Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính

công thức biến thiên hằng số 2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn …… ..... Lý do chọn đề tài Lý thuyết hệ phương trình vi phân là một trong những công cụ của toán

Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng sự giúp đỡ của các thầy cô giáo

và các bạn sinh viên đến nay khóa luận đã được hoàn thành

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thạc Sỹ Phùng Đức Thắng đã hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho

em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải tích, sư

động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và kiến thức của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên

để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Tuyết

Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em

Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Tuyết

Mục lục Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mở đầu……… 1

Nội dung Chương 1 : Giải tích ma trận……… 3

1.1 Không gian vectơ ……… 3

1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ ……… 3

1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính…… 4

1.1.2.1 các định nghĩa ……… …… 4

1.1.2.2 một số tính chất……… …5

1.1.3 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ ……… 5

1.2 Ma trận, định thức của trận và toán tử tuyến tính……….… …6

1.2.1 Ma trận……… …6

1.2.2 Định thức ma trận……… …… 11

1.2.3 Toán tử tuyến tính……… 13

1.2.4 Định lý cơ bản trong lý thuyết ma trận……… 13

1.3 Không gian định chuẩn ……… ….16

1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn……… .16

1.3.2 Không gian định chuẩn của các ma trận vuông cấp n………… …17

1.3.3 Các tính chất về chuẩn của ma trận A ……… .19

1.3.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn……… …20

1.3.4.1 sự hội tụ của một dãy điểm ……… …….20

1.3.4.2 chuỗi trong không gian định chuẩn ……… 20

1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Mat n n K  , ………… … …21

1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn Mat n n K  , … 22

1.5 Ma trận mũ ……… 23

1.5.1 Định nghĩa ma trận mũ ……… 23

1.5.2 Một số tính chất ma trận mũ……… 28

1.6 Ma trận logarit……… 30

Chương 2 : Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính……… 34

2.1 Lý thuyết tổng quát về hệ phương trình vi phân tuyến tính……… .34

2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất……… 34

2.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất …… 37

2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng………… 40

2.2.1 Cấu trúc của ma trận cơ bản ……… 40

2.2.2 Công thức biến thiên hằng số……… 42

2.2.3 công thức biến thiên hằng số 2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn …… .45

2.3.1 Định nghĩa ……… 45

2.3.2 Ma trận cơ bản ……… 46

2.3.3 Cấu trúc nghiệm của hệ tuần hoàn……… 48

2.4 Các hệ khả quy ……… ….50

2.4.1 Ma trận Liapunop……… 50

2.4.2 Cấu trúc nghiệm của hệ khả quy ……… …51

Kết luận ……… …53

Tài liệu tham khảo……… 54

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hệ phương trình vi phân là một trong những công cụ của toán học Và hệ phương trình vi phân tuyến tính là một lý thuyết quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân Bởi lẽ các phương trình vi phân bậc cao đều có thể đưa về một hệ các phương trình vi phân tuyến tính Việc thể

sử dụng ma trận ma trận mũ để trình bày lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính cho ta những công thức biểu diễn nghiệm của hệ, những kết quả rất gọn, rất đẹp

Với mong muốn là hiểu hơn về lý thuyết phương trình vi phân nói chung và

lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính nói riêng và để tiếp cận vấn đề này, được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phùng Đúc Thắng em đã chọn

đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu các kiến thức về :

+ Không gian vectơ, ma trận và định thức của ma trận, không gian

định chuẩn, toán tử tuyến tính

+ Giải tích ma trận

- Làm rõ giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu : kiến thức giải tích ma trận và hệ phương trình vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về hệ phương trình

vi phân tuyến tính thuần nhất, không thuần nhất, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, với hệ số tuần hoàn, các hệ khả quy

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về cơ bản về giải tích ma trân và hệ phương trình vi phân tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

Nghiên cứu các sách tham khảo, các tài liệu liên quan

Nghiên cứu lý luận tổng hơp đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận

CH¦¥NG 1 GI¶I TÝCH MA TRËN

1.1 Kh«ng gian vect¬

1.1.1 §Þnh nghÜa kh«ng gian vect¬

§Þnh nghÜa 1.1.1 Cho V lµ mét tËp kh¸c rçng mµ c¸c phÇn tö cña nã ta ký hiÖu lµ  

Các phần tử của K gọi là các vô hướng , các phần tử của V gọi là các vectơ

Phép cộng " " gọi là phép cộng vectơ, phép nhân "* " gọi là phép nhân vectơ với vô hướng

Khi K  thì V được gọi là không gian vectơ thực , khi K  thì V

được gọi là một không gian vectơ phức

1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1.1.2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.2 Cho K là không gian vectơ V

a) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1

,2

,……,

n

Định nghĩa 1.1.3 ( Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính )

Trong không gian vectơ V

a) Hệ vectơ (1

,2

,……,

n ) ( n *) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức  11

) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

Nói riêng, mỗi hệ vectơ chứa vectơ 0

đều phụ thuộc tuyến tính

Tính chất 6 Giả sử hệ vectơ (1

,2

,……,

n ) ( n *) được gọi là độc lập tuyến tính Lúc đó,hệ vetơ (1

1.1.3 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.4 Một hệ vectơ của V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Định nghĩa 1.1.5 Một hệ vectơ của V được gọi là cơ sở củaV nếu mọi vectơ củaV đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

Định nghĩa 1.1.6 Không gian vectơ V được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử

không gian vectơ vô hạn chiều

1.2 Ma trận ,định thức của ma trận và toán tử tuyến tính

Vectơ cột

ij 2

a

j1,n

được gọi là cột thứ j của ma trận

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ ,A B , … Ma trận (1.1) có thể được

ký hiệu đơn giản bởi A= (a )ij m n Ta cũng nói A là ma trận có m dòng, n

Phần tử trung lập của phép cộng trong Mat m n K  ,  là ma trận

 =

0 0 0

0 0 0

a b i 1, ,m k 1,p

và kí hiệu là C A B

Mệnh đề 1.2.2 Với mọi ma trận , ,A B C và với K , các đẳng thức sau là

đúng theo nghĩa: nếu một vế được xác định vế kia cũng vậy và hai vế bằng nhau:

Mệnh đề 1.2.3 Tập hợp Mat m n K  ,  các ma trận vuông cấp n cùng với

hai phép toán cộng và nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị Vành này không giao hoán khi n 1

Phần tử đơn vị của vành Mat m n K  ,  là ma trận

1 0 0

0 1 0

Định nghĩa 1.2.5 Cho hai ma trận vuông A và A’ cùng thuộc

Ta gọi mỗi song ánh từ tập 1, 2 , n lên chính nó là một phép thế bậc n 

Tập hợp tất cả các phép thế bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập thành một

nhóm kí hiệu là S n Ta gọi nhóm này là nhóm đối xứng bậc n Nó có n!

Định nghĩa 1.2.8 ( Dấu của phép thế )

Với n 1 , ta gọi cặp số   i j,  1, 2, ,n là một nghich thế của phép thế 

nếu  ( )i   ( )j trái dấu với i j , nghĩa là ( )i ( )j 0

  



Ta b¶o phÐp thÕ  lµ phÐp thÕ ch½n hay lÎ tïy theo sè nghÞch thÕ cña nã lµ ch½n hay lÎ

Ta gäi lµ dÊu cña phÐp nghÞch thÕ , mét sè, kÝ hiÖu lµ sgn( )  cho bëi

1

nÕu lµ phÐp thÕ ch n sng

Định nghĩa 1.2.10 ( Định thức con và phần bù đại số )

Cho A =(aij)Mat m n K  ,  Nếu chọn k dòng và k cột của A (1 kn)

thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao

của k dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A

Định thức M của ma trận vuông cấp n-k nhận được sau khi xóa đi k dòng

và k cột đó được gọi là định thức con bù của định thức con M

Nếu k dòng đã chọn là i1 , , i k và k cột đã chọn là j1, ,j k thì ta gọi

 1 1  '

k

q q q

là phần bù đại số của định thức con M

Định lý 1.2.2 ChoA =(aij)Mat m n K  ,  Gọi Aij là phần bù đại số của

Công thức (1.2) gọi là công thức khai triển detA theo dòng i Công thức

(1.3) gọi là công thức khai triển detA theo cột j

Định lý 1.2.3 ( Định lý Laplace )

Cho A( )aij n n Giả sử trong A đã chọn ra k dòng (cột) cố định với

1k  n 1 Gọi M M1, 2, ,M r là tất cả các định thức con cấp k thiết lập được

Định nghĩa 1.2.11 ( Định nghĩa toán tử tuyến tính)

Cho hai không gian tuyến tínhX và Y trên trường P ( P ,P ) ánh xạ A từ không gian X vào không Y gian gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A

thỏa mãn các điều kiện :

1) (x x, 'X ) ( A xx') AxAx '

2)  x X  P A x  Ax

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử chỉ thỏa

mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y  P thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.12 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính

A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C

sao cho Ax C x , x X (*)

Định nghĩa 1.2.13 Cho X là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian

định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C >0 nhỏ nhất thỏa mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A

1.2.4 Định lý cơ bản trong lý thuyết ma trận

Giả sử cho f là một phép biến đổi tuyến tính của không gian n chiều R n

trên trường vào chính nó

:f R n R n

Lấy hh h1, 2, ,h là một cơ sở của không gian n R n

x h là một vectơ tùy ý thuộc R thì ta có n

( tức là các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng i và kề trên đều bằng

1, các phần tử khác đều bằng 0 Cấp của ma trận này ta kí hiệu là n i)

Dạng trên đây được gọi là dạng chính tắc Joocđăng ( Jordan) của ma trận A

♦ Chú ý

1 Với bất kỳ ma trận vuông B nào cũng tồn tại ma trận vuông S

không suy biến sao cho SBS1 A trong đó A là ma trận dạng

chính tắc Jordan

2 Ma trận A đồng dạng với ma trận J dạng

0 1

q

(i1, 2, , )s ở đây j(j1, 2, ,qs là các số riêng của ma trận A không )nhất thiết phải khác nhau

Nếu j(j1, 2, ,qs là các số riêng đơn thì chỉ gặp nó trong ) J0

Đặc biệt, nếu các j(j1, 2, , )n khác nhau thì ma trận A đồng dạng với

ma trận chéo

0

1 0

Trong đó J i là ma trận vuông cấp r i và

1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến

tính định chuẩn ) mọi không gian tuyến tính X trên trường P ( P ,P )

cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực , kí hiệu . ( đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau :

1)  x X x 0, x 0 x ( kí hiệu phần tử không là ) 2)  x X  P x   x

Định lý 1.3.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ bất kỳ x, y

ta đặt

( , ) d x y d x y = ( , ) x y

Khi đó d là một metric trên X

1.3.2 Không gian định chuẩn của ma trận vuông cấp n

Định nghĩa ( Không gian định chuẩn các ma trận vuông cấp n)

Định nghĩa 1.3.2 ( Chuẩn của ma trận A)

Trong Mat n n K(  , )(K  ,K  ) Ta xác định chuẩn của ma trận

+ Kiểm tra các tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.3.3 ( Không gian định chuẩn các ma trận vuông cấp n)

Không gian tuyến tính các ma trận vuông cấp n cùng với chuẩn xác định bởi công thức (1.4) gọi là không gian định chuẩn các ma trận vuông cấp n

Kí hiệu Mat n n K (  , )

1.3.3 C¸c tÝnh chÊt vÒ chuÈn cña ma trËnA

Nếu ta định nghĩa ( , ) d A B AB với mọi A B, thuộc Mat n n K thì (  , )

dlà một metric trong không gian Mat n n K (  , )

1.3.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

1.3.4.1 Sự hội tụ của một dãy điểm

Định ý 1.3.2 Dãy điểm  x n của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới

điểm x X , nếu lim 0

 n  

n x x Kí hiệu lim

 n 

n x x hay x n x n(  ) 1.3.4.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.4 Cho không gian định chuẩn X và  x  X Ta gọi chuỗi

x Mỗi phần tử x n gọi là số hạng thức n của

Nếu tồn tại lim

1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩnMat n n K (  , )

1.4.1 Sự hội tụ của dãy ma trận

Định nghĩa 1.4.1 ( Sự hội tụ của dãy ma trận)

Dãy ma trận A m được gọi là hội tụ nếu với mọi số dương  nhỏ tùy ý, tồn tại số N   sao chop q,   thì

A q A p 

Định nghĩa 1.4.2 ( Giới hạn của dãy ma trận)

Cho dãy ma trận  A m Mat n n K Ta nói dãy ma trận có giới hạn là (  , )

Dãy  A m hội tụ khi và chỉ khi mỗi dãy các phần tử của nó hội tụ

m m

Vậy mỗi dãy các phần tử của  A m hội tụ

Suy ra dãy  A m hội tụ trong và chỉ trong trường hợp dãy đó có ma trận giới hạn

1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn Mat n n K(  , )

Định nghĩa 1.4.3 ( Chuỗi trong không gian định chuẩn Mat n n K ) (  , )Trong không gian định chuẩn Mat n n K(  , )và dãy các ma trận

 A m Mat n n K Ta gọi là chuỗi các ma trận trong (  , ) Mat n n K biểu (  , )thức có dạng

A được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng

riêng  S k của chuỗi đó hội tụ, tức là tồn tại lim

A E

A E

m là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.7)

Khi đó p q,   ( Giả sử pq ) ta có

m m

A A

S S (**)

A S

m là tổng riêng thứ k của chuỗi 1 !

A A

♦ Chú ý

Đối với ma trận nói chung đẳng thức :e A B e e không đúng A B

Mà e A B e e khi và chỉ khi A B A và B giao hoán

Thật vậy

Ta có

Nếu AB BA thì các chuỗi đó trùng nhau

+ Mỗi ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng det(EA)0

Điều này rất thuận lợi khi tính e A

B b m

A A

E e

1.6.1 Định nghĩa ( Ma trận logarit của ma trận B)

Mệnh đề 1.6.1 Giả sử Blà một ma trận không suy biến, khi đó tồn tại ma trận A sao cho e A B

J

Thì rõ ràng có thể biểu diễn A dưới dạng

0 1

Khi đó

Do đó

Pe P M 1e PMP1 (***)

Theo kết quả vừa chứng minh thì mọi ma trận có dạng chính tắc Jordan J

đều tồn tại ma trận A sao cho J e A

áp dụng đẳng thức (***) ta có

BPJP1 Pe P A 1 e PAP1 e , với A A PAP  1

Vậy ta đã chứng minh được nếu B là ma trận không suy biến thì bao giờ cũng tìm được một ma trận A sao cho e A B

Định nghĩa 1.6.1 Cho B là một ma trận không suy biến, khi đó tồn tại một

ma trận A sao cho e A B Và ma trận A khi đó được gọi là logarit của ma trận B