Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng...
Trang 1Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng
Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo hàm của các hàm cần tìm
Ví dụ: Các hệ ptvp
Hệ 2 ptvp cấp 1 ( , , , , ') 0
( , , , , ') 0
F t x y x y
G t x y x y
Trong đó
t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm
Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc ( , , , )
( , , , ) ( , , , )
x f t x y z
y g t x y z
z h t x y z
Trang 2Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng
Hệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạng
1
2
1 1 2 2
n n
n n
n
dx
a x a x a x f t dt
dx
dt
dx
dt
Trong đó f i (t), i=1,2, …,n là các hàm liên tục trong (a,b)
Trang 3Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng
n n
A
1 2
( ) ( ) ( )
: ( )
n
f t
f t
F t
f t
1 2
( ) ( ) ( )
: ( )
n
x t
x t
X t
x t
Thì hpt trên có thể viết thành
( ) (1)
dX
AX F t
(2)
dX
AX
Nghiệm của hệ là 1 hàm vecto trong (a,b) gồm các hàm khả vi, liên tục trong (a,b) và thỏa hệ
Trang 4Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm là d
D
dt
Suy ra
D = d , D = d ,
Ví dụ với hệ ptvp sau
2
2
t
( 2)
t
Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt
đại số tuyến tính
Trang 5Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Ví dụ: Giải hpt 1 1 2
3
t
Ta viết lại hpt 1 2
( 3) (1)
(
t
Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta được :
2 ( 2 ( D 2)( D 3)) x 2 et ( D 3) t
Viết lại kí hiệu thường x2 5 x2 4 x2 2 et 3 1 t
Ta giải pt trên
2
D x Dx x e t
Trang 6Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
2 5 2 4 2 2 t 3 1
x x x e t
Thay vào pt (2) 1 2 2
x x
4
x C e C e te t
4
( 1)
x C e C e e t t
Trang 7Ví dụ: Giải hpt
'
'
'
Ta viết lại hpt: 1 2 3
(1) (2) (3)
Khử x 3: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2)
Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Trang 8Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Hệ trên tương đương với:
2
(
( 2) ( 2) 0
4) (5)
Khử x 2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5)
2
( D 5 D 3)( D 2) x ( 4 D 5)( D 2) x 0
1 ( D 3 D 4) x 0
x1 3 x1 4 x1 0
x C e C e C te
Thay vào pt (4) để tìm x2: x2 C e1 t C e4 2t C te3 2t
1
3
Trang 9Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Hệ pt dX AX F t ( )
dt
Với A là ma trận thực, vuông chéo được
Tồn tại ma trận S khả nghịch sao cho A=SDS -1
Thay vào hpt dX SDS X F t1 ( )
dt
dt
Đặt Y=S -1 X dY 1 dX
S
Thay vào hpt trên
1 ( )
dY
DY S F t dt
Trang 10Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Ví dụ: Giải hpt
2
2
1 4
A
1
Đặt Y=S -1 X , ta được hpt:
1 ( )
dY
DY S F t dt
2
2
( 2)
Trang 11Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
2
t
t
2
y
y
Trang 12Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Ví dụ: Giải hpt
A
S
1
1
2
2
2
t t
2 2 ( )
2
t t
e
t
Trang 13Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S -1 X , ta được hpt
2
2 2 4
t
Vậy
X SY
2
2
4
1 1
2 4
1 1
4 16
t t t
1
3
3 3
4 16
3 3
4 16
1 1 2
2 8
x
x
Trang 14Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Ví dụ: Giải hpt
2
2
A
2 2
( )
2
t
t
1 1 1
1 1 0
S
1
1
4
Trang 15Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S -1 X , ta được hpt
1
4 4
2
4
4
1 2
t t
y t C
y C e t
y C e
X SY
t
Trang 16Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập
2 1
2
4 6 2
2 3
2 6 cos 3
3 sin
Giải các hpt sau
'
'
'
t
Trang 17Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập
'
'
2
2
t
Trang 18' 2
'
'