Một số đề thi tuyển sinh vào trường chuyên

EIE thay đôi nhưng luôn vuông góc với nhau.Tìm vị trí của các dây MIN va EIF sao cho tứ giác M 'E'`N'F' có diện ị 7... [.Gia sử M là một điểm thay đôi trên cung lớn A8 của đường tròn..

Đề 1:Thi Chuyên Hùng Y ươns(2000-2001

b).Giải phương trình: (x—l} +(x-2)y 0 =1

Cau 4; Goi a.b.c 1a do dai ba cạnh một tam piác: h„.ứựy.h là độ dài ba đường cao tương

img voi ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nội tiệp tam giác đó

Dé 2:Thi Chuvén Hing Vuwong(2000-2001

Câu 3: Giả sử phương trình ax” +bx+e= 0 có hai nghiệm thuộc đoạn [ost] Xác định

a.b.e đề biêu thức P có øiá trị nhỏ nhất,lớn nhất Trone đó: Ð= (a—6)(2a~c)

Cau 4:

a).Cho đường tròn tâm O co hai duong kinh AB va CD vuông góc với nhau Tiên đoạn CD lây ‘diém M và trên doan OD lay diém N sao cho MN bang ban kinh R của đường tròn Đường thang AN cat dudng tron tai diém khác A.Hỏi tam giác AMP có vuông ở ⁄/ không?

Câu 4: Gia str P 1a mot diém bat k¥ nam trong mặt phăng của một tam giác đều ÀC cho

trước Trên các đường thăng BC.CA.AB lan luot lay cdc diém A',B',C' sao cho

PA' PB' PC' theo thứ tự sone song với 8A.BCŒ.CA

I.Tìm mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác A'B'C' voi cdc khoang cach

từ tới các đỉnh của tam gidc ABC.CMR:Ton tai duy nhat mét diém P sao cho

tam giác A'8'C" là tam giác đều

2.CMR:Với moi diém P nam trong tam giác ABC ta cĩ:

BPC-BAC =CPA-CBA =APB-ACB (= q):và giá trị chung g cua hiéu nay khong phy thuée vao vi tri cua P

3.Tìm qụ tích các điêm P nam trong tam gidéc ABC sao cho tam gidc A' B'C' vudng

o A', hay chi ro cach dung qui tich nay.

Đề 4:Thi Sư Pham (2000-2001)

Câu 3: Tim tat ca các bộ 3 số tự nhiên lớn hơn | thoa man: Tich cua hai so bat ky trong

ba số ay cong voi Ichia het cho so con lai

Câu 4: Tam giac XYZ có các định X.Y.Z lần lượt năm trên các cạnh 8Œ.CA.AB của tam

giác ABC gọi là nội tiếp tam giác A8C

I.Gọi Y',Z' là hình chiếu vuông góc của Y và Z lên cạnh 8C

CMR: Nêu c6AXYZ AABCthì Y'Z'=——

2.Trong so nhitng tam øiác XYZ nội tiệp tam giac ABC theo định nghĩa trên

và đồng dạng với tam giác ABC hãy xác định tam piác có diện tích nhỏ nhất

Dé 5: Thi Tong Hop (1999-2000)

Câu 3: Tìm tắt ca cdc s6 nguyén duong n dé: (n° +9n—- 2):(n+ 11)

Câu 4: Cho vong tron(O) va diém / ở trong vòng tròn.Dựng qua 7 hai day cung bat ky

MIN EIF Gọi M'.N'.E'.F' là các trung điểm của JM.IN.IE.IF

I.CMR: Tứ giác 8#'E'N'F' là tứ giác nội tiếp

2,Giả sử 7 thay đôi.các dây MN EIF thay đôi

CMR:Vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' c6 ban kinh khong doi 3.Giả sử 7ƒ có định.các dây 4N EIE thay đôi nhưng luôn vuông góc với

nhau.Tìm vị trí của các dây MIN va EIF sao cho tứ giác M 'E'`N'F' có diện

ị 7

Đề 6:Thi Tông Hơp (1999-2000

Câu 2: Các số ø, đ, đ„ được xác định bởi công thức:

đ¿ =“————— Với Vk 3 |.Hãy tính P=l+>Sa,

Cau 3: CMR: Ton tai mot so chia het cho 1999 và tông các chữ số của số đó băng 1999

Cau 4:Cho vong tron (O.R).Gia su A.B 1a hai diém cô định trên vòng tròn và A8 = RAB

[.Gia sử M là một điểm thay đôi trên cung lớn A8 của đường tròn Vòng tròn nội tiếp tam giác MAB tiep xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F

CMR:Đường thăng E# luôn tiếp xúc với một đường tròn có định khi & thay đôi 2.Tim tap hop céc diém P sao cho đường thăns (đ) vuông góc với ØP tại P cat doan thang AB

Câu 5: Cho hình tròn (Ø) bán kính bằng | Gia sử At,4a Ag là tam diém bat ky nam

trong hình tròn (kê cả trên biên) CMR: Trong các điêm đã cho luôn tôn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn I.

Đề 7: Thi Chuyên Hùng Vương (1999-2000)

Vòng |:

Câu l: Chứng mình các bất đăng thức sau với a.b.e là các số nguyên không âm:

I+ va | lt vb | I+ ve <3+a+b+c

l+alb I+aŸc l+x'a

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức: B= 3a + dy! —đŸ với các giá trị của ae |_ II]

3<

Câu 3: CMR: Trong 7 số tự nhiên bất kỳ ta luôn chọn được 4 số sao cho tông của chúng

chia het cho 4

Câu 4: Cho tam giác ABC.Trén canh BC lay hai diém M.N sao cho: BAM = CAN CMR:

Cau 1: Voi gia tri nao cua > trone đó a.b là các tham số khác 0.thì các nghiệm phân

biệt của ca hai phương trình sau có ít nhất là 3 nghiệm: -

Đề 9: Thi Sư Pham I (1999-2000)

2.Cho a là số tự nhiên được viet bang 222 chit so 9.Hay tinh tong cac chữ số

clan voi n=a’ +l

Cau 2:

|.Giai phương trinh: fx(x +1) +4fx(x+ 2) = Jx(x—3)

2.Tim a dé phuong trinh sau c6 nghiém duy nhất:

x? —(3a—2)x + 2a” — 5a— 3

x“+Sx-l4

|

Câu 4: Trên mặt phăng tọa độ xÓy cho A (-3.0): B (-1.0) Xét diém M va N thay doi trén

trục tune sao cho AM L BN

I.CMR: AN L BM va OM.ON khong đôi Từ đó suy ra đường tròn đường kính

MN luôn đi qua hai điểm cô định Tìm tọa độ hai điểm cô định đó

2.Tim qui tich tam dudng tron ngoai tiép AAMN Xac dinh vi tri MN dé AAMN

có điện tích nho nhat.

Đề 10: Thi Sư Pham I (1999-2000)

[.Giải và biện luận theo z: (x? —5x+6Nx?—5ax+6a? =0

2.Với giá trị nào của z thì hệ cĩ ít nhất một nghiệm thỏa mãn x y >0.Với các gia trị ø tìm được hãy tim tat ca cac nghi¢m của hệ đã cho:

x+y+—4+—<=4

Câu 4: Cho A ÀC cĩ các cạnh khơng bằng nhau.G là trong tam AABC Ai.Bì.C! là các

điểm đơi xứng của A.,8.€ qua G.Biêt AB = 2.BC và S xe =73

Tính diện tích miền lục giác chung của AAĐC và AAiØ\Œ

Đề 11: Thi Sư Pham I (1997-1998)

r ị

Vong |:

Cau 1: CMR:V6i moi n nguyén duong deu cd: 5".(5" +1)—6".(3"+2") : 91

Câu 2: Cho x y là hai số duong thay d6i thoa man: x.y =1

Câu 4; Xét một hình vuông và một hình tam giác Nêu chúng có diện tích băng nhau thi

hình nào có chu vi lớn hơn

Câu 5: ChoA ABC có A=45" BC=a O là tâm đường tròn ngoại tiếp B vàC là chân

các duong cao ha tir B, C xudng cac canh AC, AB tuong trng.Goi O' la điểm doi xtmg cua O qua B'C’

I.CMR: A.B'.Ø'.C'" cùns năm trên một đườne tron

2.Tinh B'C' theo a.

$?” +1997 = 5?“ + g?,

Câu 4: Trone tất cả các tứ giác lôi với hai đường chéo có độ dài đã cho và sóc giữa hai

đường chéo có độ lớn đã cho,xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất

Cau 10; Hay xem khang dinh sau đây đúng hay sai?

De 13:Thi Tong Hop (1997-1998)

Cau 5; Cho AABC có các cạnh đều băng I(dvdd) Bên trong tam giác ta đặt hai đườn)

tròn (O.R) và (@Ø' ®') tiếp xúc ngoài với nhau, sao cho một trone hai đường trị tiêp xúc với các cạnh 8Œ.BA: đường tròn kia tiệp xúc với các cạnh 8C CA

I.CMR: R+R'>(¥3-1).—

2 Các bán kính &.&' băng bao nhiêu đề tông diện tích hai hình tròn trên nhỏ r

và tính giá trị nho nhât đó

Câu 2: C6 ton tai hay khong cdc sé nguyén x, y thoa man: 1992.x' +1993 y" = 1995,

được dưới dạng tông của ø+l1 số hợp số với nhau Hỏi ø bằng bao nhiêu?

Câu 4: Xét A AĐC ngoại tiếp đường tròn có bán kính r=I.Gọi j„.„.h, làn lượt là độ

Trên đường tròn cho 16 điêm và dùng 3 màu:xanh đỏ.vàne đề tô các điêm này (mỗi điểm một màu).Giữa mỗi điểm nói băng một đoạn thăng được tô màu tím

hoặc nâu CMR:Với mọi cách tô màu trên các diém(chi ding 3 3 mau: xanh, do, vàng) và mọi cách tô trên các đoạn thăng nối giữa các cặp điêm (chi dùng hai màu tím hoặc nâu) ta đều tìm được trên hình vẻ một tam giác có các định là các điềm

đã cho mà các đỉnh được tô băng cùng một màu và các cạnh cũng được tô băn cùng một màu (dĩ nhiên là khác màu tô trên định)

Đề 15: Thi Chuyên Hùng Vương (1997-1998

Câu 3: Cho đường trịn (Ø.r).Xét hình thang A8CD ngoại tiếp đường trịn nĩi trên, trone

d6 BC // AD, BAD= a, CAD = 8 với œ <90", B< 90"

A)” OB ` OC* OD’

b)Tinh § ABCD theo r.œ .Với các gĩc băng bao nhiêu thì hình thang ABCD co § nho nhat va tinh § nhỏ nhất do theo r (S la digén tích cua hình thang ABCD)

Đề 16: Thi Chuyên Hùng Vương (1997-1998

Cau 2: Trong 1997 so tu nhién tir | dén 1997 chon n so (n= 2 ) phan biét sao cho 2 so

bat ky duoc chon cé tong chia het cho 8 Hoi trong các cách chọn ø số như thê thì

n lon nhat la bao nhiéu?

Câu 3: Cho doan thang AB va một điêm € trên A8 với AC = a BC =b.Đường thăng qua

C và vuơng gĩc với À cắt nửa đường trịn đường kính A# tại 2.Dựng đường trịn

tâm P bán kính z;¡ tiếp xúc với CA.CØÐ và tiếp xúc với nửa đường trịn đường kính

AB.Dựng đường trịn tâm Ø bán kính z; tiếp xúc với C8 CD và tiếp xúc với nửa đường trịn đường kính À Gọi r là bán kính đường trịn nội tiép tam gidc ABD

a)Tinh 7.7, theo a,b

b?Tìm đăng thức liên hệ giữa r.m.?.

Đề 17:Thi Tông Hop (1995-1996)

duong.Goi d là ude sé cia a,b.Chimg to: d< Va+tb

Câu4: Cho hai hình chữ nhật có cùng diện tích.Hình thứ nhất có kích thước a và b

(z>b>0)).Hình thứ hai có kích thước e và đ(c> >0)

CMR: Nêu z >e thì chu vi của hình thứ nhất lớn hơn chu vi của hình thứ hai

Câu 5: Cho 3 diém có định A.8.C thăng hàng theo thứ tự ay.Goi (Q) 1a mot vong tron

qua 8.Œ Kẻ từ A các tiệp tuyên AE và AE đến vòng tròn ( @ ) (E.F 1a các tiép

điểm).Gọi Ở là tầm của vòng (@) 7 là trung điểm của 8Œ N là trung diém cua EF I.Chứng tỏ: £ và # năm trên một vòng tròn cô định khi vòng tròn (©@) thay đồi

2.Đường thăng #7 cắt vòng tròn (Q) tại E'.CMR: EE'AB

3.CMR: Tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác VỚI nằm trên một đường thang có

định khi vòng tròn ( @) thay đôi

Đề 18:Thi Tông Hop (1995-1996)

Vòng 2:

Câu I: Cho (+ Vx? rally tay +3}= 3.Hãy tính E với E=x+y

x+xy+y=l

Cau 2; Giải hệ: + y+ yz+z=3

dong thoi A co thê việt được dưới dạng : A = p;.p3.py.py VOl P, Pr P3 Ps laca

số nguyên tô phân biệt

Cau 5; Cho vong tron (Q ),vé hai day AB va CD cat nhau tai J (7 nam trong duong

tron).M la trung diém cua BD.MI kéo dai cat AC tai V.Chứng tö: " = Cp

Tinh (1999-2000

Dé 19: Thi Hoc Sinh Giói Cá

Cau 1:

a-CMR: Voi Vne N thi: n`và ø có chữ số tận cùng giông nhau

b-Phân tích số 2000 thành tông các bình phương của 3 số nguyên dương

Câu 4: Cho tam giác A8C không cân ở A.Gọi M 1a trung diém cạnh 8Œ.Ð là hình chiều

vuông sóc của A trên 8Œ và # lân lượt là các hình chiêu vuône góc của Ö và € trên đườne kính AA' của đường tròn ngoại tiệp tam giac ABC CMR: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam siác DEF

Đè 20: Thi Hoc Sinh Giói Cấp Tính (1998-1999

b-CMR: Trong ba số nguyên liên tiếp 2V T—I.2NW.,2N+[ không có số nào là số

chinh phuong Trong do: N =1.3.5 1999

Cau 2: Cho a.b,.c#0 thoa mãn :(a+b+ €)-, — tết —|

Tính T véi: T =(a +p°5).(b' 5 +e"”*).(c”"+a?)

Câu 3: Cho a.b.c>0 thoa man :abc =1 Tim GTLN cua biéu thức:

a +b +ab b+c+be c+a-+ca

Câu 4: Cho đường tròn tâm @ bán kính # và đường thăng (đ) ở ngoài đường tròn #⁄ là

một điểm di động trên (đ) Từ Ä⁄ ke các tiệp tuyen MP va MQ voi dudng tron (P

và Ở là các tiếp điểm) N la giao diém cua PQ voi OM

a-CMR: OM.ON khong doi

b-CMR: Chứng tö: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PO thuộc một đường thăng cô định

c-Tìm qui tích điểm N.

a-Cho hinh thang ABCD (AB // CD)

Goi E là giao diém cua hai cạnh bên,

F 1a giao diém của hai đường chéo

CMR:Dudng thing noi E.F di qua

cac trung diém cua day AB.CD

b-Cho sABC M.N, P làn lượt

la cac diém trén cac canh BC, CA, AB

Nói AM BN CP CMR: Nếu diện tích của 4 tam giác băng nhau (Cac tam gide gach chéo) thì các diện tích của ba tứ giác không gạch chéo cũne bằng nhau

Câu 5: Tôn tại hay không 1991 điểm trên mặt phăng sao cho bất kỳ 3 điêm nồi trong chúng đều là định của một tam giác có một sóc tù

Đề 22:Thi Tông Hop (1991-1992)

Hay tinh: A= a@.a° + b + c”

b-Cho a.b.c.d 20 vaa.b.c.d <1 1.CMR:0< a+b+c+d-—ab—bce—cd—-—da<2

Câu 3: Cho trước a và d là những số nguyên dương Xét tât cả các so có dang:

a.a+di.a+2d a+nd CMR: Trong các số đó có ít nhât một số mà 4 chữ số

dau tién cua no la 1991

Câu 4: Trong mét cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham dự.Giả sử môi người đêu

quen biết với ít nhất 67 người CMR: Có thê tìm được một nhóm 4 người mà bât

kỷ 2 người trone nhóm đêu quen biết nhau

a-Cho hình vuông AB8CD Lấy điêm M năm trone hình vuông:

MAB = MBA = 15° CMR: AMCD deu

b-Hãy xây dựng một tập hợp có 8 điểm mà: Đường trung trực của đoạn nồi hai

điểm bất kỳ luôn đi qua ít nhật hai điệm của tập hợp đó

Giả sử m là một tham so dé cho phương trình: (x— I).(x—2).(x—3).(x—4)= m

có bồn nghiệm x,.x,.x,.x„ đều khác 0 Hãy tính giá trị của biêu thức sau theo m:

P=—+—+—+—

X, XX, X +,

Câu 3: Cho ABC: BC = a.CA =b.AB=c AD) là phân giác tronp của A( De BC)

a-CMR: AD? = AB AC-—DB.DC

b-Tinh AD theo a.b.c

Cau 4: Cho ~ABC c6 AM BN lacac dudng trung tuyén xuat phat tir A.B: AD.BI 1a cac

đường phân giác xuất phát từ A và Ø8 Chứng tỏ: Nếu A> B thi:

a) AM < BN

b) AD< BI

Cau 5; Tim nghi¢m nguyén cua phuong trinh: 2xy+x+ y=83.