a Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất.. Bài IV.3,5 điểm Trên đường tròn tâm O lấy dây cung AM khác đường kính.. Đường tròn tâm I bán kính IA cắt đường tròn đường k
Trang 1KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán
Ngày thi 28 - 10 - 2010 Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Bài I.(3,5 điểm)
Cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau và p là số nguyên tố
Bài II.(3,5 điểm)
Giải phương trình
2x sinx x cos x2 32x 1 x 3 x5 x 1
Bài III.(3,5 điểm)
x 1 2(x 2) n(x n) 4 (với n N *) (1) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất
Bài IV.(3,5 điểm)
Trên đường tròn tâm O lấy dây cung AM khác đường kính Điểm I thuộc đoạn
OA ( I không trùng với O, A) Đường tròn tâm I bán kính IA cắt đường tròn đường kính IM tại hai điểm B, C Các tia MB, MI, MC cắt đường tròn tâm O lần lượt tại các điểm thứ hai là D, E, F Đường thẳng DF cắt các đường thẳng ME, MA và AE tương ứng tại các điểm T, S và Q Chứng minh rằng:
1) SD.SF = ST.SQ
2) Ba điểm B, C, Q thẳng hàng
Bài V.(3 điểm)
Cho dãy số (un) với un = 1n
2011
(u 1)(u 1) (u 1)(u u u )
1 (u u u ) u u u
Bài VI.(3 điểm)
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
1/ +) Ta có: ap a 0(mod p) ; bp b 0(mod p) ;
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
Trang 2c c 0(mod p) ; p
d d 0(mod p) ; vậy p p p p
(a c ) (b d ) a c b d(mod p) a b c d(mod p) +) TH1: a b c d suy ra đpcm
+)TH2: a b c d Không mất tính tổng quát, giả sử a c d b d a c d b
Xét hàm số f (t) t p Vì f(t) có đạo hàm trên các khoảng c;a ; b;d tồn tại
t (c;a); t (b;d) sao cho:
1
f (a) f (c)
f '(t )
a c
; 2
f (d) f (b)
f '(t )
d b
f '(t ) f '(t )1 2 vô lý vì p nguyên tố t ; t 1 2thuộc hai khoảng khác nhau
2/ 2x sinx x cos x 2 3 2x 1 x 3 x 5 x 1
x(2x sinx cosx x x 1) 1 2x 1
Ta chứng minh :g(x) = 2x sinx cosx x 4 x 2 1 0 x R
Vì g(x) là hàm chẵn nên ta chỉ xét x 0
sinx x x sinx x
2
TH1: nếu x 0 : VT>0>VP pt vô nghiệm
TH2: nếu x 0 : VT<0<VP pt vô nghiệm
To be cotin………