Giáo viên: Trần Văn Hùng - Môn: Toán - Trường THPT Nguyễn Bỉnh KhiêmHỆ PHƯƠNG TRÌNH A.. Tìm hệ thức liện hệ giữa x, y độc lập với m.. Tìm m để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.. H
Trang 1Giáo viên: Trần Văn Hùng - Môn: Toán - Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: ax by c
a 'x b' y c'
+ =
a ' b ' c' b ' a ' c'
- Nếu: D 0≠ : Hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất: Dx Dy
- Nếu D = 0: + Dx ≠0 hoặc Dy ≠0 : Hệ vơ nghiệm
+ Dx =Dy =0 : Hệ cĩ vơ số nghiệm là tập nghiệm của phương trình ax + by + c = 0
Bài 1: Giải các phương trình sau: a 3x y 2
+ =
1
2 1
3
+ =
+ =
Bài 2: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a x my 3m
mx y 2m 1
+ =
+ = +
mx y 1 0
x my 2 0
− + =
+ + =
mx (m 2)y 2
x my m
+ =
Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: mx my m 12
− = +
Bài 4: Tìm m để hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm: 2(m 2)x (5m 3)y 2(m 2)
(m 2)x 3my m 2
Bài 5: Cho hệ phương trình: mx y 2m
x my m 1
+ =
+ = +
a Tìm m để hệ cĩ nghiệm duy nhất (x ; y) Tìm hệ thức liện hệ giữa x, y độc lập với m
b Tìm m để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên
Bài 6: Tìm m để hai đường thẳng: (d): x + my = 1 và (d'): mx + 4y = m -1
B HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẤC HAI 2 ẨN
- Phương pháp giải: Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc hai.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a 2x 3y 12
x xy 24
− =
− =
3x 4y 1 0
xy 3(x y) 9
− + =
= + −
2
y x 4x 2x y 5 0
+ =
+ − =
2x y 5
− =
+ + =
Bài 2: Cho hệ phương trình: x 2y 62 2
+ =
+ =
Tìm a để hệ phương trình:
a Cĩ nghiệm duy nhất b Vơ nghiệm c Cĩ hai nghiệm phân biệt
C HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Kiến thức cần nhớ:
1) Hệ phương trình đối xứng loại 1:
- Dạng:
=
=
0 ) y , x ( g
0 ) y , x (
trong đĩ f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y
- Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S2 - 4P ≥0)
Trang 2Giáo viên: Trần Văn Hùng - Môn: Toán - Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
- Chú ý: + Đơi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P
+ Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm
2) Hệ phương trình đối xứng loại 2:
- Dạng:
=
=
0 ) x , y (
0 ) y , x (
(hốn vị vai trị của x và y thì phương trình này thành phtrình kia)
- Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương trình cĩ thể phân tích thành (x - y)g(x,y)
= 0
+ Khi đĩ hệ phương trình đã tương đương với: (II)
0 ) y , x (
0 ) y , x ( g ) ( 0 ) y , x (
0 y x
=
=
∨
=
=
−
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a)
=
+
= +
35 y
x
30 xy
y
x
3
3
2
2
b)
= +
−
= +
13 y y x x
5 y x
4 2 2 4
2 2
c)
= + + +
= + + +
9 y
1 x
1 y x
5 y
1 x
1 y x
2 2 2 2
d)
= +
= +
5 y x
6
13 x
y y x
Bài 2: a) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình sau luơn cĩ nghiệm:
+
= +
+
= + +
m m xy y x
1 m 2 y xy x
2 2 2
b) Tìm m để hệ cĩ nghiệm duy nhất
Bài 3: Cho hệ phương trình:
= +
−
= +
m y x
m 6 y
a) Giải hệ khi m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
a)
+
=
+
=
x y y
y 2 x x
2
2
b)
+
=
−
+
=
−
x y 2 x y
y x 2 y 2 x
2 2
2 2
c)
+
=
+
=
x 8 y 3 y
y x x
3
3
d)
=
−
=
−
y
x 4 x y
x
y 4 y x
Bài 5: Tìm m để hệ phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất:
+
−
=
+
−
=
my y 4 y x
mx x 4 x y
2 3 2
2 3 2
D HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Kiến thức cần nhớ:
- Dạng:
=
=
0 ) y , x ( g
0 ) y , x (
trong đĩ f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và y trong cùng một hạng tử bằng nhau)
- Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0)
+ Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx)
Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t
+ Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a)
=
−
=
−
2 ) y x ( xy
7 y
x3 3
b)
=
−
−
= +
−
0 y 6 xy 7 x
0 y 4 xy 8 x
2 2
2 2
c)
= +
−
−
= +
−
13 y xy x
1 y xy 3 x
2 2
2 2
Bài 2: Cho hệ phương trình:
=
−
= +
−
4 xy 3 y
a y xy 4 x
2
2 2
a) Giải hệ khi a = 4 b) Chứng minh hệ luơn cĩ nghiệm với mọi a