Chương I - PHƯƠNG PHÁP ĐẾM doc

Định nghĩa: Một tập hợp là một bộ sưu tập các vật mà ta còn gọi là các phần tử của tập hợp đó.. Biểu diễn một tập hợp: Để biểu diễn một tập hợp ta thường dùng một trong hai phương pháp s

Trang 1

Chương I

PHƯƠNG PHÁP

ĐẾM

KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP

1.1 Định nghĩa:

Một tập hợp là một bộ sưu tập các vật mà ta còn gọi là các phần tử của tập hợp đó.

1 Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ

1.2 Ký hiệu: Ta dùng

– các chữ in: A, B, C, ., X, Y, Z, để chỉ các tập hợp.

– các chữ nhỏ: a, b, c, , x, y, z, để chỉ các phần tử.

– ký hiệu x ∈ A để chỉ x là một phần tử của tập hợp A Ký hiệu x ∉ A để chỉ x không phải là một phần tử của tập hợp A.

1.3 Biểu diễn một tập hợp:

Để biểu diễn một tập hợp ta thường dùng một trong hai phương pháp sau:

1)Liệt kê: Các phần tử của tập hợp sẽ được liệt kê đúng một lần giữa hai dấu { }; giữa hai phần tử khác nhau sẽ

có dấu ngăn cách (thường là dấu phẩy, hay chấm phẩy ;) nhưng thứ tự giữa các phần tử này là không quan trọng.

Ví dụ: A = {1, 2, 3, 4},

N = {0, 1, 2, 3, },

Z = {0, ±1, ±2, },

Trang 2

1.3 Biểu diễn một tập hợp:

2) Nêu tính chất đặc trưng: Tập hợp sẽ được mô tả như

là một bộ sưu tập gồm tất cả các phần tử x thỏa mãn tính chất đặc trưng p(x) nào đó dưới dạng:

A = {x | p(x)} hay A = {x ∈ B | p(x)}.

Ví dụ:

1) Tập hợp A = {x ∈ R | x 2 – 4x + 3 = 0} chính là tập hợp A = {1, 3}.

2) Tập hợp các số hữu tỉ được mô tả như sau:

Q = { Z, n ≠ 0}

1.4 Tập hợp rỗng:

Tập hợp rỗng, ký hiệu bởi Φ , là tập hợp không chứa phần tử nào.

Ví dụ:

Các tập hợp A = {x ∈ R | x2– 4x + 5 = 0}

và B = {x ∈ Z | 2x – 1 = 0}

đều là các tập hợp rỗng.

1.5 Tập hợp con và tập hợp bằng nhau:

Cho hai tập hợp A và B Ta nói:

1) A là tập hợp con của B, ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A nếu mọi phần tử của A đều là các phần tử của B Như vậy, theo định nghĩa, ta có:

A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A, x ∈ B.

Ký hiệu A ⊄ B hay B A để chỉ A không phải là tập con của B.

1.5 Tập hợp con và tập hợp bằng nhau:

2) A bằng B, ký hiệu A = B, nếu A là tập hợp con của B và ngược lại, i.e nếu mọi phần tử của A đều là các phần tử của B và ngược lại Như vậy, theo định nghĩa, ta có:

A = B ⇔ (A ⊂ B) và (B ⊂ A).

⇔ ( ∀ x ∈ A, x ∈ B) và ( ∀ x ∈ B, x ∈ A).

Ký hiệu A ≠ B để chỉ A không bằng B.

Ví dụ: Xét các tập hợp

A = {x ∈ R | x 2 – 4x + 3 = 0}, B = {x ∈ R | x(x –1)(x – 3) = 0},

C = {0; 1; 2}, D = {0; 1; 2; 3}

Ta thấy A ⊂ B, B ≠ C, C ⊂ D, nhưng B ⊄ A, D ⊄ C.

Trang 3

1.6 Tập hợp các tập hợp con:

Cho tập hợp X Tập hợp tất cả các tập hợp con của X được ký hiệu là P(X) Như vậy: P(X) = {A | A ⊂ B}

Kết quả quen thuộc sau đây có thể được chứng minh bằng quy nạp theo n: “Nếu tập hợp X có đúng n phần tử thì tập hợp tất cả các tập hợp con P(X) của X sẽ có đúng 2 n phần tử”.

Ví dụ: Cho X = {a, b, c} Ta có:

P(X) = { ∅ ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}}.

CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

Cho A và B là hai tập hợp con của tập hợp X.

1.6 Phép giao:

Phần giao của A và B, ký hiệu bởi A ∩B, là tập hợp tất

cả các phần tử của X vừa thuộc A vừa thuộc B Như vậy, theo định nghĩa, ta có:

A ∩B = {x ∈X |x ∈A và x ∈B}

Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈A ∩B ⇔x ∈A và x ∈B

Suy ra ∀x ∈X, x ∉A ∩B ⇔x ∉A hay x ∉B

1.7 Phép hợp:

Phần hợp của A và B, ký hiệu bởi A ∪ B, là tập hợp tất

cả các phần tử (của X) thuộc A hay thuộc B Như vậy, theo định nghĩa, ta có:

A ∪B = {x ∈X |x ∈A hay x ∈B}

Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈A ∪B ⇔x ∈A hay x ∈B

Suy ra ∀x ∈X, x ∉A ∪B ⇔x ∉A và x ∉B

1.8 Phép hiệu:

Phần hiệu của A và B, ký hiệu bởi A \ B, là tập hợp tất cả các phần tử (của X) thuộc A nhưng không thuộc B Như vậy, theo định nghĩa, ta có:

A \ B = {x ∈X |x ∈A và x ∉B}

Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈A \ B ⇔x ∈A và x ∉B

Suy ra ∀x ∈X, x ∉A \ B ⇔x ∉A hay x ∈B

Trang 4

1.9 Phép bù:

Với A là một tập con của X, phần bù của A trong X, ký hiệu bởi hay CX(A), là tập hợp X\A Như vậy, theo định nghĩa, ta có:

X\A = {x ∈X |x ∉A}

Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈ ⇔x ∉A

Suy ra ∀x ∈X, x ∉ ⇔x ∈A

A

Ví dụ:

Xét các tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};

A = {0; 1; 2; 3};

B = {1; 2; 4; 5}

Ta có:

A ∩B = {1, 2}; A ∪B = {0; 1; 2; 3; 4; 5};

A \ B = {0; 3};

B \ A = {4; 5}; CX(A) = {4; 5; 6}; CX(B) = {0; 3; 6}

1.10 Định lý (tính chất của các phép toán):

Cho A, B, C là các tập hợp con của tập hợp X Khi đó

ta có:

1) Tính lũy đẳng:

A ∩ A = A và A ∪ A = A 2) Tính giao hoán:

A ∩ B = B ∩ A và A ∪ B = B ∪ A.

3) Tính kết hợp:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

và (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

1.10 Định lý (tính chất của các phép toán):

4) Tính phân phối:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

và A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 5) Công thức De Morgan:

Suy ra:

A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

và A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) 6) Các công thức

B A B A B

A B

B A B A A

A = & \ = ∩

Trang 5

ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU ÁNH XẠ

1.11 Định nghĩa

Cho hai tập hợp X, Y ≠ ∅ Một ánh xạ f từ X vào Y là quy tắc cho ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử duy nhất y của Y mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

Ta viết:

f : X → Y

x f(x)

1.12 Định nghĩa

Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu:

∀ x ∈ X, f(x) = g(x)

a

1.13 Ảnh và ảnh ngược:

Cho ánh xạ f từ X vào Y và A ⊂ X, B ⊂ Y Ta định nghĩa:

1) Ảnh của A qua f là tập hợp:

f(A) = {y ∈ Y | ∃ x ∈ A, y = f(x)}

Ta cũng viết:

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Như vậy theo định nghĩa, ta có:

∀ y ∈ Y, y ∈ f(A) ⇔ ∃ x ∈ A, y = f(x);

∀ y ∈ Y, y ∉ f(A) ⇔ ∀ x ∈ A, y ≠ f(x).

2) Ảnh ngược hay tạo ảnh của B bởi f là tập hợp:

f –1 (B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}

Như vậy theo định nghĩa, ta có:

∀ x ∈ X, x ∈ f –1 (B) ⇔ f(x) ∈ B;

∀ x ∈ X, x ∉ f –1 (B) ⇔ f(x) ∉ B.

Chú ý:

1) Ta thường dùng ký hiệu Imf để chỉ tập hợp f(X) và còn gọi

là ảnh của f

2) Với y ∈ B ta dùng ký hiệu f –1 (y) thay cho f –1 ({y}) Đó chính là tập hợp các phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y (ta thường gọi đây là tập hợp tất cả các nghiệm x trong X của phương trình f(x) = y) Lưu ý rằng tập hợp f –1 (y) có thể rỗng hay khác rỗng (gồm một hay nhiều phần tử).

Trang 6

1.14 Định lý:

Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y Với A1và A2là hai tập hợp con tùy ý của X, B1và B2là hai tập con tùy ý của Y Ta có:

1 f(A1∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2);

2 f(A1∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2);

3 f(A1\ A2) ⊃ f(A1) \ f(A2);

4 f –1 (B1∪ B2) = f –1 (B1) ∪ f –1 (B2);

5 f –1 (B1∩ B2) = f –1 (B1) ∩ f –1 (B2);

6 f –1 (B1\ B2) = f –1 (B1) \ f –1 (B2).

PHÂN LOẠI ÁNH XẠ

Xét ánh xạ f : X → Y.

1.15 Đơn ánh:

Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là:

∀ x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x') Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa.

f : X → Y là một đơn ánh

⇔ ( ∀ x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x').

⇔ ( ∀ y ∈ Y, f –1 (y) có nhiều nhất một phần tử).

⇔ ( ∀ y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có nhiều nhất một nghiệm x ∈ X.

1.15 Đơn ánh:

Suy ra:

f : X → Y không là một đơn ánh

⇔ ( ∃ x, x' ∈ X, x ≠ x' và f(x) = f(x'))

⇔ ( ∃ y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có ít nhất hai nghiệm x ∈ X.

1.16 Toàn ánh:

Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu Imf = Y.

Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa.

f : X → Y là một toàn ánh

⇔ ( ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, y = f(x))

⇔ ( ∀ y ∈ Y, f –1 (y) ≠ ∅ );

⇔ ∀ y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số)

có nghiệm x ∈ X.

Trang 7

1.16 Toàn ánh:

Suy ra:

f : X → Y không là một toàn ánh

⇔ ( ∃ y ∈ Y, ∀ x ∈ X, y ≠ f(x));

⇔ ( ∃ y ∈ Y, f –1 (y) = ∅ );

⇔ ∀ y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) vô nghiệm trong X.

1.17 Song ánh và ánh xạ ngược:

Ta nói f : X → Y là một song ánh hay là một tương ứng 1-1 nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa.

f : X → Y là một song ánh

⇔ ( ∀ y ∈ Y, ∃ !x ∈ X, y = f(x));

⇔ ( ∀ y ∈ Y, f –1 (y) có đúng một phần tử);

⇔ ∀ y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có duy nhất một nghiệm x ∈ X.

Suy ra:

f : X → Y không là một song ánh

⇔ f không là một đơn ánh hay không là một toàn ánh;

⇔ ∀ y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số)

vô nghiệm hoặc có ít nhất hai nghiệm x ∈ X.

Xét f : X → Y là một song ánh Khi đó, theo tính chất trên, với mọi y ∈ Y, tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x)

= y Do đó tương ứng y x là một ánh xạ từ Y vào X Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f –1 Như vậy:

f –1 : Y → X

y f –1 (y) = x với f(x) = y.

a

Trang 8

TÍCH CÁC ÁNH XẠ

1.19 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ

f : X → Y và g : Y' → Z trong đó Y ⊂ Y' Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X → Z

x h(x) = g(f(x))

Ta viết:

h = g o f : X → Y → Z

x f(x) h(x) = g(f(x))

a

TÍCH CÁC ÁNH XẠ

1.20 Định lý:

Xét f : X →Y là một song ánh Khi đó:

f o f–1= IdY

f–1o f = IdX trong đó ký hiệu IdX để chỉ ánh xạ đồng nhất X → X định bởi IdX(x) = x, ∀x ∈ X; ta gọi IdX là ánh xạ đồng nhất trên X, tương tự IdY là ánh xạ đồng nhất trên Y

Nguyên lý Cộng và Nguyên lý Nhân

1) Nguyên lý Cộng:

Giả sử để một hiện tượng xảy ra, có k trường hợp lớn loại trừ lẫn nhau Biết rằng ở mỗi trường hợp lớn thứ j lại có nj trường hợp nhỏ Khi đó, số trường hợp nhỏ nói chung để hiện tượng trên xảy

ra là:

n = n1+ n2+ … + nk.

2 Phép đếm

Nguyên lý Cộng và Nguyên lý Nhân

2) Nguyên lý Nhân:

Giả sử để hoàn thành một công việc ta phải tiến hành theo trình tự

k bước có tác dụng độc lập Biết rằng:

– Có n1cách thực hiện buớc 1.

– Sau khi thực hiện bước 1 xong, dù bằng bất cứ cách nào, luôn luôn có một số lượng không đổi n2cách để thực hiện bước 2.

– …………

– Cuối cùng, sau khi thực hiện xong bước thứ k-1, luôn luôn

có một số lượng không đổi nkcách để thực hiện bước thứ k.

Khi đó, số cách để hoàn thành công việc đã cho là: n = n1n2… nk

2 Phép đếm

Trang 9

Giải tích tổ hợp 2.1 Chỉnh hợp

Gọi là số chỉnh hợp chập k của n phần tử Ta

có công thức:

2 Phép đếm

k n

n A

n k

=

−

k n

A

Giải tích tổ hợp 2.2 Hoán vị

Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử Ta có công thức: Pn= n!

Định lý Số hoán vị của n phần tử, trong đó có n1

phần tử giống nhau thuộc loại 1, n2phần tử giống nhau thuộc loại 2,…, nk phần tử giống nhau thuộc loại k, là:

2 Phép đếm

1 2

!

! ! k!

n

Giải tích tổ hợp 2.3 Tổ hợp

Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử Ta có công thức:

2 Phép đếm

k n C

( ! )

k n

n C

=

−

Giải tích tổ hợp 2.3 Tổ hợp

Nhận xét: Từ kết quả trên ta suy ra số tập con gồm k

phần tử của tập hợp gồm n phần tử là

Định lý.

a) với mọi 0 ≤k ≤n;

b) với mọi 1 ≤k ≤n

Công thức nhị thức Newton: Với x, y ∈ R va n là số

nguyên dương ta có:

2 Phép đếm

k n C

C − = C

1 1

C +C − =C+

0

( )

n

n k

=

Trang 10

Giải tích tổ hợp 2.4 Tổ hợp lặp

Cĩ thể xem một tổ hợp lặp chập k của n loại phần tử a1,

a2,…, anlà một nhĩm khơng thứ tự gồm k phần tử cĩ thể trùng nhau được rút ra từ tập {a1, a2,…, an}

Gọi là số tổ hợp lặp chập k của n loại phần tử Ta cĩ cơng thức:

k n

K

1

k k

n n k

K = C + −

Giải tích tổ hợp 2.4 Tổ hợp lặp

Hệ quả: Số nghiệm nguyên khơng âm (x1,x2,…,xn) (mỗi

xi đều nguyên khơng âm) của phương trình

x1+ x2+…+ xn= k là:

1

k k

n n k

K = C + −

2.5 Nguyên lý Dirichlet

Giả sử cĩ n vật cần đặt vào k hộp Khi đĩ tồn tại

ít nhất một hộp chứa từ vật trở lên, trong đĩ

là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng n/k Hơn nữa, là số nguyên lớn nhất thỏa tính chất trên.

2 Phép đếm

/

n k

/

n k

/

n k

 

 

3 Hệ thức đệ quy

Một hệ thức đệ quy tuyến tính cấp k là một hệ thức có dạng:

x n = a 1 x n-1 +… + a k x n-k + f n (1)

trong đó:

• ak≠0, a1,…, ak-1 là các hệ số thực

• {fn} là một dãy số thực cho trước

• {xn} là dãy ẩn nhận các giá trị thực

Trang 11

Trường hợp dãy fn= 0 với mọi n thì (1) trở thành:

x n = a 1 x n-1 +… +a k x n-k (2)

Ta nói (2) là một hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất cấp k

Nghiệm tổng quát

ØMỗi dãy {xn} thỏa (1) được gọi là một nghiệm của (1)

• Nhận xét rằng mỗi nghiệm {xn} của (1) được hoàn toàn xác định bởi k giá trị ban đầu x0,

x1,…, xk-1

ØHọ dãy số {xn= xn(C1, C2,…,Ck)} phụ thuộc vào

k họ tham số C1, C2,…, Ck được gọi là nghiệm tổng quát của (1) nếu mọi dãy của họ này đều là nghiệm của (1)

Nghiệm riêng

Cho {xn} là nghiệm tổng quát của (1) và với mọi k giá trị ban đầu y0, y1,…, yk-1, tồn tại duy nhất các giá trị của k tham số C1, C2,…,Ck sao cho nghiệm {xn} tương ứng thỏa:

x0 = y0, x1 = y1,…, xk-1 = yk-1 (*) Khi đó, nghiệm {xn} tương ứng được gọi nghiệm riêng ứng với điều kiện ban đầu (*)

Mục đích giải hệ thức đệ quy

• Giải một hệ thức đệ quy là đi tìm nghiệm tổng quát của nó

• Nếu hệ thức đệ quy có kèm theo điều kiện ban đầu, ta phải tìm nghiệm riêng thỏa điều kiện ban đầu đó

Trang 12

Ví dụ:

Một cầu thang có n bậc Mỗi bước đi gồm 1 hoặc 2 bậc Gọi xn là số cách đi hết cầu thang Tìm một hệ thức đệ quy cho xn.

Với n = 1, ta có x1= 1

Với n = 2, ta có x2= 2 Với n > 2, để khảo sát xn ta chia thành hai trường hợp loại trừ lẫn nhau:

Trường hợp 1: Bước đầu tiên gồm 1 bậc.

Khi đó, cầu thang còn n-1 bậc nên số cách đi hết cầu thang trong trường hợp này là xn-1

Trường hợp 2: Bước đầu tiên gồm 2 bậc.

Khi đó, cầu thang còn n-2 bậc nên số cách đi hết cầu thang trong trường hợp này là xn-2

Theo nguyên lý cộng, số cách đi hết cầu thang là

xn-1+ xn-2 Do đó ta có:

xn = xn-1+ xn-2

Vậy ta có hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất cấp 2:

n n n

= +



 = =



Trang 13

Bài toán Tháp Hà Nội

Có 3 cọc A, B, C và n đĩa (có lỗ để đặt vào cọc) với đường kính đôi một khác nhau Nguyên tắc đặt đĩa vào cọc là: mỗi đĩa chỉ được chồng lên đĩa lớn hơn nó Ban đầu, cả n đĩa được đặt chồng lên nhau

ở cọc A, hai cọc B và C để trống Vấn đề đặt ra là chuyển cả n đĩa ở cọc A sang cọc C (có thể qua trung gian cọc B), mỗi lần chỉ chuyển một đĩa Gọi

xn là số lần chuyển đĩa Tìm một hệ thức đệ quy cho xn

Hanoi Tower

264= 18446744073709551615 (500 billion years)

Với n = 1 ta có x1= 1

Với n >1, trước hết ta chuyển n-1 đĩa bên trên sang cọc B qua trung gian cọc C (giữ nguyên đĩa thứ n dưới cùng ở cọc A) Số lần chuyển n-1 đĩa đó là xn-1 Sau đó ta chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C Cuối cùng ta chuyển n-1 đĩa từ cọc B sang cọc C Số lần chuyển n-1 đĩa đó lại là xn-1

Như vậy số lần chuyển toàn bộ n đĩa từ A sang C là:

xn-1+ 1 + xn-1= 2xn-1+ 1.

Nghĩa là xn = 2xn-1 + 1, ta có hệ thức đệ quy tuyến tính không thuần nhất cấp 1:

1 1

1.

x

−



 =



Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	189,95 KB