Đề Thi Tốt Nghiệp CDSP Toán Tin Môn Toán 2012

Nêu các yêu cầu của việc dạy học một khái niệm toán học... Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.. - Nắm được mối liên hệ của khái niệm với các khái niệm khác

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI

TRƯỜNG CAO ĐĂNG SƯ PHẠM

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012

Hệ Cao đẳng - Ngành Toán- Tin

Môn: Toán và Phương pháp giảng dạy Toán

Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề)

-0O0 -Câu 1: (2 điểm)

Cho ánh xạ f : ¡ 3 ® ¡ 3 xác định bởi :

1 Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính.

2 Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của ¡ 3

Câu 2: (2 điểm)

Tìm tham số m để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:

ïï

ïïí

=-ïï

-ïïî

Câu 3:(2 điểm)

Cho tập hợp G={( ; ) /x y x R y RÎ , Î *}, R là tập hợp các số thực, R * là tập hợp các số thực khác không Trên G định nghĩa phép toán * như sau:

(x;y)*(x’;y’)=(xy’+x’;yy’), với mọi (x;y), (x’;y’) thuộc G.

Chứng minh (G,*) là một nhóm.

Câu 4: (2 điểm)

1 Tìm số tự nhiên n để n2 + +n 1 chia hết cho 2012.

2 Chứng minh rằng phương trình x 2 – mx + m = 1 luôn có nghiệm với mọi m.

Câu 5: (2 điểm)

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC=8cm và G là trọng tâm Tính diện tích tam giác ABC và độ dài AG

2 Nêu các yêu cầu của việc dạy học một khái niệm toán học.

-Hết -Lưu ý:

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Họ và tên thí sinh: ……… SBD: ……….

ĐÁP ÁN ĐỀ THI Môn: Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Câu

1

1.Với mọi x=(x1,x2,x3), y=(y1,y2,y3) thuộc ¡ 3ta có

( ) ( ) (1)

Với mọi k thuộc ¡ ta có f(kx)=kf(x) (2)

Từ (1) và (2) ta có f là một ánh xạ tuyến tính trên R3

0,5

0,5 2.Ta có f(1,0,0)=(2;1;2); f(0,1,0)=(1;2;-1); f(0,0,1)=(-1,-1,3)

A

−

0,5

0,5 Câu

2

Ma trận hệ số :

A

Ma trận bổ sung

2 2

5 3

d d d

d d d

d d d

d d d

d d d

B

m

- ®

- ®

- ®

- ®

- ®

4 1 3 4

2

1

3

13

1

2

d d d

m

m

- ®

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi r(A)=r(B)  m=1/2

0,25

1,25đ

0,5

Câu

3

Ta có (*) là một phép toán hai ngôi trên G

Tính kết hợp của (*):

[ ]

( ; ),( '; '),( "; ") :

( ; )*( '; ') *( ''; ") ( ' '; ')*( "; ")

( ' " ' " "; ' ") (1)

( ; ),( '; '),( "; ") :

( ; )*[( '; ')*( ''; ")] ( ; )( ' " "; ' ")

( ' " ' " "; ' ") (2)

Từ (1) và (2) suy ra * có tính kết hợp

Phần tử đơn vị: (0;1)

( , )x y G

" Î có phần tử nghịch đảo: ( x; )1 G

y y

( ; )x y G, ( x; ) G sao cho x y( ; )*( x; ) (0;1)

Vậy G là một nhóm

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu

4

1)Ta có n2 + n + 1 = n(n+1) +1 là một số tự nhiên lẻ

2012 là số tự nhiên chẵn

Suy ra không có số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu

2)Phương trình đã cho tương đương với phương trình

x2 – mx + m – 1 = 0,

có ∆ = m2 – 4(m – 1) = (m – 2)2 ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

0,5 0,25 0,25

0,25 0,25 0,5

Câu

5

1)

24 10

ABC

S

BC

BC AG

=

2)

- Nắm được những dấu hiệu đặc trưng của khái niệm

- Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm

- Biết vận dụng khái niệm để giải toán và ứng dụng vào thực

tế

- Nắm được mối liên hệ của khái niệm với các khái niệm khác

trong hệ thống khái niệm

0,5 0,5

0,25 0,25 0,25 0,25

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI

TRƯỜNG CAO ĐĂNG SƯ PHẠM

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012

Hệ Cao đẳng - Ngành Toán- Tin

Môn: Toán và Phương pháp giảng dạy Toán

Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề)

-0O0 -Câu 1: (2 điểm) Cho ánh xạ f R: 2 →R3 xác định như sau f(x,y)=(x; 0; y).

1 Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

2 Xác định ma trận của f đối với cơ sở chính tắc trong R 2 và R 3.

Câu 2: (2 điểm)

Cho hệ phương trình

2

1

ìï + + = ïïï + + = íï

ïï + + = ïî

1 Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.

2 Tìm m để hệ trên vô nghiệm

Câu 3:(2 điểm)

Trong tập hợp X gồm các cặp số thực (a;b) với a ≠0, xác định phép nhân như sau: (a;b)(c;d)=(ac;bc+d)

Chứng minh X là một nhóm không Abel.

Câu 4: (2 điểm)

1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, các số tự nhiên có dạng n 4 + 4 là hợp số.

2 Với mọi số tự nhiên n, chứng minh rằng n 4 – n 2 chia hết cho 12

Câu 5: (2 điểm)

1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là điểm bất kỳ trên (O) và

H, E, K lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng BC, CA và AB Chứng minh H, E, K thẳng hàng.

2 Nêu các yêu cầu của việc dạy học định lý.

-Hết -Lưu ý:

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Họ và tên thí sinh: ……… SBD: ……….

ĐÁP ÁN ĐỀ THI Môn: Toán và Phương pháp giảng dạy Toán Câu1 Cho ánh xạ f: R2 → R3 xác định như sau:

f(x;y)=(x;0;y)

1) "a b, Î R2 a= ( ; );x y1 1 b= ( ; )x y2 2 ta có :

( ;0; ) ( ;0; ) ( ) ( )

a b

f k( a) = f kx ky( 1 ; 1 ) = (kx1 ;0;ky1 ) =k x( ;0; ) 1 y1 =kf( )a (2)

Từ (1) và (2) ta có f là axtt

0,5

0,5 2)f(e1)=(1;0;0); f(e2) = (0;0;1)

Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc {e1;e2} là A =

1 0

0 0

0 1

æ ö÷

çè ø

0,5

0,5

Câu2

Ma trận hệ số :

1 1

1 1

m

m

Ma trận bổ sung

2 2

1)Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m¹ 1;m¹ - 2.

2) Hệ vô nghiệm khi m = - 2

0,25

1đ

0,25 0,25 Câu3 +Phép nhân có tính kết hợp

+Phép nhân có phần tử trung lập e=(1;0)

+Mọi cặp số thực x=(a;b); a#0 đều có cặp x’=(1/a;-b/a) sao cho

xx’=e

+(a;b)(c;d) # (c;d)(a;b) Ví dụ (1;2)(3;4) # (3;4)(1;2)

0,5 0,5 0,5 0,5

4

1)

Do n2+2n+2 > n2 – 2n + 2 > (n -1)2 + 1 >1 với mọi n >1 nên

n4+4 là hợp số

2)Ta có n4 – n2 = (n-1).n.n.(n+1)

12 = 3x4 và (3 ;4)=1

(n-1)n(n+1) chia hết cho 3 nên n4 – n2 chia hết cho 3 (1)

(n- 1) 2, (nM n n+ 1) 2 M Þ (n- 1) (nn n+ 1) 4 (2) M

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

0,5 0,5

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu

5

1)

Tứ giác MHEC nội tiếp nên MHE· +MCE· = 180 0

Tứ giác ABMC nội tiếp nên MCE· +·ABM = 180 0

Suy ra MHE· =MBA·

Hơn nữa tứ giác KMHB nội tiếp nên KBM· =·KHM

Vì KBM· +MBA· = 180 0nên MHK· +MHE· =MBK· +MBA· = 180 0

Suy ra K, H, E thẳng hàng

2)

- Nắm được nội dung định lý

- Nhận dạng và thể hiện được định lý

- Biết vận dụng định lý trong giải toán và ứng dụng thực

tiễn

- Phát triển năng lực chứng minh định lý

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25