Chứng minh rằng.. Kớ hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC.. 1 Chứng minh rằng M là trực tõm của tam giỏc
Trang 1Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2010
MễN THI: TOÁN (Vũng 2) Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
1) Giải phương trỡnh
4 1 3
3 + + =
x
2) Giải hệ phương trỡnh
=
− + +
= + +
11 2
3
26 2
2
5 2 2
y x y x x
xy y
x
Cõu II
1) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n để n2 + 391 là số chớnh phương
2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả món điều kiện x+y+z= 1 Chứng minh rằng
1 1
2
2 2 2
≥ +
+ +
+
xy
y x z xy
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và M là điểm nằm trong tam giỏc Kớ hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng
1) Chứng minh rằng M là trực tõm của tam giỏc ABC
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giỏc nội tiếp
Cõu IV
Trong dóy số gồm 2010 số thực khỏc 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 ,a2 , ,a2010, ta đỏnh dấu tất cả cỏc số dơng và tất cả cỏc số mà tổng của nú với một số số liờn tiếp liền ngay sau nú là một số dương (Vớ dụ với dóy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc số được đỏnh dấu là a2 = − 4 ,a3 = 4 ,a4 = − 1 ,a5 = 2)
Chứng minh rằng nếu trong dóy số đó cho cú ớt nhất một số dương thỡ tổng của tất cả cỏc số được đỏnh dấu là một số dương
_
Cỏn bộ coi thi khụng giải thich gỡ thờm.
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Trang 2Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
HD giải đề thi MễN TOÁN (Vũng 2) Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
3) Giải phương trỡnh
4 1 3
3 + + =
x
4) Giải hệ phương trỡnh
=
− + +
= + +
11 2
3
26 2
2
5 2 2
y x y x x
xy y
x
H
ớng dẫn
1) x=1 xét x< 1 VT<4; x>1 VT>4
= + +
⇔
=
−
− +
= + +
⇔
=
− +
+
= + +
) 2 ( 22 2
2 4 6
) 1 ( 26 2
2 5 11 2
3
26 2
2 5 11 2
3
26 2
2 5
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
y xy x
x
xy y
x y
xy x x
xy y
x y
x y x x
xy y
x
Cộng (1) và (2) ta có PT 3x2 +2x−16 =0⇔ (3x+8)(x−2) =0
Với
3
8
−
=
x thay vào PT(1) vô nghiệm
Với x= 2 thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;1);(2-3)
Cõu II
3) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n để n2 + 391 là số chớnh phương
4) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả món điều kiện x+y+z= 1 Chứng minh rằng
1 1
2
2 2 2
≥ +
+ +
+
xy
y x z xy
H
ớng dẫn
1)ta có n2 + 391 là số chính phơng nên n2 +391 k= 2 (k∈N)
391 )
)(
(
391 2
2 + =k ⇔ n−k n+k = −
Ta có n-k<n+k nên
Vậy n =3 hoặc n=195
xy
y x z
xy
+
≥ +
+ +
⇔
≥ +
+ +
+
1 2
2
1 1
2
áp dngj BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có
y x y x y
x y
x + ) ≥ ( + ) ⇒ 2 ( + ) ≥ +
(
Trang 3Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
Nên xy+z + 2x2 + 2y2 ≥ xy+z +x+ y ta phải chứng minh
) ( 2 2
1 2
2
1 1
1
2
2 z xy xy z z z xy z xy x y xy dung z
z
xy
xy z z xy xy
z z
xy xy
y x
z
xy
≥ +
⇔
≥
−
⇔
≥
−
⇔ + +
≥
+
⇔
+
≥ +
⇔ +
≥
− + +
⇔ +
≥ +
+
+
Dờu “=” xảy ra khi
2
1 z
y
x = = −
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và M là điểm nằm trong tam giỏc Kớ hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng
3) Chứng minh rằng M là trực tõm của tam giỏc ABC
4) Chứng minh rằng BEFC là tứ giỏc nội tiếp
H
ớng dẫn
P
Q E
F M
H
B
C A
1)Vì tứ giác BEPH nội tiếp nên ∠EHB = ∠EPB(1) vì E;P;Q thẳng hàng nên
EPB
∠ (2) Vì tứ giác MQHP nội tiếp nên ∠MPQ = ∠MHQ (3) Ta có ∆MHC
vuông tại H có HQ⊥MC suy ra ∠MCH = ∠MHQ(4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có
MCH
EHB=∠
∠ ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà HE ⊥ AB⇔CM ⊥ AB(*)
Tơng tự BM ⊥ AC(**)
từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC
2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có ∠AEH = 90 0 ; ∠AFH = 90 0 nên tứ giác AEHF nội tiếp đờng kính AH nên
AHE
∠ ( nội tiếp chắn cung AE) mà ∠EBH = ∠AHE( cùng phụ ∠BHE)
Vậy ∠AFE = ∠EBH mà ∠AFE +∠EFC =1800 ⇔ ∠EBH +∠EFC =1800
Nên tứ giác BEFC nội tiếp
Trang 4Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
Cõu IV
Trong dóy số gồm 2010 số thực khỏc 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 ,a2 , ,a2010, ta đỏnh dấu tất cả cỏc số õm và tất cả cỏc số mà tổng của nú với một số số liờn tiếp liền ngay sau
nú là một số dương (Vớ dụ với dóy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc số được đỏnh dấu là a2 = − 4 ,a3 = 4 ,a4 = − 1 ,a5 = 2)
Chứng minh rằng nếu trong dóy số đó cho cú ớt nhất một số dương thỡ tổng của tất cả cỏc số được đỏnh dấu là một số dương
H
ớng dẫn
Xét các số đợc đánh dấu a1;a2;a3 an (n∈N;n< 2010 )
-Nếu dãy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm
-Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng ( Giá trị tuyệt đối số số tổng các dơng lớn hơn GTTĐ số âm) vì số âm cộng với số liền sau nó ra kết quả là số dơng suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu suy ra tổng luôn là só dơng
Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang
GV trờng THCS Lâm Thao –Phú Thọ DD 0917370141
gmail: minhsang5260@gmail.com.vn
Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP;
ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc
với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về
minhsang5260@gmail.com.vn