Xác định a để f là một ánh xạ tuyến tính trên R3.. Với a vừa tìm được ở trên tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc trong R3.. Cho X là vành giao hoán có đơn vị, a,b thuộc X.. Gọi 1 l
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 (1)
Hệ :Cao đẳng Sư phạm
Ngành :Toán- Tin
Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề)
-0O0 -Câu 1: (3 điểm)
Cho ánh xạ f: R3 →R3 xác định như sau:
3
1 Xác định a để f là một ánh xạ tuyến tính trên R3
2 Với a vừa tìm được ở trên tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc trong R3
Câu 2: (1 điểm)
Tìm điều kiện của a để hệ phương trình sau có nghiệm:
1 1 1
ax y z
x ay z
x y az
+ + =
+ + =
+ + =
Câu 3: (3 điểm)
1 Cho n là số nguyên tố, n>3 Chứng minh rằng n2 − 1 24 M
2 Cho X là vành giao hoán có đơn vị, a,b thuộc X
Chứng minh A={xa+yb|x,y ∈ X} là một iđêan của X và nó là iđêan bé
nhất chứa B={a,b}
Câu 4: (3 điểm)
1 Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AH,BI,CK
Chứng minh rằng: HIK 1 os2 os2 os2
ABC
S
C A C B C C S
∆
∆
2 Trình bày các bước cần thiết khi giải một bài toán
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
Câu1 1.Đặt x=(x1,x2,x3) ; y=(y1,y2,y3) để f là một ánh xạ tuyến tính thì
f(x+y)=f(x)+f(y)
+ + = + + +
⇔ − + + + − + = − + −
2a=a a=0
0,5
0,5 0,5 2.Ta có f(1,0,0)=(2,-2,3); f(0,1,0)=(0,3,-2); f(0,0,1)=(0,-1,2)
A
= − − ÷
1 0,5
Câu2
Ma trận
Xét định thức D=
1 1
1 1
a a a
=a3-3a+2=(a-1)2(a+2)
+ Nếu a#1, a#-2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
+ Nếu a=1 ta có hạng(A) = hạng(B) = 1 Vậy với a = 1 hệ đã cho có nghiệm.
−
−
2
1 1
2 1
= 2.
Xét định thức cấp 3 của ma trận B:
⇒
≠
=
−
−
1 1 1
1 2 1
1 1
2 3
=> hạng(A) ≠hạng(B) Vậy với a = -2 hệ đã cho vô nghiệm
* Vậy để hệ trên có nghiệm thì a ≠ -2.
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 3Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n-1 và n+1 là hai số chẵn
liên tiếp, suy ra (n-1)(n+1)M8 (1)
Ta có ( 1)( 1) 3 ( 1)( 1) 3 (2)
( ;3) 1
n n n
n
+ −
M
M
Từ (1) và (2) suy ra n2-1M3.8 => n2-1M24
0,25 0,25 0,25 0,5
2.∀z z, ' ∈ ⇒ =A z xa yb z+ , ' = x a y b voi x y x y' + ' , , ', ' ∈X
Ta có z-z’=(x-x’)a+(y-y’)b∈A (1) vì x-x’,y-y’∈X
x X z A x z zx x xa yb x x a x y b A
Từ (1) và (2) ta có A là idean của X
Gọi 1 là phần tử đơn vị của vành X Ta có
1 0
a b A a A
a b A b A
B A
+ ∈ ⇒ ∈
+ ∈ ⇒ ∈
⇒ ⊂
Gọi A’ là một idean của X và B⊂A’.
z A z xa yb
∀ ∈ ⇒ = +
Ta có xa,yb∈A’ suy ra xa yb A+ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂ ' z A' A A'.
Vậy A là idean bé nhất của X chứa B
0,5 0,5
0,25
0,25 Câu4 1.Ta có SHIK=SABC-SAKI-SBHK-SCHI
1
Mà hai tam giác AKI và ABC có góc chung A nên
2
cos
AKI
ABC
S AK AI AK AI
A
S = AB AC = AC AB =
Tương tự ta có BHK cos2 , CHI cos2
Vậy HIK 1 os2 os2 os2
ABC
S
C A C B C C
2.Các bước giải bài toán
-Tìm hiểu nội dung
-Thiết lập chương trình giải
-Trình bày bài giải
-Kiểm tra, nghiên cứu bài giải
0,25 0,25
0,25 0,25
0,5
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 (2)
Hệ :Cao đẳng Sư phạm
Ngành :Toán- Tin
Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề)
-0O0 -Câu 1: (3,5 điểm)
Cho ánh xạ f: R 3 → R 3 xác định như sau:
f(x;y;z)=(x-y;0;z)
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm Imf; kerf.
c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc
Câu 2: (2 điểm)
Cho tập hợp G={( ; ) | ,a b a b R a∈ , ≠ 0}.Trên G xác định phép toán * như sau :
(a;b)*(a’;b’)=(aa’;ab’+b)
1 Chứng tỏ (G;*) là một nhóm không giao hoán
2 Cho f: G→R\{0} xác định bởi f(a;b)=a Chứng minh rằng ∀x y G, ∈ , ta có
f(x*y)=f(x).f(y)
Câu 3: (2 điểm)
1 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5x+7y=112
2. Chứng minh rằng A=5n(5n+1)-6n(3n+2n) M91∀ ∈n N .
Câu 4: (2,5 điểm)
1 Cho tam giác ABC đều, M là điểm di động trên cạnh BC Qua M vẽ các
đường thẳng song song với AB, AC và cắt AC, AB lần lượt tại I,J Tìm quỹ tích điểm N là trung điểm của đoạn IJ
2 Nêu các yêu cầu của việc dạy học định lý.
Trang 5
-Hết -ĐÁP ÁN
Câu
1
Cho ánh xạ f: R 3 → R 3 xác định như sau:
f(x;y;z)=(x-y;0;z)
a) ∀ α , β ∈R3 α = (x1;y1;z1); β = (x2;y2;z2) ta có : f( α ) + f( β ) (1)
f(kβ ) =kf( β ) (2)
Từ (1) và (2) ta có f là axtt.
b) Imf=Rx{0}xR
Kerf = {(a;a;0)∈R3}
c)f(e 1 )=(1;0;0); f(e 2 ) = (-1;0;0); f(e 3 ) = (0;0;1).
Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc {e 1 ;e 2 ;e 3 }
là A =
−
1 0 0
0 0 0
0 1 1
.
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Câu2 1 Tính chất kết hợp
Phần tử đơn vị (1;0)∈G
Phần tử đối của (a;b) là 1; b
a a
−
Vậy (G,*) là một nhóm
Nhóm này không giao hoán vì có (1;2)*(3;4)=(3;6)
# (3;4)*(1;2)=(3;10)
2 ∀ =x ( , ),a b y= ( ', ')a b ∈G ta có
+f(x)f(y)=a.a’
+f(x*y)=f(aa’;ab’+b)=aa’
=> f(x*y)=f(x).f(y)
0,5 0,25 0,25
0,5
0,25 0,25
Câu3 1.Ta có 5x+7y=112 => 2(1 )
22
5
y
x= − +y −
(1)
Để x là số nguyên thì 2(1-y)M5, mà (2;5)=1 nên 1-yM5
=> y có tận cùng bằng 1 hoặc 6 (2)
Vì x,y là các số nguyên dương nên 5x>0
=> 0<7x<112 0<y<16 (3)
Từ (2) và (3) suy ra y=1,y=6 hoặc y=11
Thay y vào (1) ta có :
y= 1 => x=21; y=6 =>x=14; y=11 =>x=7.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên dương là (21;1),
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 62.Ta có A=25 n +5 n -18 n -12 n và 91=7.13
Do (7,13)=1 nên ta cần chứng minh A chia hết cho 7 và
cho 13.
+A=(25 n -18 n )-(12 n -5 n )
Do 25 n -18 n
M25-18=7 và 12 n -5 n
M12-5=7 nên AM7 + A=(25 n -12 n )-(18 n -5 n )
Do 25 n -12 n
M25-12=13 và 18 n -5 n
M18-5=13 nên AM13 Vậy AM91 với mọi n là số tự nhiên.
Câu4 1.Ta có tứ giác AIMJ là hbh
N là trung điểm của IJ nên N là trung điểm của AM
N M
V A =
∃
⇒ 1 / 2 ( )
M ∈[ ]BC ⇒N∈[B 'C'] là ảnh của [BC] qua 1 / 2
A
V
Vậy quỹ tích điểm N là đoạn B’C’ với B’,C’ là trung điểm của AB, AC
0,5 0,5
0,5
2.
- Nắm được nội dung định lý.
- Nhận dạng và thể hiện được định lý.
- Biết vận dụng định lý trong giải toán và ứng dụng
thực tiễn.
- Phát triển năng lực CMĐL.
0.25 0.25 0.25 0.25