Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0.. Tính thể tích khối chóp S.BCNM... Thí sinh chỉ đợc làm phần I hoặc phần II Phần I.
Trang 1.TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Đề thi thử đại học năm 2010
Môn toán - Khối A
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
Phần A : Dành cho tất cả các thi sinh
Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 – 3x 2 + 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : 2 2 2
1
m
x x
x
−
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phơng trình : cos 11 5 sin 7 2 sin 3 2009
2) Giải hệ phương trỡnh: log2 2 2 3log (82 2 2)
Câu III(1,0 điểm ) Tính tích phân : 3
1
( 4)
x dx
−
+ + + +
∫
Câu IV ( 1,0 điểm ) :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
AM = 3
3
a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Câu V (2,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2-x + 2-y +2-z = 1 .Chứng minh rằng :
4 4 4
x y z+ + y z x+ + z x y+
Phần B ( Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)
Câu VI.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng :
d1 : 2 1
x− = y = z+
− − ; d2 :
−
1) Chứng minh rằng d1 và d 2 song song Viết phơng trình mặt phẳng ( P) qua d 1 và d 2
2) Cho điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đờng thẳng d1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
log (x+1) +log 2 log= 4− +x log (x+4)
Cõu VIII.a (1 điểm): Tớnh tổng: 0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
Phần 2 ( Dành cho học sinh học ch ơng trình nâng cao )
Câu VI.b (2,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng :
D 1 : 2 1
x− = y− = z
− , D2:
2 2 3
x t y
z t
= −
=
=
1) Chứng minh rằng D1 chéo D 2 Viết phơng trình đờng vuông góc chung của D 1 và D 2
2) Viết phơng trình mặt cầu có đờng kính là đoạn vuông góc chung của D 1 và D 2
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Cho phơng trình : 2 2
log x+2 log x+ − − =1 m 2 0 , ( m là tham số ) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;5 3
VIII.b (1 điểm): Tớnh tổng : 1 3 8 1
1 3 (8 1) n
C − C + − n− C − ……….Hết ………
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Hớng dẫn giải : Phần A : Dành cho tất cả các thí sinh
Trang 2Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị )
2) Đồ thị hàm số y = (x2 − 2x− 2) x− 1 , với x ≠ 1 có dạng nh hình vẽ :
Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Phơng trình vô nghiệm
*) Nếu m = - 2 : Phơng trình có hai nghiệm *) Nếu – 2 < m < 0 : Phơng trình có 4 nghiệm phân biệt *) nếu m ≥ 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) cos 11 5 sin 7 2 sin 3 2009
− − − =
⇔ cos3 0
2
x = hoặc cos( ) 2
x+π = − Giải các phơng trình cơ bản tìm đợc nghiệm :
2 , x= 2 , x = k2
k
Điều kiện: x+y>0, x-y>0
Đặt: = −u x y v x y= + ta cú hệ: 2 2 2 2
2
3 (2) 2
uv
Thế (1) vào (2) ta cú:
2
uv+ uv+ − uv = ⇔uv+ uv+ = + uv ⇔uv=
4
uv
u v
=
+ =
(vỡ u>v) Từ đú ta cú: x =2; y =2.
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu III 1) Tính tích phân I = 3
1
( 4)
x dx
−
+ + + +
∫
Đặt t = x+1 Ta có I = 2( ) 2 2
20 12
2 6
3 2
t
+
+ +
0
20 12 6
3 2
t
t t
+
+ +
∫
y = m
1+
1 2
m
Trang 3= - 8 +
2dt 1dt
2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chứng minh rằng :
4 4 4
x y z+ + y z x+ + z x y+
Đặt 2x = a , 2y =b , 2z = c Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : 2 2 2
4
a bc b ca c ab
+ +
4
a abc b abc c abc
+ +
a b a c b c b a c a c b
+ +
a
a b a c
+ + ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si)
b
b c b a
c
c a c b
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh Câu IV :
Tính thể tích hình chóp SBCMN
( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD
Ta có : BC AB BC BM
⊥
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đờng cao
a a
−
Suy ra MN = 4
3
a BM = 2
3
a Diện tích hình thang BCMN là :
4
3
a a
BM
Hạ AH ⊥BM Ta có SH⊥BM và BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SH Vậy SH ⊥( BCNM) ⇒ SH là đờng cao của khối chóp SBCNM
A S
M
N
D H
Trang 4Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM
SB = MS = 1
2 Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒ ãSBH= 30 0 ⇒ SH = SB.sin300 = a
Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 .( )
3SH dtBCNM = 10 3 3
27
a
Phần B (Thí sinh chỉ đợc làm phần I hoặc phần II)
Phần I (Danh cho thí sinh học chơng trình chuẩn)
Câu V.a.1) Véc tơ chỉ phơng của hai đờng thẳng lần lợt là: uur1(4; - 6; - 8)
2
u
uur
( - 6; 9; 12) +) uur1 và uuur2 cùng phơng
+) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2
Vậy d1 // d2
*) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là nr = ( 5; - 22; 19)
(P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2) uuurAB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1
Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm đợc H 36 33 15; ;
29 29 29
A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
27
log 2 log = 4 − +x log (x+ 4) (1)
1
x x
− < <
≠ −
(1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4)
⇔ log34 x+ 1 = log3(16 – x2) ⇔ 4 x+ 1 = 16 – x2
Giải phơng trình tìm đợc x = 2 hoặc x = 2 - 24
Phần II.
Câu V b 1) Các véc tơ chỉ phơng của D1 và D2 lần lợt là uur1( 1; - 1; 2) và uuur2( - 2; 0; 1)
*) Có M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2
Xét u uur uur uuuur1; 2.MN = - 10 ≠ 0
Vậy D1 chéo D2
*) Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) ∈ D1
B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2
1
2
AB u
AB u
=
uuurur
uuur uur ⇒
1 3 ' 0
t t
= −
=
⇒ A 5 4; ; 2
3 3 3
; B (2; 3; 0)
Đờng thẳng ∆qua hai điểm A, B là đờng vuông góc chung của D1 và D2
Ta có ∆:
2
3 5 2
= +
= +
=
*) Phơng trình mặt cầu nhận đoạn AB là đờng kính có dạng:
D2
A
B u uu r2
1
u ur
D1
I
A
B
A1
Trang 52 2 2
− + − + + =
b.2) Đặt t = 2
5 log x+ 1 ta thấy nếu x ∈ 1;5 3
thì t ∈ [ ]1;2
Phơng trình có dạng: t2 + 2t – m – 3 = 0; t ∈[ ]1;2
⇔t2 + 2t – 3 = m ; t ∈[ ]1;2
Lập bất phơng rình hàm f(t) = t2 + 2t – 3 trên [ ]1;2 ta đợc 0 ≤ f(t) ≤ 5
Đ K của m là: 0 ≤ m ≤ 5
CõuVIIa
2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009 (1 ) +i =C +iC + + i C
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2
S = A B+ , với
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
+ Ta cú: (1 ) +i 2009 = + (1 )[(1 ) ]i +i 2 1004 = + (1 ).2i 1004 = 2 1004 + 2 1004i
Đồng nhất thức ta cú A chớnh là phần thực của (1 ) +i 2009 nờn 1004
2
2009 2009 2009 2009 (1 +x) =C +xC +x C + + x C
2009 2009 2009 2009 2009 2009
Cho x=1 ta cú:
2009 2009 2009 2009 2009 2009 (C +C + + C ) ( + C +C + + C ) 2 = . Suy ra: 2008
2
+ Từ đú ta cú: S = 2 1003 + 2 2007
0,25
0,25 0,25
0,25
n
CõuVIIb
(1,0)
Suy ra:
8 1 1 2 2 3 8 2 8 1 8 1 8
1 3 (8 1) n
A= C − C + − n− C − chớnh là phần thực của khai triển số phức 8 (1 )n +i 8n− 1
Ta cú: 8 (1 )n +i 8n− 1 = 4 (1 ) (1 ) 4 2n +i 8n + =i n 4n + 4 2n 4n i
1 3 (8 1) n 4 2 n
0,25
0,5
0,25
