đào đăng khiên Bộ đề luyện thi đại học năm 2010 đê số 2
(thời gian làm bài : 180 phút )
I – Phần chung cho tất cả các thí sinh Phần chung cho tất cả các thí sinh (7điểm)
Cõu I (2 điểm) Cho hàm số
1
2
x
x y
1)Khảo sát & vẽ đồ thị hàm số
2)Tìm m để đthẳng y = m(x – 3) cắt đths tại 2 điểm pb trong đó ít nhất một giao điểm với hành độ lớn hơn 1
Câu II (2điểm) 1) Giải hệ phương trỡnh:
2 2
2 2
12 12
x y x y
y x y
2) Giải phơng trình :
4 sin 2 sin 4
3
Câu III(1điểm)Tính tích phân: 4 tan
2 cos 1 cos 6
x
CâuIV:(1điểm) Lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là ABC vuông cân tại C với AB 2 (AA’B) (ABC),
AA , gúc A’AB nhọn và góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) &(ABC) bằng 600.Tớnh thể tớch khối trụ
Câu V:(1điểm) cho ba số thực x , y , z thỏa mãn :
5 2 2
0
x
z y x
Tìm GTLN của biểu thức:
M = x2 2xy y2 2yz z2 2zx
II – Phần riêng(3điểm) Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( phần I hoặc phần II)
I PhầnI.
CâuVI a (2điểm)
1)Viết pt đthẳng d qua M(2 ; 3) và cắt các tia Ox ; Oy lần lợt tại A , B sao cho SBOA đạt GTNN
2) Cho mặt phẳng (P): x 2y 2z 1 0 và cỏc đường thẳng 1 2
d d
Tỡm cỏc điểm M d , 1 N d 2 sao cho MN // (P) và cỏch (P) một khoảng bằng 2
Câu VIIa
Một lớp có 12 hs nam, trong đó có hs Thắng và 8 hs nữ, trong đó có hs Hà.Chọn ngẫu nhiên 5 hs.Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 5 hs đợc chọn có 3 nam, 2 nữ và 2 hs Thắng và Hà không đồng thời đợc chọn
II PhầnII.
Cõu VI.b (2 điểm)
1) Viết pt đthẳng d qua M(1 ; 1) và cắt các tia Ox ; Oy lần lợt tại A , B sao cho OA + OB nhỏ nhất
2) Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 3 = 0 và (Q): 2x – 6y + 3z – 4 = 0 Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm
nằm trờn đường thẳng : 3
x y z
đồng thời tiếp xỳc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)
Câu VIIb(1điểm)
Ba ngời cùng bắn vào một mục tiêu.Xác suất bắn trúng của từng ngời là 0,7; 0,8 và 0,9 Tìm xác suất của các biến
cố sau a/Chỉ có một ngời bắn trúng mục tiêu
b/Có ít nhất một ngời bắn trúng mục tiêu
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Tìm m để đờng thẳng y = m(x – 3) cắt đồ thị hàm số
1
2
x
x
y tại hai điểm phân biệt trong
đó có ít nhất một giao điểm với hành độ lớn hơn 1
1
x
Trang 2để cắt tại hai điểm pb
0 ) 3 2 ( 4 ) 1 2 (
0
m
m
16mm2 – 4m + 1 > 0 m R \ 0 (1)
* Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của pt đã cho xét bài toán x1 < x2 1
2
0 ) 1 )(
1 (
2 1
2 1
x x
x x
0 1 ) (
2
2 1 2 1
2 1
x x x x
x x
0 1
0 4 1
m m
m
m (2)
* Từ (1) & (2) để thỏa mãn yêu cầu bài toán R \ 0
0,5
0,5
CâuII
1) Giải hệ phương trỡnh:
2 2
2 2
12 12
x y x y
y x y
(1) y + x2 y2 12 x => x2 + 2y x2 y2 144 24xx2 (bình phơng hai vế)
Thế (2) vào ta có : x2 + 24 = 144 – 24x + x2 x = 5
Với x = 5 thì (1) 25 y2 = 7 – y
0 12 7
7
y
y
y = 3 hoặc y = 4
Thử lại thấy hpt ban đầu có hai nghiệm phân biệt (5 ; 3) & (5 ; 4).
1,0
4 sin 2 sin 4
3
pt sin3x – cos3x = sin2x.(sinx + cosx)
2(sin3x – cos3x) = cosx – cos3x + sin3x – sinx
4
sin 4 3
2 4
1,0
Câu
2 cos 1 cos
6
x
4
cos
1 cos
tan
dx x x
x
=
4
6
2
cos tan
dx x x
x
đặt t = 2 tan 2x => I =
3
7 3
3
3
7
dt
1.0
CâuV
Ta có : 2x – 1 + 2y + 2z x2 + 2y + 2z = 5 hay gt 0 x + y + z 3
áp dụng Bunhi a ta có :
.
1
( x xy y yz z zx (12 + 12 + 12)( x2 + 2xy + y2 + 2yz + z2 + 2xz)
M 3xyz 3 3 Vậy MaxM = 3 3 khi x = y = z = 1 đpcm.
1,0
CâuIV
A’ B’ Kẻ AH AB => AH (ABC) giả sử AH = h
Kẻ HM AC => HM // BC & HM = AM
khi đó g((A’AC) ; (ABC)) = A’MH = 6m00
h C’ Từ đó HM = MA =
3
h
& A’M = 2
3
h
Ta có AC (MA’H) nên theo pitago ta có:
A H B AM2 + MA’2 = AA’2 => h =
5 3
M C Vậy VTRU =
5 2 3
1,0
1)Viết pt đt d qua M(2 ; 3) và cắt các tia Ox ; Oy lần lợt tại A , B sao cho SBOA đạt GTNN.
Trang 3VI
a
giả sử d cắt Ox tại A(a ; 0) & cắt Oy tại B(0 ; b) với a > 0 & b > 0
ptđt d : 1
b
y a
x
mà d qua M(2 ; 3) nên : 23 1
b
a mặt khác SBOA = 2
ba
áp dụng BĐT côsi ta có:
ba b
a
6 2 3 2
2
ba
12
Vậy SBOA đạt GTNN
2
1 3 2
b
a a = 4 ; b = 6m => pt d : 3x + 2y – 12 = 0.
1,0
2) Cho mp (P): x 2y 2z 1 0 và cỏc đường thẳng 1: 1 3 ; 2: 5 5
Tỡm cỏc điểm M d , 1 N d 2 sao cho MN // (P) và cỏch (P) một khoảng bằng 2.
Ptts d1 là:
1 2
3 3 2
M thuộc d1 nờn M 1 2 ;3 3 ; 2 t t t Mà d(M ; (P)) = 2 nên
|1 2 2 3 3 4 1| |12 6 |
3
d M P t t t
+ Với t1 = 1 ta được M13;0; 2; + Với t2 = 0 ta được M21;3;0
+ Ứng với M1, điểm N1 d2 cần tỡm là giao của d2 với mp (Q1)qua M1 và // mp (P), g PT (Q1) là:
x 3 2y2z 2 0 x 2y2z 7 0 (1)
Ptts d2 là:
5 6 4
5 5
y t
(2)Thay (2) vào (1): -12t – 12 = 0 t = -1 Điểm N1 cần tỡm là N1(-1;-4;0)
+ Ứng với M2, tương tự tỡm được N2(5;0;-5)
1,0
Câu
VIIa
+ Số cách chọn 3 nam & 2 nữ là : C3 12.C 2
+ Số cách chọn 3 nam & 2 nữ đồng thời có cả Thắng & Hà là : C2 11.C 1
+ Vậy số cách chọn thở mãn yêu cầu đề bài là : C3 12.C 2 - C2 11.C 1 = 5775 cách
1,0
Câu
VIIb 1) Xác suất để chỉ có một ngời bắn trúng mục tiêu là : 2) Xác suất để có ít nhất một ngời bắn trúng mục tiê là : 1 – 0,3.0,2.0,1 = 0,994.0,7.0,2.0,1 + 0,3.0,8.0,1 + 0,3.0,2.0,9 = 0,092. 1,0
Câu
VI
b
1)Viết ptđt d qua M(4 ;1) và cắt các tia Ox ; Oy lần lợt tại A , B mà OA + OB đạt GTNN.
giả sử d cắt Ox tại A(a ; 0) & cắt Oy tại B(0 ; b) với a > 0 & b > 0
ptđt d : 1
b
y a
x
mà d qua M(3 ; 1 ) nên : 4 1 1
b
a mặt khác : OA + OB = a + b
Theo bunhia ta có : (a + b)
b a
1 4
9 hay a + b 9 vậy OA + OB đạt Min a = 6m ; b = 3
vậy ptđt d : x + 2y – 6 = 0
1,0
2) Cho (P): 2x – y – 2z + 3 = 0 và (Q): 2x – 6y + 3z – 4 = 0 Viết phương trỡnh mặt cầu (S)
cú tõm nằm trờn : 3
1 1 2
đồng thời tiếp xỳc với cả hai mphẳng (P) và (Q).
Gọi I( t ; - 3 – t ; 2t) thuộc là tâm mặt cầu Do mcầu txúc cả (P) & (Q) nên
d(I;(P)) = d(I;(Q)) = R
7
14 14 3
= R t = 0 & R = 2 hoặc t = -
5
12
& R =
5