Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính

Với mong muốn là hiểu hơn về lý thuyết phương trình vi phân nói chung và lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính nói riêng và để tiếp cận vấn đề này, được sự hướng dẫn nhiệt tình củ

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng sự giúp đỡ của các thầy cô giáo

và các bạn sinh viên đến nay khóa luận đã được hoàn thành

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thạc Sỹ Phùng Đức Thắng đã hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và

hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho

em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin

chân thành cám ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải tích, sư động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong quá

trình học tập và hoàn thành khóa luận

Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và kiến thức của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sói

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên

để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cẩm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em

Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các

nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình

nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Tuyết

1.2.2 Dinh thức ma trận -<-<<<ssssssseseeeseeexeee LÍ

1.2.3 Toán tử tuyến tính -. - SH SY ng rey 13

1.3 Không gian định chuẩn -cS SE shhk He se 16 1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn 16

1.3.2 Không gian định chuẩn của các ma trận vuông cấp n 17

1.3.3 Các tính chất về chuẩn của ma trận A_ -cc-ccsSs 19 1.3.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn - - coe 20

1.3.4.1 Sự hội tụ của một đấy điểm -ccSSss cinsrsrerrerrsscee 20 1.3.4.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn -. cc-cc-ccccs- 20 1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Ä⁄zf(w*n,K) - s- 21 1.4.1 Sự hội tụ của dấy ma trận .- cà nà he khe, 21

1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn Mz(ø*n,K) 22 1.5 Ma trận mũ .-. SH SH nh nh ch nen vế 23

1.5.1 Định nghĩa ma trận mũ .-.-. << << <<<<c<<<<xeees 23

1.5.2 Một số tính chất ma trận mũ -ccc<c<c<<++ss++ 28

IS /L-8¡v): 8v 3;::ìì* H ÍÍiiaaaiiiiii 30

Chương 2 : Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương

trình vi phân tuyến (ính - - Sàn ksereirssrrereeeske 34

2.1 Lý thuyết tổng quát về hệ phương trình vi phân tuyến tính 34

2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

2.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 37 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 4Ö 2.2.1 Cấu trúc của ma trận cơ bản . « -.-« -e-e-e.- 40

2.2.2 Công thức biến thiên hằng sỐ - ccScccccscsscsseersse re 42

2.2.3 Công thức biến thiên hằng số

2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn 45 2.3.1 Định nghĩa .- -. - SH như 45 2.3.2 Ma trận cơ bản -.- nn SE» ng kh kế 46 2.3.3 Cấu trúc nghiệm của hệ tuần hoàn - - -c + ScS+S+ccsss* 48 2.4 Các hệ khả quy - SH KT hy 2.4.1 Ma trận Liapunop

2.4.2 Cấu trúc nghiệm của hệ khả quy . -.-cc+c<cccs+ cà 51

Tài liệu tham khảo - c2 33213 khinh, 54

sử dụng ma trận ma trận mũ để trình bày lý thuyết hệ phương trình vi phan

tuyến tính cho ta những công thức biểu diễn nghiệm của hệ, những kết quả rất gọn, rất đẹp

Với mong muốn là hiểu hơn về lý thuyết phương trình vi phân nói chung và

lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính nói riêng và để tiếp cận vấn đề này, được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phùng Đúc Thắng em đã chọn

đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu các kiến thức về :

+ Không gian vectơ, ma trận và định thức của ma trận, không gian

định chuẩn, toán tử tuyến tính

+ Giải tích ma trận

- Làm rõ giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu : kiến thức giải tích ma trận và hệ phương trình vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về hệ phương trình

vi phân tuyến tính thuần nhất, không thuần nhất, hệ phương trình vi phân

tuyến tính với hệ số hằng, với hệ số tuần hoàn, các hệ khả quy

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về cơ bản về giải tích ma trân và hệ phương trình vi phân tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

Nghiên cứu các sách tham khảo, các tài liệu liên quan

Nghiên cứu lý luận tổng hợp đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận

CHUONG 1 GIAI TICH MA TRAN 1.1 Khong gian vecto

1.1.1 Dinh nghia khong gian vecto

Dinh nghĩa 1.1.1 Cho V lă một tập khâc rỗng mă câc phần tử của nó ta ký

hiệu lă z,,7 vă K lă một trường Giả sử V được trang bị hai phĩp toân

(A+ u)a=Aa+ ya, Vu,2eK

đ+8)= Ôø +ĐÖ, VĂ eK,Vơ, ÖeV

uz)=(Đ.u)ø., VÊ.ue K,Vø eV

Khi đó V cùng với hai phĩp toân đê cho được gọi lă một không gian vectơ trín trường K hay K không gian vecto ( gọi tắt lă không gian vecto)

Các phần tử của K gọi là các vô hướng, các phần tử của V gọi là các vecto

Phép cộng "+" gọi là phép cộng vectơ, phép nhan "*" gọi là phép nhân vectơ với vô hướng

Khi K=_ thì V được gọi là không gian vectơ thực, kh K= thì V

được gọi là một không gian vectơ phức

1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1.1.2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.2 Cho K là không gian vectơ V

a) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ_ø,,đ, ,ư, e V là một biểu thức dạng: YAai=A,a, +a, + +4,@, trong đó „&.Ä Â, <K

ml

b) Véi moi V a eV, néu a@=/,0,+4,0,+ +/4,a,, thitandi vecto a

được biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ (a, 1, "¬ a, ) và đẳng thức ởđ=Â,0 +„ở, + +Â,œ„ được gọi là một biểu thị tuyến tính của qua các vecto a, ,đ, yr nhàn ,Ø

Định nghĩa 1.1.3 ( Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính )

Trong không gian vectơ V

a) Hệ vectơ (a, ,đ, "¬- ,đ,) (ne *) được gọi là độc lập tuyến tính

nếu hệ thức ¡ø, +„ø, + +Â,œ, =0 chi xdy ra khi

A, =A, = =4, =0

b) Hệ vectơ (ø,,ø,„ ,ứ, ) (w < _ *) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính

1.1.2.2 Một số tính chất

Tính chất 1 Hệ vectơ (a, vỐ, » „,)(ne_ *) được gọi là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi các vô hướng 2,,2,,4,, 4 không đồng thời bằng

0 sao cho

Ad, +A,0, + +4,a,, =0

Tính chất 2 Hệ gồm mot vecto (a) phu thu6c tuyén tinh khi va chi khi a=0

Tính chất 3 Với n >I, hệ vectơ (z,,đ, ,đ„)(n< *, n>1) duge goi

là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó của hệ biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ

Tính chất 4 Mỗi hệ vectơ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là một hệ vectơ độc lập tuyến tính

Tính chất 5 Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính cũng là một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Nói riêng, mỗi hệ vectơ chứa vectơ 0_ đều phụ thuộc tuyến tính

Tính chất 6 Giả sử hệ vectơ (ø,,ø, ,#„ ) (me *) được gọi là độc lập tuyến tính Lúc đó,hệ vetơ (a, 1, "¬ › a, „/ ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ 8 biểu thị tuyến tính qua hệ (a, 1, ¬ a, ) Trong trường hợp đó, biểu thị tuyến tính là duy nhất

1.1.3 Cơ sở và số chiêu của không gian vecto

Định nghĩa 1.1.4 Một hệ vectơ của V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V_ đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Định nghĩa 1.1.5 Một hệ vectơ của V được gọi là cơ sở củaV nếu mọi vectơ củaV đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

Định nghĩa 1.1.6 Không gian vectơ V_ được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử

Định nghĩa 1.1.7

a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh V z {0} được gọi là số chiều của V trên trườngK_ và kí hiệu là dimV hay rõ hơn

dim, V

Néu V ={0} ta quy ước dimV =0

b) Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều

1.2 Ma trận ,định thức của ma trận và toán tử tuyến tinh

'Vectơ cột

được gọi là cột thứ j của ma trận

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A,B, Ma trận (1.1) có thể được

ký hiệu đơn giản bởi A= (2;)„„„ Ta cũng nói A là ma trận có zø dong, n

dị=Â.d; (¡=1 m, j=1, n)

và kí hiệu là D=AA

Như vậy A + B=(a, +b,) „4= (À4) „ụ -

Mệnh đề 1.2.1 Tập hợp Mz/(m *n,K) với với phép cộng hai ma trận và

phép nhân một ma trận với một vô hướng lập thành không gian vectơ trên

trường K có số chiều là dim Mat(m * 1K) =m*n

Phần tử trung lập của phép cong trong Mat(m* n,K) 1a ma tran

(AB)C = A(BC); C(A+ B)=CA+CB

(A+B)C=AC+BC; A(AB)= A(AB)

Mệnh đề 1.2.3 Tập hợp Mat(m * n,K) các ma trận vuông cấp z cùng với

hai phép toán cộng và nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị Vành này

không giao hoán khi ø >1

Phần tử đơn vị của vành Mat(m *n,K ) là ma trận

0 01 0

E, =

0001

Ta goi E, 14 ma tran don vi cap n

Định nghĩa 1.2.4 Ta gọi ma trận vuông Á e Mat(m *n,K ) là một ma trận

khả nghịch( hay là một ma trận không suy biến ) nếu có ma trận vuông

Be Mat(m * n,K) sao cho 4.B = B.A=E,.Khid6 B duoc goi la ma tran nghịch đảo của ma trận 4 và kí hiệu là = 4" Nếu 4 là ma trận khả

nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất

Định nghĩa 1.2.5 Cho hai ma trận vuông 4 và 4” cùng thuộc

Mat(m*n,K) Ta bao hai ma trận 4 và 4” đồng dạng nếu có một ma trận

kha nghich Ce Mat(m*n,K) sao cho 4’=C'AC

Dễ thấy rằng quan hệ đồng dạng trong Mat(m *nK ) 1a quan hé tuong duong

Dinh nghia 1.2.6 Cho

Với mọi ở e ở, ta thường viết

Hl) 2) än)

Định nghĩa 1.2.8 ( Dấu của phép thế)

Với ø >1, ta gọi cặp số {¡, 7} < {1,2, ,n} là một nghịch thế của phép thế ở

5-8) 9

nếu d(i)-6(j) trai d&u véi i- 7 , nghĩa là —~—

1T

Ta bảo phép thế ö là phép thế chắn hay lẻ tùy theo số nghịch thế của nó là chắn hay lẻ

Ta gọi là dấu của phép nghịch thế ở, một số, kí hiệu là søn(ö) cho bởi

1 nếu là phép thế chan sng(ở) =

Cho 4=(ø,)„.„ Ta gọi là định thức của ma trận 4 một phần tử thuộc

trường K, kí hiệu là det 4, cho bởi

det A= > sng():4sunụ 5029+ A5(n)n

5e5, Khi đó det 4 cing dugc goi 14 mot định thức cấp ø và nó còn được kí hiệu là

Định nghĩa 1.2.10 ( Định thức con và phần bù đại số)

Cho 4 =(a,)¢ Mat(m*n,K).Néu chọn k dòng và k cot cla A (1<k<n)

thi định thức #⁄ của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k dòng và & cột này được gọi là một định thức con cấp & của ma trận A Định thức w' của ma trận vuông cấp z-k nhận được sau khi xóa đi k dòng

và k cột đó được gọi là định thức con bù của định thức con ⁄⁄

Nếu # dòng đã chọn là ¡,, ,/, và # cột đã chọn là 7,„ /, thì ta gọi

(ĐỀ 2)

là phần bù đại số của định thức con 4

Định lý 1.2.2 Cho 4 =(z,)e Ma(m *n,K) Gọi 4, là phần bù đại số của

Cho 4=(ø,)„„„ Giả sử trong A đã chọn ra & dòng (cột) cố định với

1<k<n—1 Gọi M,,M,, M, là tất cả các định thức con cấp & thiết lập được

từ k dòng (cột) và 4, 4, 4 là phần bù đại số tương ứng của chúng thì ta có

det 4=M,4,+ M,A,

Định ly 1.2.4 Gia su 4, B e Mat(n*n,K) Khi do:

Định nghĩa 1.2.11 ( Định nghĩa toán tử tuyến tính)

Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P(P= ,P=_ ).Ánh

xạ A từ không gian X vào không Y gian gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện :

1) (Vx,x'eX) A(x+x)= Ax+ Ax'

2) (Vxe X)(VaeP)Aax=aAx

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.12 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính

A từ không gian X vào không gian Y gọi là bi chặn, nếu tồn tại hằng số C

Định nghĩa 1.2.13 Cho X là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian

định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C_>0 nhỏ nhất thỏa

mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là ||4||

1.2.4 Định lý cơ bản trong lý thuyết ma trận

Giả sử cho ƒ là một phép biến đổi tuyến tính của không gian nø chiều R”

trên trường vào chính nó

f:R" > R"

Lấy h={hị,h, h,} là một cơ sở của không gian R”

Khi đó f(A) => 4; (k =1,2, ,2) ta goi ma tran A=(a,,) 1a ma tran

j=l

của phép biến đổi ƒ ( đối v6i co sé đã cho)

Như vậy z„ e(ƒ(,)) j

Nếu x= Ð_é,j, là một vectơ tùy ý thuộc R” thi ta c6

0 1

0 A ( tức là các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 2, và kể trên đều bằng

1, các phần tử khác đều bằng 0 Cấp của ma trận này ta kí hiệu là ø,)

Dạng trên đây được gọi là dạng chính tắc Joocđăng ( Jordan) của ma trận A

Nếu 4,(7 = L,2, ,g + s) là các số riêng đơn thì chỉ gặp nó trong J,

Đặc biệt, nếu các 1,(j =1,2, ,2) khác nhau thi ma trận A đồng dạng với

1.3 Không gian định chuẩn

1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn ) mọi không gian tuyến tính X trên trườngP(P= ,P= ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực _., kí hiệu || ( đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau :

1) (vxe X)||x||> 0, xÌ|=0 ©x=Ø ( kí hiệu phần tử không là Ø)

2) (vxe X)(Yø e P)|ex|=|a||l -

Định lý 1.3.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vecto bat ky x, y

ta đặt

d(x,y) = d(x, y) = |x~ 3Ì

Khi đó d là một metric trên X

1.3.2 Không gian định chuẩn của ma trận vuông cấp ø

Định nghĩa ( Không gian định chuẩn các ma trận vuông cấp n)

Định nghĩa 1.3.2 ( Chuẩn của ma trận A)

Trong Ä⁄4f(n*n,K)(K =_ ,K=_ ) Ta xác định chuẩn của ma trận

4=(4,)„„ € Maf(n *n,K) bởi công thức

Với mọi ma trận 4= (a,) e Mat(n * n,K) thì la, € (é=l1,n,j=1,n)

Suy ra y la, € hay||4l= Ya, c Vậy ánh xạ l được hoàn toàn xác

i,j=l i,j=l

định

+ Kiểm tra các tiên đề chuẩn

Tiên đề 1 ( V4 ceMai(n * n,K)

* [A= diJa)|20 i,j=l

*|Al-0e Dla ijl ij|

o Ja,|=0(vi=1n,7=1n)

© a,=0(Vi=Ln,j=Ln)

© A=6 (@, : phan ti khong cua Mat(n*n,K))

Tién dé 2.( VAe Mat(n*n,K), VaeK

\aa|= > aa,|= > alla = øIŠ-ls|=lsilal ij=l ijl ¡=1

Tiên đề 3 ( V4A,B ceMait(n *n,K),A =(a,),B= (b;))

a; ;+bị|<) `›(la,|+ il) = Dolal+ Do |= Ll + |

x= i,j=l i,j=l i,j=l

Ki hiéu Mat(n *n,K)

Dat C= AB=(c) , Trong đó c, = Lav „ (i=1 = k=1n)

lcl= XI led ik=l > a,b ik

Vậy

n n

Dax,

I+l=$|Šs»|<$Š i=l | j= i=l j= = x

Vậy ta có

I4x|<|4ll|xl

® Nhận xét

Nếu ta định nghĩa đ(4, 8) =||4— BỈ| với mọi 4,8 thudc Mat(n*n,K) thi

d 1a mot metric trong khong gian Mat(n*n,K)

1.3.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

1.3.4.1 Sự hội tụ của một dãy điểm

Định ý 1.3.2 Dãy điểm (x„) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới

điểm xe X, nếu Iim|lx,— x||=0 Kí hiệu limx,=x hay x, —> xŒi => ») 1.3.4.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.4 Cho không gian định chuẩn X và (x) oc X.Ta goi chudi

Nếu tồn tại limS, =,Š trong không gian định chuẩn X, thì chuỗi (1.5) gọi là

k-»œ

hội tụ và Š gọi là tổng của chuỗi này

Khi đó ta viết

Nếu chuỗi (1.5) hội tụ và có tổng là Š, thì biểu thức r, =S-S, goila téng

dư thứ k của chuỗi (1.5)

Chuỗi (1.5) gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi sau hội tụ

+ + lx||+ X; Xx, +

1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Mat(n *n,K)

1.4.1 Sự hội tụ của dãy ma trận

Định nghĩa 1.4.1 ( Sự hội tụ của dấy ma trận)

Dãy ma trận{4„} được gọi là hội tụ nếu với mọi số đương £ nhỏ tùy ý, tồn

tại số Me 'saochoVp,g> ' thì

|4, - 4, |< £

Định nghĩa 1.4.2 ( Giới hạn của dãy ma trận)

Cho dãy ma trận {4,„} C Ma/(n *n,K) Ta nói dấy ma trận có giới hạn là

ma trận 4 nếu ( WVe>0 ) (aN, € ‘) sao cho Vm = N, thif | A„—A|<e

Kí hiệu lim 4„ = 4 hay A„ —> 4 khi zm—>œ

mo

® Nhận xét

Dãy {4„} hội tụ khi và chỉ khi mỗi dãy các phần tử của nó hội tụ

Thật vậy

+ Nếu mỗi dãy các phần tử của {4,} hội tụ thì hiển nhiên dãy ma trận đó

hội tụ

+ Ngược lại, giả sử ta có lim 4„= 4= (a;)

Thé thi (Ve> 0)(3N, € ‘) sao cho Vm>N, dé |4, - Al<e

c© lim a” = 4; (vi = Ln)

Vậy mỗi day các phần tử của {4,} hoi tu

Suy ra dãy {4,} hội tụ trong và chỉ trong trường hợp dãy đó có ma trận giới

hạn

1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuẩn A⁄2/(n *n,K)

Định nghĩa 1.4.3 ( Chuỗi trong không gian định chuẩn Mat(n*n,K))

Trong không gian định chuẩn Mz/(n *n,K)và dãy các ma trận

14„} e Mat(n *n,K) Ta gọi là chuỗi các ma trận trong Mat(n*n,K)biéu

thức có dạng

mal + Phân tử 4„ được gọi là số hạng thứ m của chuỗi (1.6)

Trước hết ta khẳng định rằng định nghĩa trên là hoàn toàn hợp lý Bởi vì

chuỗi (1.7) hội tụ đối với mọi ma trận 4

"| I là tong riéng thir k của chuỗi sl

Vậy tổng vế phải (**) là hiệu các tổng riêng của chuỗi “Ì hội tụ tuyệt đối

với mọi ma trận hữu hạn 4

4 4” 4 A”

l,-sI-|Š 2 SI

+ Chú ý

Đối với ma trận nói chung đẳng thức :e `” =ef.e? không đúng

Mà e ” =e?e°khi và chỉ khi 4 và 8 giao hoán

Thật vậy

Ta có