1

),

(

N n Q r

a

n

n n

α α β

α β α β

α β

a b

a ab a

a a

a

a a

b b

n a a

Trang 13

b a

c b c

b a

a a

log:10

0log

log:1

e

x

x x

6 BẢNG ĐẠO HÀM.

x

e )'=(

a a

a x)' x.ln

x

x)' 1(ln =

a a

a

ln

1)'(log =

)0,0(

x

1

1)'(

a u

u u

')'(log =

'.)'(uα =αuα−1u

n

u n

u u

1

')'

3

4 3

4

b a

ab b a

+

1

2

1 4

+

++

−

a a

a a a a a

m m

12

.22

42

1

3 2

* Tính giá trị của biểu thức

3 3

1 75

,

0

32

1125

181

2 2 3

1

)9(864.)2(001,

75 , 0 3

2

2516

, 0

4

12625

)5,0

27

4) ( )5

58 42

* Đơn giản các biểu thức

)

3 2

3 3 3 3 2 3

(

a a

a a a a

−

++

−

Trang 14

Gv: Trần Minh Hùng Chuẩn kiến thức Giải tích 12 3)

π π π

II LÔGARIT.

* Biết log52 = a và log53 = b Tính các lôgarit sau theo a và b

* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit

1) ( )3

2

5 a3b 2)

2 , 0

1 3

1 log 400 3log 452

16log

3) log 2 12log 3

6 1

36 − 4) log (log34.log23)

4 1

9

49.2581

log

2

1

5 7

7

549

* Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a và b

* Biết log214 = a Tính log4932 theo a

III HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.

31

132log

2 2

lim0

+

x

x x

x

)12ln(

)13ln(

lim0

+

−+

1lim

lim0

+

→

* Tính đạo hàm của các hàm số sau

14

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1,76 MB