Tính diện tích tam giác MCN theo a... Tính diện tích tam giác MCN theo a.. Ta có BN=AB-AN=AB-AC.
Trang 1Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
Câu 1:
1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn a−b= 1 −b2 − 1 −a2
Chứng minh rằng a2 +b2 =1
2.Chứng minh rằng số 2009 2 + 2009 2 2010 2 + 2010 2 là số nguyên dơng
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
i) Phơng trình x2 − 2cx− 5d = 0 có 2 nghiêm a và b
ii) Phơng trình x2 − 2ax− 5b= 0 có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng
1 a-c=c-b=d-a
2 a+b+c+d=30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 Đặt S = m2n2 −4m+4n
Chứng minh rằng:
1.Nếu m>n thì (mn2 −2)2 < n2S <m2n4
2.Nếu S là số chính phơng thì m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA (P∈CA;Q∈CB).Chứng minh CP=CQ
3.Cho góc ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a
Tính diện tích tam giác MCN theo a
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số
2
1
; 2
;
2 Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào
2 vị trí vừa xoá hai số mới
2
b
a+
và
2
b
a−
đồng thời giữ nguyên số còn lại Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số ; 2 ; 1 2
2 2
-Hết -Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Giải đề thi tuyển sinh
Trang 2Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Câu 1:
1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn a−b= 1 −b2 − 1 −a2
Chứng minh rằng a2 +b2 =1
2.Chứng minh rằng số 2009 2 + 2009 2 2010 2 + 2010 2 là số nguyên dơng
H
ớng dẫn
1 1
) )(
( 1
1 1
1
2 2
2 2
2 2 2
a b
b a b a a
b
b a a
b b
− +
−
+
−
=
− +
−
−
=
−
−
−
=
−
suy ra a+b= 1 −b2 + 1 −a2
1
1 1
1
1
2
2 2
2
2 2
= +
⇒
−
=
−
=
⇔
−
−
−
=
−
− +
−
= +
b
a a b
b a
a b
b a
a b
b a
2 Đặt a= 2009 ta có 2009 2 + 2009 2 2010 2 + 2010 2 =
Z a
a a
a a
a a
a a
a
a
a2 + 2 ( + 1 ) 2 + ( + 1 ) 2 = 2 ( + 1 ) 2 + 2 ( + 1 ) + 1 = ( 2 + + 1 ) 2 = 2 + + 1 ∈
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
iii) Phơng trình x2 −2cx−5d =0 có 2 nghiêm a và b
iv) Phơng trình x2 − 2ax− 5b= 0 có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng
1 a-c=c-b=d-a
2 a+b+c+d=30
H
ớng dẫn
1 Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có
−
=
= +
) 2 ( 5
) 1 ( 2
d ab
c b a
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có
−
=
= +
) 4 ( 5
) 3 ( 2
b cd
a d c
Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a
2.nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25
Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên a2 − 2ca− 5d = 0 ⇒a2 − 5d = 50 ( 5 )
c là nghiệm PT(1) nên c2 − 2ca− 5b= 0 ⇒c2 − 5b= 50 ( 6 )
từ (5) và (6) ta có
) (
30 :
; 15
0 150 ) ( 5 ) ( 100 ) ( 5 2 ) ( 100 ) (
2
2
dpcm d
c b a d a c a ma c
a
c a c
a c
a ac c
a d
b
c
a
= + + +
⇒ +
= +
=
+
⇔
=
− +
− +
⇔
= +
−
− +
⇔
= +
−
+
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 Đặt S = m2n2 −4m+4n
Chứng minh rằng:
1.Nếu m>n thì (mn2 −2)2 < n2S <m2n4
Trang 32.Nếu S là số chính phơng thì m=n
H
ớng dẫn
1.ta chứng minh (mn2 − 2)2 <n2 (m2n2 − 4m+ 4n) <m2n4
Bằng cách xét hiệu
1 :
; 0 4
4 4
4 4
) 4 4 (
2
3 3
2 4
2 2
4 2
2 2 2 2 2
>
<
−
=
− +
− +
−
=
+
−
−
−
=
n vi n
n mn
n m mn
n m
H
n m n
m n mn
H
Mặt khác n2 (m2n2 − 4m+ 4n) −m2n4 = 4n2 (m−n) > 0 vì n>1; m>n
2.Ta chứng minh ( )2 ( )2
2
mn
xét S=(mn-1)2 thì m2n2 −4m+4n =m2n2 −2mn+1⇔4n−4m−2mn=1
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Xét S=(mn+1)2 thì m2n2 −4m+4n=m2n2 +2mn+1⇔4n−4m+2mn=1
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Từ đó ta có S=m2n2 thì m2n2 −4m+4n=m2n2 ⇔4n−4m=0 suy ra m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA (P∈CA;Q∈CB).Chứng minh CP=CQ
3.Cho góc ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a
Tính diện tích tam giác MCN theo a
H
ớng dẫn
H
P
Q N
M
A
1 Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy N∈BM
AB
MB AC PC MB
AB PC
AB
NA BC QC NA
AB QC
Trang 4Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm)
3.Nếu ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a thì
2
3
; 2
a AC
a
ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=
2
) 1 3 ( − a
Kẻ CH ⊥AB thì
4
3 :
4
3
a
a AB
CB CA CH
CB CA CH
Vậy:
16
) 3 3 ( 4
3 2
) 1 3 ( 2
1
2
CH MN
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số
2
1
; 2
;
2 Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau : Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào
2 vị trí vừa xoá hai số mới
2
b
a+
và
2
b
a−
đồng thời giữ nguyên số còn lại Nh vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số ; 2 ; 1 2
2 2
H
ớng dẫn
2 2
2
2 2
2
b ab a
b ab a
b a b
a
+
= +
− + + +
=
− +
+
Nh vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới
2
b
a+
và
2
b
a−
thì tổng bình phơng hai số mới không đổi nên tổng bình phơng của ba số trên bảng không đổi bằng
2
13 2
1
4
2+ + =
mà tổng bình phơng ba số ; 2;1 2
2 2
1
2
13 ) 2 2 3 2 8
1
-Hết -Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang
GV trờng THCS Lâm Thao –Phú Thọ DD 0917370141
gmail: minhsang5260@gmail.com.vn
Rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 và các trờng
THPT chuyên trong cả nớc