a Chứng minh răng với mọi giá trị của m thì đường thăng đ luôn cắt ?P tại hai điêm phân biệt.. 3 điểm Cho phương trình a Tim các giá trị của để phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt.. Ch
Trang 1DE THỊ VÀ0 LỨP 10 KHÔI THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH
ease NĂM HỌC 2010 - 2011 ;:*;>°;
VÒNG 1 (Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1 (3 điểm)
Cho parabol (P):v=x? và đường thăng
(đ): y = (m— 1)x —ïm~3
a) Chứng minh răng với mọi giá trị của m thì
đường thăng (đ) luôn cắt (?P) tại hai điêm
phân biệt
b) Tìm các giá trị của 7 sao cho (đ) cắt (P)
tại hai điêm.4(x::1;) (%4::
điêu kiện x17) +237, =8
¥2)thoa man
Câu 2 (1.5 điểm)
Rut gon va tinh giá trị của biêu thức
(Jx-wW_ vx+Jfy [:-
ev vey A
Câu 3 (1 điểm)
Giải phương trình
V2x-1-Vx-1=Vx-4
Cau 4 (1 diém)
Tìm giá trị nhỏ nhât của biêu thức
P=x?+x-2x.Jy+y?+y—-—2yVx +2010
Cau 5 (3,5 điểm)
Cho tam giác nhon ABC néi tiép dong tron
tam Oban kinh R =2 Biét BAC = 60° dong
cao AH cua tam giac ABC bang 3
a) Tinh dién tich tam giac ABC
b) Gọi P là một điểm tùy ¥ trén cung nho BC
và M, N lân lượt là các điêm đôi xứng của P
qua các đường thăng 44B và.4C Xác định vị
trí của P sao cho dé dai AZV dat giá trị lớn
nhật Tính độ dài lớn nhật đó
P=
VÒNG 2 (Thời gian làm bài: 130 phút) Câu 1 (3 điểm)
Cho phương trình
a) Tim các giá trị của để phương trình (1)
có 4 nghiệm phân biệt
b) Chứng minh rằng nêu phương trình (1) có
4 nghiệm x;, xa, x3, x4 thi
XỊXaạ +XIX: + XIX¿ + XaXs: +XaạX¿ + X:x¿ S0
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trinh
x?+4x+2
b) Tim cac s6 nguyén x,y thoa man
4x7 +? <2xy+2x+ye1
4?t2x:-2
Câu 3 (1.5 điềm)
Giả sử các sô dương x y z thỏa mãn hệ thức Xx+y+z= 184/2 Ching minh rang
Ị — Ị _— 1 > 1
jJx(@w+z) 2jy(z+x)
vjz(x+y) 4
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC < BC) ngoại tiệp đường tròn tâm 7 Gọi D, E, FƑ lân lượt là tiêp điêm của 8C, C44, 4B với đường tròn (7)
và 1⁄ là trung điêm của BC
a) Giả sử đường thăng 4M cắt đường tròn (J) lân lượt tại H, K và 4H =1⁄K Chứng minh rang tam giac ABM can
b) Goi N la giao diém cia EF voi BI Ching
minh rang MN song song voi AB
LE XUAN SON
Trang 2ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
TRUONG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN, BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2009 - 2010 (Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 1 (1.5 điểm)
Cho a ô c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rẵng l<———+——>+———<2
b+c c+a a+b
Bai 2 (2 diém)
Cho ba sô phân biệt m.n p Chimg minh rang
phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt
x-m X-n %X-—P
Bài 3 (2 điểm)
Với số tự nhiên n n — 3 đặt
| (2n+1) KP II)
Ss, — I Breen
31442) 5(/244/3)
Chung minh rang S,, es
Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác 45C nội tiếp trong đường tròn
tam O co độ dai cac canh BC = a, AC = Bb
AB = c Diem E nam trên cung BC khong cha diem 4 sao cho cung EB bang cung EC Doan thang AE cắt cạnh BC tai D
a) Chimg minh rang AD? = AB.AC - DB.DC b) Tinh d6 dai doan thang AD theo a, b c Bai 5 (1.5 diém)
Chứng minh rằng với mọi sô nguyên đương
pb ae 1
n(N3+x2]
m, Hn ta luôn có |—-—
H
BÙI VĂN CHI
(GV THCS Lê Lợi, TP Quy Nhơn, Bình Định) giới thiệu
Trang 3DE THI VAO LOP 10 CHUYEN TOAN
TRUONG THPT CHUYEN QUANG TRUNG, BINH PHUGC
NAM HỌC 2009 - 2010
(Thời gian làm bài : 150 phú) Bài 1 (2 điểm)
1) Giải phương trình
2) Cho +, y là hai số nguyên dương thỏa mãn
hệ phương trinh + ˆ
x- y+xy- =880
Tính giá trị biêu thức 8 = +2 + 1`
Bài 2 (3 điểm)
1) Một máy bay trực thăng bay từ 4 dén B, cach
nhau 960km với vận toc 2§0kmih Khi bay từ 4
tới B do bi gió cân nên thời gian bay phải
nhiêu hơn một giờ so với thời gian bay từ 8
đến 4 (do được gió đây) Tìm vận tốc của gió
¬
.~
2) Cho Parabol (7): ye và đường thăng
(d): y = m(x — 1) —- 2 Chứng minh rằng (2)
luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 44 8 khi
thay đôi Gọi x¿ x; lần lượt là hoành độ của 4
va B Xac dinh m dé x2x3+x3x, dat gid trị
nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất nay
Bài 3 (2 điểm)
1) Tìm các số nguyên không âm + + thỏa mãn
đăng thức x?=y2+.jy+1
2) Cho x > y' > 0 Chứng minh rằng
4
Xe 23:
(x-yXy+J
Dang thức xây ra khi nào?
Bài 4 (2 điểm) Cho nữa đường tròn đường kính 48 = 2a Trên đoạn 4ð lấy điêm A/ Trong nửa mặt phăng bờ 448 chứa nửa đường tròn ta kẻ hai tia Mx, My sao cho 4Mx=BMy = 30° Tia Mx cắt nửa đường tròn tai diém E£, tia My cat nia đường tròn tại điêm F Ké EE’ va FF' vung góc với 4ð lân lượt tại E' và F’
1) Cho AM = “ Tính diện tích hình thang
vuong EE’F’F theo a
2) Khi diém M di dong trén 4B Chứng minh rằng duong thing EF luon tiép xtc voi một đường tròn cô định
Bai 5 (1 điểm)
Cho duong tron (C) Vé hai day cung AB, EF cắt nhau tai diém 7 (7 nằm trong đường tròn) Gọi 4⁄ là trung điêm của 8F Ä⁄ kéo dài cắt
AN AP?
AE tai diém N Ching minh rang —_=—_
NE EI’
TRAN MINH HIEN
(GV THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước) giới thiệu
Trang 4Dé thi vao lop 10 chuyén toan
TRUONG THPT CHUYEN PHAN BOI CHAU, NGHE AN
NAM HOC 2009 - 2010
(Thoi gianlam bai: 150 phiit)
Bai 1 (3.5 diém)
a) Giải phương trình ¥x+2+4/7-x =3
| 2+3: Xe sy
b) Giai hé phuongtrinh { l
". Ð 6
!X-—á¿=—
Bai 2 (1.0 diém)
Tìm số thực a đề phương trình sau có nghiệm
nguyên xˆ—ar+a+2=0
Bài 3 (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại 4 có đường
phân giác trong Bš (È thuộc 4C) Đường tròn
đường kính 48 cất 8E 8C lần lượt tại 14 ý
(M N khác 8) Duong thang 4M cat BC tai K
Chimg minh rang AE_AN = AMAK
Bai 4 (1.5 diém)
Cho tam giac ABC co ba góc nhọn, trung
tuyến 4Ó có độ đài băng độ đài cạnh 8C
Đường tròn đường kính BC cat cdc canh AB
AC the tu tai M, N (MW khac B khác C)
Duong tron ngoai tiếp tam giác AMN va duong tron ngoai tiép tam giac ABC cat duong thang AO lan luot tai J và K Chứng
minh rang tứ giác BO/M nội tiếp và tứ giác
BICK là hình bình hanh
Bài 5 (2.0 điểm)
a) Bên trong đường tròn tâm @ bản kính 1
cho tam giác {BC có điện tích lớn hơn hoặc bảng 1 Chứng minh rang diém O nam trong hoac nam trén canh cua tam giae ABC
b) Cho a ở c là các số thực dương thay đôi
thỏa mãn a ~ b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất
của biêu thức
ab+be+ca
2b+bˆc+c1a_
THAI VIET THẢO -~ MAI XUÂN VINH
(Sở GD-ĐT Nghệ 4n) giới thiệu
P=a?+b?+c?+
Trang 5`
i i ]
10 ch toan
NAM HOC 2009-2010
(Thời gian làm bài : 150 phit)
Câu 1 (2.0 điểm)
1) Giai phương trinh NT: —jx=2
2) Chứng minh răng
+ + +—————m—=>—
M+A3 Js+V7 ~ 97+V99 4
Câu 2 (3.0 điểm)
1) Cho phương trình xỶ - 6xˆ + 4 = 0
Chứng minh rằng phương trình đã cho có bôn
nghiệm phân biệt Gọi bôn nghiệm đó lân
lượt là xị,x› x; và x¡ Hãy tính giá trị của biêu
thức T =xÉ+ xý + xỆ + xý (với kết quả
được rút gọn)
2) Giai hệ phương trình
x3+3yˆ-6y+4=0 x*+x*y?-2y=0
Cau 3 (2.0 diém)
Cho tam giác nhọn ABC Vé vé phia ngoai
cua tam giac ABC nua đường tròn đường kính
AB va nua duong tron duong kinh AC Đường thăng đ thay đôi đi qua A cat hai nửa
đường tròn vừa vẽ theo thứ tự tại M và ý (1
và X khác 4) Chứng minh rằng 1) Đường trung trực của đoạn thăng A⁄ZV luôn
di qua một điêm cô định
2) MB + MN + NC < V2 (4B + AC)
Cau 4 (1.0 diém) Bên trong một hình vuông có cạnh băng §em, lay 100 điểm bat ki Chứng minh rang trong
100 điểm vừa lay cé it nhat 4 diém cing nam trong một đường tròn có bán kính bằng lcm
Cau 5 (2.0 diém) 1) Tim giá trị lớn nhật của biêu thức
P=2x+ Vi-4x-x2
2) Chứng minh răng nếu các số nguyên dương x, y, Z (voi x > 1 va y > 1) thoa man điêu kiện xˆy* — 4x + 4y=2 thix=y
NGUYEN CONG MINH (GỮTHCS Nam Hoa, Nam Trực, Nam Định) giới thiệu
Trang 6DE THI VAO LOP 10 CHUYEN TOAN
BRUGNG TAPT CAUYEN VINK PHUC
NĂM HỌC 2009 - 2010
(Thời gian làm bài: 150 phut)
Câu 1 (3 điểm) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho
24-B epee §
A) Giải hệ phương tr 1 § Cau 4 (3 diem)
A" Cho hinh thang ABCD (4B // CD, AB < CD)
b) Giải và biện luận phương trinh Đường thẳng qua K và vuông góc với 4D cat
x+ 3| + p|x- 2| =5, đường thang qua M va vuông goc với BC tại trong đó p là tham sô có giá trị thực Q Chứng minh rang
Cho ba sô thực a b c đôi một phân biệt Chứng b) OD = OC
(b-c) (c-a) (a-by Trong mat phang cho 2009 diém, sao cho ba
RES ES) | tam giác có điện tích không lớn hơn 1 Chứng
4x? +4x+1 ix? 2x41 một tam giác có diện tích không lớn hơn 4
TA MINH HIEU
(GV THCS Yen Lac, Vinh Phiic) gioi thiéu
Trang 7ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10 CHUYEN TOAN
TRƯỜNG THPT CHUYEN LAM SON, THANH HOA
Nam hoc 2009 - 2010
(Thoi gian lam bai: 150 phut)
Cau 1 (2 diém)
1) Cho x (x elŠ; x > 0) thỏa mãn điều kiện
x? + a =7 Tính giá trị các biểu thức
x?
Asx +— va B=x +—~
—=+,|2~—=2
2) Giải hệ phương trình
od 3~ 3, at §
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình ax’ + bx + e = 0 (a # 0) có
hai nghiệm xì, x; thỏa mãn điều kiện Osx, Ss
xạ <2 Tim giá trị lớn nhất của biểu thức
2a? —3ab+h?
= —
2u* -ab+ac
Câu 3 (2 điểm)
|) Giải phương trình
Vx~2+.jy+2009 +x/z—2010 =2(xty+2)
2) Tìm tất cả các số nguyên tổ p đẻ 4p + |
va 6p? +1 ciing là số nguyên tố
Câu 4 (3 điểm) [) Cho hình vuông 48CÐ cỏ hai đường chéo
cắt nhau tại £ Một đường thẳng qua A, cat canh BC tại M và cắt đường thẳng CD tai N,
Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM
va BN Ching minh ring CK 1 BN
2) Cho dudng tron (OQ) bán kinh R = | va một
điểm 4 sao cho Ø4 = v2 Vẽ các tiếp tuyện
AB, AC voi đường tròn (0) (B, là các tiếp điểm) Một góc xÓy có số đo bằng 45° có
cạnh Ox cất đoạn thing AB tai D va canh Oy cắt đoạn thẳng ÁC tại #, Chứng minh rằng
2/2 -2< DE<l
Câu § (| điểm)
Cho biểu thức P = đ + b + c? + db + ac + bá,
trong đó ad — be = Ì Chứng minh ring P2 V3
PHAM NGOQC QUANG (Sở GD-ĐT Thanh Hóa) giới thiệu
Trang 8oot DG TH YAO LOP 10 CHUVEN TORN 00-0
TRUONG THPT CHUYEN LE KHIET, QUANG NGAI
NAM HOC 2009 = 2010
(Thoi gian lam bai: 150 phiit) Cau 1, (3,5 diém)
|) Tính P=\|\5¿2 Sav 15 +16 khi on fbf
2) Giải phương trình ¥25—x? -V10-3? =3
3) Cho phương trình X + my + n= 0, Tìm m
và 0 để hiệu các nghiệm của phương trình
bảng § và hiệu các lập phương của các
nghiệm đó băng 35
Câu 2 (2 điểm)
|) Chứng minh rang neu ở là số nguyên tô
khác 3 thì số 4 = 3n + I + 2009/° là hợp số
với mọi nú e Ñ,
2) Tìm các số tự nhiên n sao cho ø” + 18n +2020
là sô chính phương
Câu 3 (I điểm)
Cho x > 0 Tim giá trị của x đê biêu thức
š
N=————— đạt gia trị lớn nhất
(x+2010)°
Cau 4 (1,5 điềm) Cho ba điểm co dinh 4, B, C thing hàng theo thứ tự đó Gọi () là dường tròn thay doi di qua hai điểm B va C Tir A ké hai tiếp tuyên
AE, AF voi duong tron (Ó) (E, Ƒ là các tiệp điểm) Gọi / là trung điểm của ĐC; #ï cất đường tròn (0) tại điêm thứ hai K Chứng minh BỊ
|) Hai điểm EF nằm trên một dường tròn có định khi (Ø) thay đôi
2) EK song song voi AB
Cau 5 (2 diém) 1) Cho tu giae ABCD ndi tiép đường tròn (())
với 4D là đường kính Biết 1ð= BC =2v5 cm:
CD = 6em Tính bán kính của đường tròn (()) 2) Cho đường tròn (Ó : R) và hai điểm 4, năm bên ngoài đường tròn sao cho đ⁄4 = 2Ñ Tìm điểm A/ trên đường tron (O ; R) dé tong
MA + 2MB dat gia tri nho nhat
TRAN VAN HANH
(Gl ĐH Phạm làn Đông, Quang Ngãi) giới thiệu
Trang 9¢¢¢¢¢ ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10 ¢eeee
KHỐI THPT CHUYÊN, ĐẠI HỌC VINH
NAM HOC 2009 - 2010
VÒNG 1
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1 (2 điểm) Cho phương trình
x? = (2m — 3)v + m(m — 3) = 0, với mì là tham số
|) Với giá trị nào của ?! thì phương trình đã
cho có hai nghiệm phân biệt?
2) Tìm các giá trị của m để phương trình đã
cho có hai nghiệm phân biệt ð v thoả man hệ
thức wˆ + w° = |7,
Câu 2 (4 điểm)
|) Giải hệ phương trình
x? + yp? +2(x+y) 23
1]
2) Cho các số thực x thoả mãn x > &y > 0
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=x+——
y(x -8y) Câu 3 (4 điểm) Cho hai đường tròn (Q\, Ri)
va (QO), Rs) cit nhau tai hai diém /, P Cho
bidt R, < Ry va O} Oy nim khác phía đối với
r+ pt xy
đường thăng /? Kẻ hai đường kinh /E, /F
tương ứng của (Œ\ #4) va (02, Ro)
1) Ching minh ring £ P, F thang hang
2) Goi K la trung diém EF Chimg minh rang
O:PKO) la tir gidie noi tiép
3) Tia IK cat (› R›) tại điểm thứ hai Ø, đường
thing vudng goc voi /K tai / cat (01, Ri) tal
diem thir hai A Ching minh rang /A = BF
VONG 2
(Thời gian lam bai: 150 phiit)
Câu 1 (2.5 điểm) Giải các phương trình sau:
1) ¥3x+1—VJx- = yx;
2)x† - 3x - 2x? +6x+4=0
Câu 2 (2.5 điềm)
l) Tìm các số nguyên dương +, ¡' thoả mãn
phương trình x° tự ~ l3(v - vy) = 0
3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tổ lẻ
p deu khong t6n tai cac so nguyén duong mm,
thoa man
Câu 3 (2 diém) Cho cac số thực dương x,y, 2 thoả mãn x + 2y + 3z = |8 Chứng mình răng 2y+3:+5 3z+xv+5 rxr+2y+5, 5Ì
1+ 2y 1+ 32 7
l+x
Dấu đăng thức xảy ra khí nảo?
Câu 4 (3 điểm), Cho tam giác nhọn 48C nội
tiếp trong đường tròn tâm O va ACB = 45“
Kẻ các đường cao 4A" và 8B Gọi // là trực tâm của tam giác 4ØĐC, ă và Ý tương ứng là
trung điểm của 48 và CH
|) Chứng minh rằng 4'A#8'N là hình vuông
2) Chứng minh rằng 1'B' A⁄N (2H đồng quy
LE QUOC HAN
(GV Khoa Toán ĐH Vinh) giới thiệu
Trang 10PE THI VAO LOP 10
TRUGNG THPT CHUYEN DAI HOG SU PHAM HA NOI
Nam hoc 2008 - 2010 DANH CHO MOI THi SINH
(Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm) Cho các biêu thức
A = (20a +92+ Va! + l6a? +64 ;
B= a` + 20a` + 102a” + 40a + 200
1) Rat gon A
2) Tim a dé A + B=0
Câu 2 (2 điềm) Hai người công nhân cùng làm một
công việc trong 18 giờ thì xong Nếu người thứ nhất
làm 6 giờ và người thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn
thành được 50% công việc Hỏi nêu làm riêng thì
mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Câu 3 (2 điểm) Cho parabol (P) có phương trình
y=x và đường thăng (đ) có phương trình y = zx + Ì
I) Chứng minh răng đường thăng (đ) luôn căt parabol
(P) tai hai diém phân biệt với mọi giả trị của ”:
2) Goi A(x; 3 y1) và 8Œ; ; y›) là giao điểm của (2) và
(P) Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức
M= Œìị ~ 1)02- 1)
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác 48C với 4B = 5, BC = 10,
AC = 3V5 Duong phân giác 8K của góc 48C (K
c BC) căt đường cao 4H (H c 8C) và cat trung
tuyén AM (M e 8C) của tam giác 48C lân lượt tại các điểm Ó và 7
1) Tinh AH
2) Tinh dién tich tam giac AOT
Câu 5 (1 diém)
Các số thực x và y thoả mãn đăng thức
(x4 Vi4 x2 (y+ Ji4+y? )=1
Chứng minh rằng x + y = 0
DÀNH CHO THÍ SINH CHUYÊN TOÁN - TIN
(Thời gian làm bài: Ì 50 phút)
Câu 6 (1.5 điềm) Các số thực x, y thoả mãn xy+ Ÿ/2
và xy # ~Ÿ2 Chứng minh rằng biểu thức sau
không phụ thuộc vào x, y:
Câu 7 (3 điểm) 1) Cho phương trình x” + bx + c = 0,
trong đó các tham sô ở và c thoả mãn đăng thức b + c
= 4 Tìm các giá trị của ở và c đê phương trình có
hai nghiệm phân biệt xạ, x; sao cho xị = x‡ + x;
2) Giả sử (x ; y: z) là một nghiệm của hệ phương trình
y
2 ak 3`E §
=x gt at:
10 5 3 Hãy tính giá trị của biéu thite A =x + y+z
Câu 8 (1,5 điểm) Ba số nguyên dương a, p, q thoa
mãn các điêu kiện:
i) ap + | chia hét cho gq,
ii) ag + | chia hét cho p
Pe
2(p +9)
Chứng minh rằng a >
Câu 9 (3 điểm) Cho đường tròn (Ø) đường kính
AB va diém C thuộc đường tròn (C không trùng với
A, B và điêm chính giữa của cung 48) Gọi # là
hình chiêu vuông góc của C trên 48 Đường tròn
(O,) đường kính 4/7 cắt C4 tại E, đường tròn (Ó;)
đường kính 8/ cat CB tai F
1) Chimg minh AEFB là tứ giác nội tiếp
2) Gọi Ø; là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua Ó Chứng
minh ba điểm #, Ó:, D thang hàng
3) Gọi S là giao điểm của các đường thăng £# và
AB, K là giao điêm thứ hai của SC với đường tròn
(O) Chứng minh răng XE L KF
Câu 10 (1 điểm) Một hình vuông có độ dài cạnh
băng l được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi
bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kì không có điêm
chung trong) Kí hiệu P 1a chu vi của mỗi hình chữ
nhật trong 100 hình chữ nhật này
1) Hãy chỉ ra một cách chia để P = 2.02
2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P
NGUYEN TH] THANH THUY (GV trường THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội)
giới thiệu.
