Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1.. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M2;4.. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
Trang 1THPT Lam Kinh – Thọ Xuân
- Thanh Hóa
Năm học: 2009 - 2010
ĐỀ THI THỬ ĐH - CĐ
Môn: Toán; Khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x 3 - 3x + 2 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M(2;4).
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2 os x-122
c
x
p
æ ö ÷
2 Giải hệ phương trình: 2 1 1
ìïï íï ïî
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân: 3
2 4
t anx cosx 1+cos
x
p p
= ò
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và
SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Câu V (1,0 điểm)
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : x4- 6 x2- log2m = 0
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI a ( 2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 4x - 6y -12 = 0 Tìm toạ
độ điểm M thuộc đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 sao cho MI = 2R, trong đó I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O 1 A 1 B 1 với A(2;0;0), B(0;4;0), O 1 (0;0;4) Gọi M là trung điểm của AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O 1 A và cắt
OA, OA 1 lần lượt tại N, K Tính độ dài KN.
Câu VII a (1,0 điểm)
Tìm C sao cho tổng bình phương các nghiệm của phương trình z 2 + (2 - 5i)z + C = 0 bằng
21 4i
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm
4 1
;
3 3
G æ ö ç ÷
÷
çè ø, phương trình đường thẳng BC là x - 2y - 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG là 7x 4y 8 - - = 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Trang 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(5;2;-3) và mặt phẳng
( ) : 2 P x + 2 y z - + = 1 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng:
x - y - z
Câu VII.b (1,0 điểm)
Một người say rượu bước 8 bước Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước một mét hoặc lùi lại phía sau một mét với xác suất như nhau Tính xác suất để sau 8 bước anh ta trở lại điểm xuất phát
- Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Môn: Toán; Khối B
I
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm) Khảo sát
* Tập xác định: D=R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' = 3x2 - 3; y' = 0 Û x= ±1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - ¥ - ; 1) và (1; +¥ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)
0,25
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại y(-1) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y(1) = 0
- Các giới hạn tại vô cực: xlim y ; lim yx
0,25
- Bảng biến thiên:
0,25
* Đồ thị:
- Đồ thị cắt Ox tại (-2;0)
- Đồ thị cắt Oy tại (0;2)
- Đồ thị nhận điểm uốn U(0;2) làm
tâm đối xứng
0,25
x y'
y
+¥
0
0
0
4
- ¥
x y
2
Trang 32 (1,0 điểm) Lập phương trình tiếp tuyến
Gọi là đường thẳng đi qua M(2;4) và có hệ số góc k Khi đó phương
trình của có dạng: y = k(x - 2) + 4
0,25
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm của
hệ phương trình sau:
3 2
ïí
-ïî
0,25
Vậy có hai tiếp tuyến đi qua M(2;4) là: y = 9x - 14 và y = 4 0,25
II
(2,0
điểm)
III
(1,0
điểm)
1 (1,0 điểm) Giải phương trình
Điều kiện: k
x 2
p
¹ , kÎ ¢ (*) 0,25
PT
2 2
2
2sin x
c otx-3tan x
cos x
t anx
3
4
p
0,5
Kết hợp với điều kiện (*) ta có x l , l
4
p
2.(1,0 điểm) Giải hệ
Hệ PT 2x y 1 x y 1
ï
Û í ï
+ + + + = ïî
0,25
Đặt u = 2x + + ³ y 1 0, v = x + ³ y 0
Ta có : u v 12 2
ì - = ïï
íï + =
ïî giải hệ được
v 1
ì = ïï
íï = ïî
0,25
ïïî
0,25
ì =
ïï
Û í ï
=-ïî
0,25
Tính tích phân
Đặt t = 2 tan x + 2 , với x t 3
4
p
3
p
t anx dt
cos x 2 tan x
=
Ta có:
5
3
Trang 4Vậy I = 5 - 3 0,25
IV
(1,0
điểm)
Gọi K là trung điểm BC, H là hình chiếu
vuông
góc của A lên SK
Do
BC ^ AK BC ^ SA Þ BC ^ SAK
Þ BC ^ AH
Do
AH ^ SK AH , ^ BC Þ AH ^ ( SBC )
Trong tam giác vuông SAK ta có:
1 2 12 1 2 2 3
19
a AH
AH = SA + AK Þ = Trong tam giác vuông SAB ta có:
K A
C
B
S
N
M
H
SA2 = SM.SM
2 2
4 5
SM SA
SB SB
Trong tam giác vuông SAC ta có: SA2 = SN.SC
2 2
4 5
SN SA
SC SC
0,5
2
SMN
BCNM SBC SBC
S
Vậy thể tích khối chóp A.BCNM là :
2
.
a
V = AH S =
0,25 0,25
V
(1,0
điểm)
Tìm m
Cách 1: PT Û x4- 6x2 = log m2
Vẽ đồ thị hàm số y = x4 - 6x2 , dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của
PT theo m Ta được 19
m 1
2 < <
1,0
Cách 2: Đặt t = x2 , điều kiện t > 0
ta có PT: t2 - 6t - log2m = 0 (*)
Để PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt
dương
9
0 1
2
S 0
ì D >
ïï
ïï > Û < <
íï
ï >
ïïî
Trang 5(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm) Tìm toạ độ điểm M
Đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R = 5
0,25 Gọi M(xM;yM) Î (d) Û 2xM- yM+ = Û 3 0 yM= 2xM+ 3
M 2
M
x 5
é =-ê ê
ê = ê
0,25
Kết luận có hai điểm thoả mãn là: M( 4; 5) - - hoặc 24 63
5 5
2 (1,0 điểm) Tính độ dài KN
Ta có M(1;2;0)
1
O A = (2;0; 4)
-uuuur
mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A
nên nhận O A uuuur1
làm VTPT
(P): 1(x-1) + 0(y-2) -2(z-0) = 0
hay (P): x - 2z - 1 = 0
PT tham số của OA:
x=t y=0 z=0
ìïï ïï íï ïïïî Gọi N = OA (P) Ç Thế PT OA vào (P) ta được t = 1 Þ N(1;0;0)
PT tham số của OA1:
z 2t
ì = ïï
ïï = íï
ï = ïïî Gọi K = OA1Ç (P) Thế PT OA1 vào (P) ta được 1
t 3
ç
Þ ç çè - - ÷ ÷ ø
Vậy KN =2 5
3 .
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.a
(1,0
điểm)
Tìm C
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình Theo định lí Viét ta có:
1 2
.
z z C
ì + =
-ïï
ïî
0,25
Ta có: z12+ z22 = ( z1+ z2)2- 2 z z1 2 = (5 i - 2)2- 2 C= -21 - 20i - 2C 0,25 Theo giả thiết: z12+ z22=- 21 4 - i
0,25
y z
x
M
A 1
B 1
O
A
B
O 1
Trang 6(2,0
điểm)
VII.b
(1,0
điểm)
1 (1,0 điểm) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ x-2y-4=0
(0; 2)
-íï ïî
Vì tam giác ABC cân tại A nên AG là đường cao của tam giác ABC
GA BC GA æ ç x ö æ ÷ ç y ö ÷
^ Þ ç ç - ÷ ÷ ÷ + ç ç - ÷ ÷ ÷ =
Gọi H=GA BCÇ Toạ độ của H là nghiệm của hệ: 2 3 0
x y
x y
ïï
íï - - = ïî
(2; 1)
H
-GS A(x; y) ta có uuur AG = 2 GH uuuur, với 4 1
;
AG æ ç x y ö ÷
= ç çè - - ÷ ÷ ø
uuur
;
;
GH æ ç ö ÷
= ç çè - ÷ ÷ ø uuuur
(0;3)
A
Þ
Từ
3
A B c G
và
2
A B C G
Vậy A(0;3), B(0;-2), C(4;0)
0,25
0,25
0,25
0,25
2 (1,0 điểm) Lập phương trình (Q)
:
x - y - z
- đi qua A(1;1;5) và có VTCP (2;1; 6)
u r =
-0,25
(4;1; 8)
AM =
-uuuur
(Q) đi qua M, chứa D ( ) :
[AM, ]
qua A Q
ìïï
[ uuuur r AM u , ]=(2;8;2)
0,25
Gọi x là số bước tiến và y là số bước lùi (x>0, y>0)
0,25
Vậy anh ta trở lại điểm xuất phát khi tiến 4 bước và lùi 4 bước 0,25 Vậy xác suất để sau 8 bước anh ta trở lại điểm xuất phát là:
4 8
P C æö æö ç ÷ ç ÷
= ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ =
è ø è ø
0,5