Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 4: Đạo hàm, vi phân cung cấp cho người học các kiến thức về Hàm một biến bao gồm: Hệ số góc của tiếp tuyến, vận tốc tức thời, đạo hàm, đạo hàm cấp cao, quy tắc L’Hospital,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1ĐẠO HÀM, VI PHÂN
HÀM MỘT BIẾN
Lecture 4 Nguyen Van Thuy
Review
Định lý Nếu khi x gần a và
thì
Định lý
f x g x h x
lim ( ) lim ( )
x a f x x a h x L
lim ( )
x a g x L
x a f x L x a f x L x a f x
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-2
Review
Định nghĩa Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu
f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a
f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng đó
Ví dụ Tìm a để hàm số sau
liên tục tại x=1
x a f x f a
2 2 2
1
( 1) ( )
3 , 1 1
x x
f x
x x a
x x
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3
Review
Định lý Tất cả những hàm sau liên tục trên miền xác định
Hàm đa thức
Hàm phân thức hữu tỷ
Hàm căn thức
Hàm mũ
Hàm logarithm
Hàm lượng giác
Hàm lượng giác ngược
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-4
Review
7 dạng vô định
Các giới hạn cơ bản
Ví dụ Tính
.0
0
1/
u
u
u
0
tan 2
) lim
x
x
a
x
1 ) lim 1 2
x
x b
x
Hệ số góc của tiếp tuyến
Mối liên hệ giữa hệ số a với góc tạo bởi trục hoành và đường thẳng (d): y = ax+b?
Hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA,yA) và B(xB,yB)?
Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))?
0
lim
tt h
k
h
Trang 2Hệ số góc của tiếp tuyến
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-7
Vận tốc tức thời
Một chất điểm chuyển động cách gốc O tại thời điểm t là s = f(t)
Vận tốc trung bình từ thời điểm t=a đến thời điểm t=a+h
Vận tốc tức thời tại thời điểm t=a
f a h f a v
h
0
( ) lim
h
f a h f a
v a
h
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-8
Vận tốc tức thời
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-9
Đạo hàm
Định nghĩa Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu f’(a), được xác định bởi
nếu giới hạn đó tồn tại
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))
y = f’(a)(x-a) + f(a)
0
'( ) lim
h
f a h f a
f a
h
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-10
Đạo hàm
Ví dụ Tính đạo hàm bằng định nghĩa
1) f(x) = x2 + x, tính f’(3)
2) Tính f’(2) f x( ) x
2
2
7
f
h h
Đạo hàm
Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x)
Chú ý f’(a) nghĩa là giá trị tại x=a của hàm f’
Ví dụ f(x) = sinx, phát biểu “f’(0) = 0 bởi vì f(0)=0 là hằng số, và đạo hàm của hằng số là zero” đúng hay sai?
'( ) ' dy df d ( ) ( ) x ( )
Trang 3Đạo hàm
Các công thức đạo hàm cơ bản
1
' ( ) ' ', ( ) ' ', (ln ) '
(sin ) ' 'cos , (cos ) ' 'sin
(tan ) ' '(1 tan ), (cot ) ' '(1 cot )
(arcsin ) ' , (arccos ) '
(arctan ) ' , (arc cot ) '
u
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-13
Đạo hàm
Các tính chất của đạo hàm
Ví dụ
' 2
u v u v c u c u
u u v uv
uv u v uv
d
dx
ln ln cos ?
d
x dx
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-14
Khi nào đạo hàm tồn tại?
Giới hạn này có thể không tồn tại
Nếu f’(a) tồn tại hữu hạn, f được gọi là khả vi tại a
Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a
0
'( ) lim
h
f a h f a
f a
h
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-15
Đạo hàm
Ví dụ
f(x)=|x| có và không có đạo hàm tại x=0
1, 0 '( )
1, 0
x
f x
x
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-16
Đạo hàm cấp cao
Công thức
( ) ( 1)
'' ( ') ', ''' ( '') ', , n ( n ) '
( )
1
n n
( )
(sin ) sin
2
n
( )
2
n
x xn
( )
( eax)n a en ax
( )
(sin ) sin
2
( )
2
ax a axn
Đạo hàm cấp cao
Công thức Leibniz
Tổng quát
Ví dụ a) Tính b) Tính
( ) '' '' 2 ' ' '' ( ) ''' ''' 3 '' ' 3 ' '' '''
( ) ( ) ( ) (0) 0
!
!( )!
n
k
n
fg C f g f f C
k n k
2 (100) ( x ex)
( ) 2
n
x
Trang 4Vi phân
Vi phân của hàm số y=f(x) tại x: dy=f’(x)dx
Vi phân cấp n
( )
( )
( ).( )
( ).
d y y x dx
y x dx
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-19
Quy tắc L’Hospital
Định lý Nếu có dạng khi xa và tồn tại
thì
Chú ý Quá trình xa có thể thay bởi xa+, xa-,
x, x-
Ví dụ
( ) ( )
f x
g x
0 , 0
'( ) lim '( )
x a
f x
g x
( ) '( )
( ) '( )
f x f x
g x g x
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-20
Quy tắc L’Hospital
Ví dụ
3
0
arctan
0
)
x
a L
x
x
x
b L
x
1
1
) lim
1 ln
x
x
c L
x x
1/(2 2)
1
) l mi x (1 )
x
) lim x(0)
x
0
1/
) lim( x) x( )
x
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-21
Đạo hàm của hàm ẩn
phương trình F(x,y) = 0 được gọi là hàm ẩn
phương trình x2 + y2 = 2
Phương trình trên xác định hai hàm ẩn
y x y x
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-22
Đạo hàm của hàm ẩn
Để tính đạo hàm của hàm ẩn, chú ý rằng
Chú ý y là hàm số theo x, còn x là biến số
Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta được
x
F x y F x y
y
Đạo hàm của hàm ẩn
đường cong cardioid tại (0, 1/2)
x y x y x
Trang 5Đạo hàm của hàm ẩn
đường cong lemniscate
tại (3, 1)
2 2 2 2 2
2( x y ) 25( x y )
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-25
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
x = x(t), y = y(t) được gọi là hàm số cho dưới dạng tham số
cost, –/2 t /2
Đó là hàm số
2
y x x
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-26
1 -1 0
x
y
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham
số
'( ) '( )
'( ) '( )
'( )
y t
y x
x t
t dt
in
x t a t y t b t
y x y t x t b a t
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-27
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
số y = y(x) cho bởi phương trình tham số
a) 1/2 b) 1 c) 5/e2 d) đều sai
Giải x0=2=2et t=0
2
2 t
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-28
0 '
t
t
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Ví dụ (câu 86) Tìm đạo hàm y’=y’(x) của
hàm số y=y(x) được cho bởi pt tham số
2
2
2
2
) '
1
t
a y
t
2 2
2 ) ' 1
t
b y
t
) '
c y t d y ) ' t
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm cấp 2 của hàm số cho dưới dạng tham số
hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số
a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 – 16/2
arctan ln
'
'
( '( ))
t
y x
y x
x
Trang 6Bài tập
Câu 85 câu 104
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-31