Ôn tập hình học 9

* Nếu một tam giác có 1 cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tamgiác đó vuông.. Qua điểm C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d của đờng tròn.. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng

H C

III.TÝnh chÊt cña tØ sè lîng gi¸c

a.Cho  vµ  lµ 2 gãc phô nhau ( +  = 900)

1 Sin = Cos 2.Cos = Sin

Bµi 1: Cho ABC, Aˆ = 1v; AHBC

a.Cho AH = 16cm; BH = 25cm TÝnh AB, AC, BC, CH

b.Cho AB = 12cm; BH = 16cm TÝnh AH, AC, BC, CH

H D

Bài 3: Cho Cho ABC, Aˆ = 1v; AB = 6dm, AC = 8dm, các đờng phân giác

góc trong và góc ngoài của Bˆ cắt AC ở M và N Tính AM và AN

Giải:

- áp dụng định lý Pitago chovABC

 BC = 10cm

- áp dụng tính chất đờng phân giác

trong tam giác ta có :

Bài 4: Cho ABC các góc đều nhọn Trên đờng cao AD lấy điểm P sao cho

BPC = 900 Trên đờng cao BE lấy điểm Q sao choAQC = 900 Chứng minh rằng:

áp dụng hệ thức vAQC  CQ2 = CE.CA

Mà CD.CB = CE.CA (CMT)

 CP2 = CQ2  CP = CQ

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

Bài 5.Cho ABC có AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.

a.Chứng minh ABC vuông Tính SABC

b.Tính SinB, SinC

c.Đờng phân giác của Aˆ cắt BC tại D Tính DB, DC

Giải:

a.áp dụng định lý đảo Pitago  BC2 = AB2 + AC2

 ABC vuông tại A

c.áp dụng tính chất đờng phân giác:

b.Đờng phân giác của Aˆ cắt BC tại D Tính DB, DC

c.Từ D kẻ DEAB, DFAC Tứ giác AEDF là hình gì?

Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF

Giải:

(Tơng tự nh bài 5)

Bài 7: Cho hình thang ABCD có cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đờng chéo

AC vuông góc với cạnh bên BC Biết AD = 5 và AC = 12

a.Tính SinB SinB CosB CosB

Vậy SinB SinB CosB CosB

12 13

5 13 12





=

13 7 13

17

=

7 17

b.áp dụng hệ thức lợng cho vACB

AC.CB = CH.AB  CH =

AB

CB AC.

=

13

5 12

=

3 60

Bài 8: Cho hình thang ABCD, đáy AB = 2, đáy CD = 4 Cạnh bên AD = 2, góc

Aˆ = 900

a.Chứng minh TgC = 1

b.Tính tỉ số diện tích DBC và diện tích hình thang ABCD

c.Tính tỉ số diện tích ABC và diện tích  DBC

Ph¹m V¨n Sinh Trêng T H C S Yªn Mü

B' C'

Bài 9: Cho ABC vuông ở A, Cˆ = 300, BC = 10cm

a.Tính AB, AC

b.Từ A kẻ AM và AN vuông góc với phân giác trong và ngoài của góc B, chứng

BC

AC

 AC = BCCosC = 10.Cos300 =

Bài 10: Cho ABC, AA’, BB’, CC’ là các đờng cao của ABC

a.Chứng minh ACC’ ABB’; ABC AB’C’

b.Chứng minh ab’.bc’.ca’ = ab.bc.ca.CosACosBCosC

vACA’ có CosC =

AC

CA'

 CA’ = ACCosC vAA’B có CosB =

Bài 11: Cho ABC vuông ở A, AB = 3cm, AC = 4cm Gọi H là chân đờng cao

kẻ từ đỉnh tới cạnh huyền BC và M là trung điểm của BC Qua M kẻ đờng thẳngsong song với cạnh AB cắt AC tại D

a.Tính độ dài AH, AM, HM

b.Chứng minh ADM AHB

c.Giả CAM = a và MHA = b Chứng tỏ rằng 7Sina = 15Sinb

Bài 12: Cho hình bình hành ABCD, góc B = 1200, AB = 2BC Gọi I là tđ củaDC

a.Chứng minh AIB vuông

b.Tính các cạnh, các góc cuả AIB biết chu vi hình bình hành là 60cm

Bài 13: Cho ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm

a.Chứng minh ABC vuông

b.Tính Bˆ,Cˆ và đờng cao AH

c.Lấy điểm M bất kỳ trên BC Gọi hình chiếu của M trên AB, AC lần l ợt là P và

Q Chứng minh PQ = AM

Hỏi M ở vị trí nào thì PQ có độ dài nhỏ nhất

Bài 14: Cho ABC có AB = 12cm,ABC = 400,ACB = 300 Đờng cao AH Tính

AH, AC, CB

Bài 15: Cho ABC vuông ở A Đờng cao AH = 15, BH = 20 Tính AB, AC,

BC, HC

Bài 16: Cho ABC vuông ở A, có AB = 5, BC = 7 GiảI vABC

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

I O A

B C

D

I O A

B C

1.*Tâm của đờng tròn ngoại tiếp v là trung điểm của cạnh huyền

* Nếu một tam giác có 1 cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tamgiác đó vuông

2.Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây

*Cho (O), đờng kính AB, dây CD

 d là tiếp tuyến của (O)

.Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

*Cho (O): AB,AC là 2 tiếp tuyến

cắt nhau tại A(B,C là các tiếp điểm)

 AB = AC; AO là phân giác của BAC;

OA là phân giác của BOC

6.Tính chất đờng nối tâm

*Cho (O) cắt (O’) tại A và B

 OO’ là trung trực của AB

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

*Cho (O) tiÕp xóc (O’) t¹i I  I OO’

Ph¹m V¨n Sinh Trêng T H C S Yªn Mü

O A

D

B.Bài tập:

Bài 1:Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm.

a.Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D cùng thuộc đờng tròn Chỉ ra vị trí tâm

(O) ngoại tiếp  DBC (2)

Từ (1) và (2)  A, B, C, D cùng thuộc (O), tâm O là tđ của DB

- áp dụng định lý Pitago tính DB = ?

Bài 2: Cho hình vuông ABCD

a.Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc đờng tròn, chỉ ra vị trí tâm đờng tròn

b.Tính bán kính đờng tròn đó biết cạnh hình vuông bằng 2dm

Bài 3: Cho ABC nhọn, vẽ đờng tròn (O) có đờng kính BC, nó cắt các cạnh

AB, AC theo thứ tự tại D và E

a.Chứng minh CD  AB, BE  AC

b Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AK  BC

Có DC  AB  CD là đờng cao ABC

BE  AC(gt) BE là đờng cao ABC

 O thuộc AH hay AD là đk của (O)

b.Ta có (O) ngoại tiếp ADC (gt)

áp dụng định lý Pitago cho vAHC  AH = ?

áp dụng hệ thức lợng cho vADC ta có:

D E

M N

a.Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b.Tính số đo các góc CBD, CBO, CBA

c.CMR ABC là tam giác đều

Ta có (O) ngoại tiếp ABD

Có AD là đờng kính (O)  ABD vuông tại B ABD = 900

 ABO = ABD - OBD= 900 – 600 = 300

c.XétABC cóABC = BCA = 600

 ABC đều

Bài 7: Cho nửa (O), đờng kính AB Qua điểm C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp

tuyến d của đờng tròn Gọi E và F lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ A và

B đến d Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB CMR:

d

A E

d OC

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

Xét àEB có AE//BF (CMT)  AEFB là hình thang

 AC là phân giác của BEA

c.O ngoại tiếp ABC

Bài 8: Cho đờng tròn (0, 3cm), và điểm A có AO = 5cm Kẻ các tiếp tuyến AB,

AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của AO và BC

a.Tính độ dài OH

b.Qua điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đờng tròn cắt AB,

AC theo thứ tự tại D và E Tính chu vi ADE

PADE = 2AB

áp dụng Pitago chov OBA  AB = ?

Bài 9: Cho đờng tròn (O), bán kính R Một điểm M ngoài đờng tròn cách (o)

một khoảng bằng 2R Kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) Từ O kẻ

đờng vuông góc với AO cắt MB tại C

K I

O

M

N E

 CI là đờng trung tuyến

 CI đồng thời là đờng cao (T/c)

 CI  OI

Vậy CI là tiếp tuyến của (O)

Bài 10: Cho đờng tròn tâm (O), đờng kính AB = 2R Gọi Ax , By là các tiếp

tuyến của đờng tròn Qua điểm E thuộc đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax tại

Bài 12: Cho đờng tròn (O), bán kính OA = R Lấy điểm M đối xứng với O qua

A Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MB và MC với đờng tròn (B, C là tiếp điểm)

a.Chứng minh MBC đều

b.Tính độ dài dây cung BC khi cho R = 3cm

Giải:

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

Bài 13: Cho đờng tròn tâm O bán kính5 Điểm M nằm ngoài đờng tròn sao cho

OM = 13 Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đờng tròn (A, B là các tiếp điểm)

C.Tính OH: áp dụng Pitago cho vOHM

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

Chơng III Góc với đờng tròn A.Lý thuyết

6.Tứ giác nội tiếp

+ Tứ giác ABCD nội tiếp

7 Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp

a.Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

b.Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh chứa 2 cạnh còn lại dới gócvuông

c.Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh chứa 2 cạnh còn lại dới 1 góc



d Tứ giác có góc ngoài tại 1 dỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

e.Tứ giác có 4 đỉnh cách đều 1 điểm

B.Bài tập

Bài 1: Cho ABC đều, nội tiếp (O) và M là 1 điểm của cung nhỏ BC Trên

MA lấy điểm D sao cho MD = MB

Diện tích hình quạt, cung n0: S =

360

2n R

 hay S =

2

lR

B.Bài tập

Bài 1: Cho ABC đều, nội tiếp (O) và M là 1 điểm của cung nhỏ BC Trên

MA lấy điểm D sao cho MD = MB

Bài 2: Cho 2 đờng tròn (O) và (O’) cắt tại A và B Qua A vẽ cát tuyến CAD với

2 đờng tròn (C (O)D  (O’))

a.Chứng minh rằng: Khi cát tuyến quay quanh A thì CBD có số đo không đổi.b.Từ C và D vẽ 2 tiếp tuyến của đờng tròn CMR 2 tiếp tuyến này hợp với nhauthành 1 góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay quanh A

c.OA là phân giác BAC

Chứng minh AD là phân giác BAC

a.CMR: MT2 = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB

b.Khi cát tuyến qua tâm O của đờng tròn cho MT = 20cm, MB = 50cm Tínhbán kính đờng tròn

Bài 6: Cho ABC cân tại A nội tiếp đờng trò (O) Trên cung nhỏ BC lấy điểm

K, AK cắt BC tại D

a.Chứng minh AO là phân giác của góc BAC

b.Chứng minh AB2 = AD.AK

c.Tìm vị trí K trên cung nhỏ BC sao cho AK lớn nhất

d.Cho BAC = 300 Tính AB theo R

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

c.AK lớn nhất khi AK là đờng kính  AK là đờng trung tuyến

 AK đi qua trung điểm của BC

 K là điểm chính giữa cung BC

Bài 7: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O, R); BAC = 600

a.Tính BOC và độ dài BC theo R

b.Vẽ đờng kính CD của (O, R) Gọi H là giao của 3 đờng cao ABC Chứngminh BD//AH và AD//BH

 BC = 2IC = 2 R

2

3 = R 3b.AH BC (gt)

Bài 8: Cho nửa (O, R) đờng kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By, M O, kẻ tiếp tuyến

thứ 3 cắt Ax tại C, By tại D AD cắt BC tại N

Bài 9: Cho đờng tròn (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A vẽ các cát tuyến chung

ABD; ACE (B, C (O’)); D, E (O) nằm khác phía với OA

a.Vẽ các tiếp tuyến chung Ax(Ax và ABD nằm cùng phía đối với AO)

Chứng minhBAx = ACB

b.Chứng minh BC//DE

Giải:

a.BCA=BAx (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cung chắn AB)

b.Ta có DEA = DAx (….….….)

2 góc này đối diện nhau

 tứ giác HIKC nội tiếp

b.Ta có: AKB = 900 (CMT)

AHB = 900 (CMT)

 AKB= AHB = 900

K, H cùng nhìn xuống 2 đầu mút đoạn AB dới một góc bằng 1v không đổi

 K, H cùng thuộc đờng tròn đờng kính AB

 Tứ giác BAKH nội tiếp

 BAH=BKH (góc nội tiếp cùng chắn BH của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABKH)

ICH = BKH (góc nội tiếp cùng chắn BH của )

 BAH = ICH

c.Chứng minh tơng tự ta có ABK = ICK

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

mà ICK = KCM (vì KC là phân giácC)

 ABK = KCM

B, C nhìn xuống đoạn AM dới 2 góc bằng nhau

 B, C, A, M cùng  đờng tròn

Vậy M  đờng tròn ngoại tiếp ABC

Bài 2: Cho nửa (O), đờng kính AB = 2R, kẻ tiếp tuyến Bx với đờng tròn Gọi C

và D kà 2 điểm bất kỳ thuộc đờng tròn( A, B).Tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại

I và K Chứng minh rằng:

a ABD  BDK

b CDKI nội tiếp

c.AC.AI = AD.AK và có giá trị không đổi khi C, D chuyển động trên nửa (0)Giải:

 AC.AI = AD.AK = AB2 không đổi khi C, D chuyển động

Bài 3: Từ một điểm C ngoài (0) kẻ đt (d) cắt (0) tại 2 điểm phân biệt A và B.

Gọi P là điểm chính giữa của cung lớn AB Từ P kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D.Gọi I là giao của CP với nửa đờng tròn (0) IQ cắt AB tại K

a.Chứng minhPDKI nội tiếp

b.CI.CP = KC.CD

c.IC là phân giác ngoài của AIB

Giải:

a.Ta có QIP = 900(góc nội tiếp chắn nửa (0))

ta có P là điểm chính giữa AB (gt)

c BIQ = QIA (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

QI là phân giác củaBIA

 ADEC nội tiếp

CFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

 CFB =CAB = 900

F, A cùng nhìn xuống hai dầu mút của đoạn BC dới một góc bằng 1v không đổi

 F, A đờng tròn đkính BC AFBC nội tiếp

ACD = AED (góc nội tiếp cùng chắn AD )

Vậy AC, BF, DE đồng quy tại S

Bài 5: Cho ABC, A = 1v, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ là BC chứa

điểm A Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E Vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F Từ E và F kẻ EI, EK BC (I, KBC)

a.Chứng minh AEHF là hình chữ nhật

b.AE.AB =AF.AC

c.Chứng minh BEFC nội tiếp

d.Chứng minh các v BIE, BEH, BHA và BAC đồng dạng

e BI + CK = BC

Giải

a BEH= 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))  HEA = 900

HFC = 900(góc nội tiếp chắn nửa (O'))  HFA = 900

 Tứ giác BEFC nội tiếp

Bài 6: Cho ABC nhọn Vẽ đờng tròn (O) đờng kính BC cắt AB tại K và AC tại H BH cắt CK tại I

a.Chứng minh AI BC

b.AI cắt BC tại D Chứng minh tứ giác BKID nội tiếp

c.Chứng minh CK là phân giác của góc DKHvà I là tâm đờng tròn nội tiếp 

DKH

Giải:

a.Ta có: BKC= 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

BHC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

 CK, BH là 2 đờng cao của ABC cắt nhau tại I

 I là trực tâm

 AI là đờng cao của ABC

 AI BC

b  IDB = 900  BKI + BDI = 900 + 900 = 1800

 BKID nội tiếp

c.Ta có DKI = HBD (góc nội tiếp cùng chắn ID của )

HBD = HKC (góc nội tiếp cùng chắn HC của (O))

 HKC = DKI  KC là phân giác DKH

Chứng minh tơng tự ta có HB là phân giác của KHD

KC và HB cắt nhau tại I

 I là tâm đờng tròn nội tiếp KHD

Bài 7: Cho (0, R) 2 đờng kính AB, CD vuông góc với nhau Gọi M là TĐ cuảu

CO, N là giao điểm của AM với đờng tròn tiếp tuyến với đờng tròn tại N cắt ờng trung trực của CO tại I CMR:

đ-a OMNB, OMNI nội tiếp

Chứn minh OMNI nội tiếp

ta có IMO = 900 (gt) và ONI = 900 (vì NI là tt của (0))

 IMO = ONI = 900

M, N cùng nhìn xuống 2 đầu mút của đoạn IO dới 1 góc bằng 1v không đổi

 M, N  đờng tròn đờng kính IO OMNI nội tiếp

c.MI//AO (cùng CD)

ta có A = ANO (góc đáycân ANO )

ANO = MIO(góc nội tiếp cùng chắn MO )

 A = MIO

Xét vAMO có A + AMO = 900

Xét vOMI có MIO + MOI = 900

 AMO = MOI mà 2 góc này ở vị trí so le trong

 AM//OI AMIO là hình bình hành

Bài 8:Cho điểm A nằm ngoài (O, R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến

ADE đến (O) Gọi H là TĐ của DE

a.Chứng minh A, Chứng minh AB2 = AI.AH

d.Cho AB = R 3 và OH =

2

R

Tính HI theo RGiải:

a.Ta có

OBA = OCA = OHA = 900

 B, C, H cùng nhìn xuống 2 đầu mút của đoạn AO

dới một góc bằng 1v không đổi

 B, H, C cùng thuộc đờng tròn đờng kính OA

b.Ta có AB = AC(tính chất 2 tt cắt nhau)

 AB = AC

BHA = AHC (góc nội tiếp cùng chắn 2 cung AB = AC)

 HA là phân giác của BHC

c.Xét ABI và AHB có A chung

IBA = BHA(góc nội tiếp cùng chắn 2 cung AB = AC)

Ta có AB2 = AH.AI (CMT)  AI = AB2

AH =

2

3 15 2

R R

 AI = 6

15

R

= 6 15 15

 EMND nội tiếp

Bài 10: Cho ABC cân tại A, nội tiếp (O) AHBC Kẻ đờng kính BB' và từ A

 D, H thuộc đờng tròn đờng kính AB

 ABHD nội tiếp

Ta có: BAH = BDH (góc nội tiếp cùng chắn BH )

BAO cân tại O  ABD = BAH

HD 

=

4 25 8

5

HD 

= 32 25

Bài 11: Cho (O), đờng kính AB Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H

của OB Gọi I là trung điểm của MN Từ A kẻ tia AxMN tại K Gọi C là giao của Ax với BI

 AEB + MDF = 1800

 DMEF nội tiếp

Bài 12: Cho nửa (O), đờng kính CD và A  (O) Từ A kẻ đờng thẳng song songvới CD Từ D kẻ đờng thẳng song song với AC Hai đờng thẳng này cắt nhau tại

B Kẻ AHCB

a.Chứng minh A, B, D, H cùng thuộc đờng tròn

b.Gọi E là giao của Cb với nửa đờng tròn

Chứng minh BC.AE = AB.AD

Giải:

a.Ta có CAD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O))

 CAD = ADB = 900

H, D nhìn xuống AB dới một góc bằng 1v không đổi

Vậy H, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính AB

 H, D, A, B cùng thuộc đờng tròn

b.Xét ACB và EDA

ACE = ADE (góc nội tiếp cùng chắn AE)

EAD = ECD (góc nội tiếp cùng chắn ED)

a.Chứng minh ACBD là hình chữ nhật

b.Các đờng thẳng BC, BD cắt t2 tại A của đờng tròn (O) lần lợt tại E và F Chứngminh CDEF nội tiếp

c Chứng minh AC.AD = CE.DF

 CDEF nội tiếp

c.Xét ADF và ECA có FAD = EAC (SLT)

AFD = EAC (SLT)

 ADF  ECA (g.g)

CEAC  AD.AC = CE.DF

Bài 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O), đờng kính BD, các đờng

chéo AC và BD cắt nhau ở E Biết AB = BC = 4cm, ADC = 600

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ

a.Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

BAD = 1v (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Xét vBAD có CosABD = AB

BD  BD = 60 0

AB Cos

a.Chứng minh AEDB, CDHE nội tiếp

b.Chứng minh CE.CA = CD.CB và DB.DC = DH.DA

c.Đờng phân giác trong AN củaA của ABC cắt BC tại N, cắt (O) tại K (KA) Gọi I là tâm của đờng tròn ngoại tiếp ACN Chứng minh KO và CI cắt nhau tạimột điểm  (O)

DAE EBD (góc nội tiếp cùng chắn DE

của đờng tròn nội tiếp AE, DB)

NAC NIC (góc nội tiếp -góc ở tâm)

Bài 16: Trên đờng tròn (O, R) đờng kính AB lấy 2 điểm M, E theo thứ tự A, M,

E, B (hai điểm M, E A, B) AM cắt BE tại C, AE cắt BM tại D

a.Chứng minh MCED nội tiếp và CD  AB

b.Gọi H là giao của CD và AB Chứng minh BE.BC = BH.BA

c.Chứng minh các t2 tại M và E của (O) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên CD

Phạm Văn Sinh Trờng T H C S Yên Mỹ