Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn O, gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.. Chứng minh các
Trang 1Đề 3
Bài 1: Cho biểu thức:
( ) ( x )( y)
xy x
y x
y y
y
x
x P
− +
− + +
−
− +
=
1 1 1
) )
1 )(
(
a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P
b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua
điểm M(-1 ; -2)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm
A , B phân biệt
b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung
Bài 3: Giải hệ phơng trình :
= + +
= + +
= + +
27
1 1 1 1
9
zx yz xy
z y x
z y x
Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng
tròn (C≠ A;C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC Tia
BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N
a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân
b) Khi MB = MQ , tính BC theo R
Bài 5: Cho x,y,z∈R thỏa mãn :
z y x z y
1 1
1 1
Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
4
3 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)
Đáp án
Bài 1: a) Điều kiện để P xác định là :; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0
P
=
=
( )(1 )(1 )
=
=
Trang 2N
M
O
C
B A
(1 )
y
=
1
y
=
Vậy P = x + xy − y.
b) P = 2 ⇔ x + xy − y.= 2
1 1 1
= +
−
⇔
= +
− +
⇔
y x
y y
x
Ta có: 1 + y ≥ 1 ⇒ x− ≤ 1 1 ⇔ ≤ ≤ 0 x 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) Nên
ph-ơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x2 = mx + m – 2
⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
Vì phơng trình (*) có ∆ = m2 − 4m + 8 = (m − 2)2 + 4 > 0 ∀m nên phơng trình
(*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm
phân biệt A và B
b) A và B nằm về hai phía của trục tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m – 2
= 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2
Bài 3 :
( ) ( )
= + +
= + +
= + +
3 27
) 2 ( 1 1 1 1
1 9
xz yz xy
z y x
z y x
ĐKXĐ : x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0
2 2 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
z x
z x
Thay vào (1) => x = y = z = 3
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có
nghiệm duy nhất x = y = z = 3
Bài 4:
a) Xét ∆ABM và ∆NBM
Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :AMB = NMB = 90o
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
Trang 3nên ABM = MBN => BAM = BNM
=> ∆BAN cân đỉnh B
Tứ giác AMCB nội tiếp
=> BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB)
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM)
=> Tam giác MCN cân đỉnh M
b) Xét ∆ MCB và ∆ MNQ có :
MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
∠ BMC =∠ MNQ ( vì : ∠MCB = ∠MNC ; ∠MBC = ∠MQN )
=> ∆ MCB = ∆ MNQ (c.g.c). => BC = NQ
Xét tam giác vuông ABQ có AC⊥BQ ⇒AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 −1)R
Bài 5:
Từ :
z y x z y
1 1
1
1
=>1 1 1 1 = 0
+ +
− + +
z y x z y x
=> ( + + ) = 0
− + + +
+
z y x z
z z y x xy
y
x
( ) ( )
( )
( )( )( ) 0
0 )
(
0 1
1
2
= + +
+
⇒
=
+ +
+ + + +
⇒
=
+ + + +
⇒
x z z y
y
x
z y x xyz
xy z zy zx
y
x
z y x z xy
y
z
Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=
y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
Vậy M =
4
3 + (x + y) (y + z) (z + x).A =
4 3