a, Chứng minh rằng: BC2=4BM.CN b, Chứng minh: NO là đường phân giác của góc MNC.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ
TRƯỜNG THCS TÂN XUÂN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG (Vòng 2)
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
-Câu 1(4đ) : Cho biểu thức P = 2 9 3 2 1
a.Rút gọn P
b Tính giá trị của P khi x = 2
3 − 5
c Tìm x để P < 1
Câu 2(3đ): Tìm GTLN của : a) A = x 1 − + y 2 − biết x + y = 4
Câu 3(4đ): Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Câu 4(3đ): Giải phương trình: x 2 1 x
2 x
x 2
−
=
−
−
−
Câu 5(2đ): Cho hình vuông ABCD Vẽ qua A đường thẳng d cắt BC tại M và cắt CD tại N
1 1
AN
AM + không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d
Câu 6(4đ): Cho tam giác đều ABC với O là trung điểm của cạnh BC Trên cạnh AB lấy
điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON =600.
a, Chứng minh rằng: BC2=4BM.CN
b, Chứng minh: NO là đường phân giác của góc MNC
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN Câu 1 a) ĐK x≥ 0;x≠ 4;x≠ 9
P=2 (9 29 2)( 33) 2 ( 2)( 23) 13
x
−
b) Khi 2
x=
− ta cĩ P =
4
2
5 1
+
−
−
c) Để P <1 thì 1 1 4 1 0 9; 4
x
x x
x + < ⇔ x < ⇔ ≤ < ≠
Câu 2:
Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :
a b
ab
2
+ ≥ Ở đây ta muốn làm tăng một tổng Ta dùng bất đẳng thức : 2 2
a b + ≤ 2(a + b )
A = x 1 − + y 2 − ≤ 2(x 1 y 3) − + − = 2
x 1 y 2 x 1,5 max A 2
x y 4 y 2,5
Câu 3:
a) Ta cĩ : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển và rút gọn, ta được :
3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Câu 4: Giải phương trình: x 2 1 x
2 x
x 2
−
=
−
−
ĐKXĐ: 3x – 2 > 0 ⇔ x > 23 Phương trình tương đương với:
x2 – (3x – 2) = (1 – x) x − 2⇔(x – 1)(x – 2) = (1 – x) x − 2
⇔(x – 1)(x – 2 + x − 2) = 0
⇔
=
− +
−
=
−
0 2 x 2
x
0
1
x
−
=
−
=
(*) x 2 2 x
1 x
Giải (*):(*)⇔
−
=
−
≤
2
)x 2(
2 x3
2
x
⇔
=
=
≤
) loại ( 6 x
1 x
2 x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { }1
Câu 5: Kẻ AK ⊥d tại A dẽ dàng chứng minh được
∆ABK =∆AND (gĩc nhọn, cạnh gĩc vuơng) suy ra AK=AN (1)
Xét tam giác vuơng AKM cĩ AB là đường cao áp dụng
hệ thức trong tam giác vuơng ta cĩ 2 2 2
1 1
1
AB AM
Trang 3H M
N A
O
60 0
Từ (1) và (2) suy ra 1 2 1 2 1 2 1 2 12
AB AM
AN AM
Do AB không đổi suy ra 2 2
1 1
AM
AN + không đổi
1 1
AM
AN + không phụ thuộc vào vị trí d.
Câu 6:
a) Xét ∆BMO vµ ∆CON có ∠B=∠O=600 ;
∠BMO=∠CON ( cïng bï ∠BOM+600) suy ra ∆BMO ~∆CON
4 2
2
.
2
BC BC BC BO CO CN BM CN
BO
CO
BM
=
=
=
⇔
=
b) Từ câu a) ta có ON MO= BM CO ⇔ON MO=CN OC
và có ∠MON=∠NCO=600 suy ra ∆MON ~∆OCN (c.g.c)
suy ra ∠MNO=∠ONC (cặp góc tương ứng )
Vậy NO là phân giác ∠MNC
M
K
N D
d C B A