Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách giữa hai đờng thẳng AC & BB’.. Xỏc định toạ độ cỏc điểm B và C , biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 18.. Trong cỏc đường thẳng qua A và s
Trang 1Bộ đề luyện thi đại học năm 2010
(thời gian làm bài : 180 phút )
I Phần chung cho tất cả các thí sinh– (7điểm)
Cõu I (2 điểm) Cho hàm số y x= 4+2mx2− −m 1 (1) , với m là tham số thực.
1)Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= −1
2)Tìm m để hàm số (1) có CĐ , CT & cỏc điểm cực trị của đồ thị tạo thành tam giỏc cú diện tớch bằng 4 2
Câu II (2điểm)
1) Giải phương trỡnh sau : 2 1
x
2.Giải phương trỡnh: sin 3 x + 3 cos x cos x 3 + 2 − 3 sin 2 x = sin x + 3 cosx
Câu III(1điểm)Tính tích phân: I = dx
x x
x
∫2 − +
0
3 ) 3 cos (sin
2 cos
π
CâuIV:(1điểm) Lăng trụ ABC.A'B'C' cú đỏy là ∆ABC đều cạnh a, hỡnh chiếu vuụng gúc của A' lờn (ABC) là tõm O của ∆ ABC Mặt phẳng (P) chứa BC và (P) ⊥ AA', cắt lăng trụ ABC.A'B'C' theo một thiết diện cú diện tớch bằng
8
3a2
Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách giữa hai đờng thẳng AC & BB’
Câu V:(1điểm) Cho x , y , z là ba số dơng thỏa mãn : x + y + z
2
3
≤ Tìm GTNN của biểu thức :
M =
z y x z y
x+ + +1 + 1 +1
II – Phần riêng(3điểm)Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( phần I hoặc phần II)
I PhầnI.
CâuVI a(2điểm)
1) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB nằm trên đờng thẳng d : x – y + 8 = 0còn hai đỉnh C , D nằm trên
parabol(P) : y = x2.Tính diện tích hình vuông
2)Cho tứ diện ABCD với A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, B
sao cho khoảng cỏch từ C đến (P) bằng khoảng cỏch từ D đến (P)
Câu VIIa.Tìm số nguyên dơng n sao cho :
2009
2 ).
1 2 ( 2
2
2 4
2 3 2
.
1 2 2 2
1 2 1 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
− +
+ +
n n
n
n n
n n
C
II PhầnII.
Cõu VI.b (2 điểm)
1) Cho tam giỏc ABC cõn tại A (-1;4) và cỏc đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 Xỏc định toạ độ cỏc điểm B và C , biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 18
2) Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong cỏc đường thẳng qua A và song song với (P), hóy viết phương trỡnh đường thẳng mà khoảng cỏch từ B đến đường thẳng đú là nhỏ nhất
Câu VIIb(1điểm)
Xột một số gồm 9 chữ số, trong đú cú 5 chữ số 1 và 4 chữ số cũn lại là : 2, 3, 4, 5 Hỏi cú bao nhiờu số như thế, nếu: a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau ? b) Cỏc chữ số được sắp xếp tựy ý ?
Họ và tên : ……….Số báo danh………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Xỏc định m để hàm số y x= 4+2mx2− −m 1 cú ba điểm cực trị, đồng thời cỏc điểm cực trị
của đồ thị tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 4 2
* y’ = 4x(x2 + m) => hsố có CĐ , CT y’ = 0 có hai nghiệm pb m < 0 0,25
Trang 2I * y’ = 0 x = 0 & x = ± −m
=> hsố cso ba điểm ctrị : A(0 ; - m – 1) ; B( −m ; - m2 – m – 1) & C( - −m ;- m2 – m
– 1)
0,25
* tam giác ABC cân tại A với BC = 2 −m ; đcao AH = m2 => S∆ABC = m 2 −m 0,25
Câu
II
Giải phương trỡnh sau : 2 1
x
Điều kiện: − ≤ <1 x 0 ∪ [1 ; + ∞) Chia cả hai vế cho x ta nhận được: 1 1
t x
x
= − , ta có pt t2 + 2t – 3 = 0 t = - 3 ( loại) & t = 1.với t = 1 x =
2
5
Giải phương trỡnh: sin 3 x + 3 cos x cos x 3 + 2 − 3 sin 2 x = sin x + 3 cosx
pt (sin3x – sinx) + cos2x + 3 (cos3x – cosx) - 3 sin2x = 0
cos2x(2 sinx + 1) - 3 sin2x(1 +2 sinx) = 0
(2sinx + 1)(cos2x - 3 sin2x) = 0
=
−
−
=
0 2 6 sin
6 sin sin
x
x
π
π
+
=
+
=
+
−
=
π π π π
π π
k x
k x
k x
12
2 6 7
2
Câu
III
đặt t = sinx – cosx + 3 => dt = (sinx + cosx)dx x =
2
π => t = 4 ; x = 0 => t = 2.
x x
x
∫2 − +
0
3
) 3 cos (sin
2 cos
π
x x
x x x x
∫20 (sin− −cos +3+) 3
) sin )(cos sin (cos π
khi đó : I =
32
1 2
4 1 2
3 3
2 4
2
=
−
∫ dt t t t
t
1.0
CâuIV
Từ gt S∆MBC =
8
3a2
8
3
2
MN
4
3a
A’ B’ Mà AN =
2
3
a nên góc A’AO = 600
C’ Lại do AO =
3
3
a => A’O =a vậy : V =
4
3 3
* d(AB ; CC’) = d(CC’ ; (ABB’A’)) = d(C ; (ABB’A’))
M và bằng đờng cao CK của tam giác BCM
công thức diện tích cho ta CK = a
13
13
3a
B
A O
N
C
0,5
0,5
Trang 3áp dụng BĐT côsi ta có : 4x +
x
1 ≥ 4
4y +
y
1
≥ 4
4z +
z
1 ≥ 4 cộng vvv => M ≥
2
15 => MinM =
2 15
Mà theo gt : -3(x + y + z) ≥
2
9 khi x = y = z =
2 1
1,0
Câu VIa
1) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB nằm trên đờng thẳng d : x – y + 8 = 0
còn hai đỉnh C , D nằm trên parabol(P) : y = x 2 Tính diện tích hình vuông.
Vì CD // AB nên pt CD : y = x + m
khi đó cạnh hv là BC = d(d ; CD) =
2
8
−
m
Do C , D thuộc (P) nên hoành độ của C & D là nghiệm pt :
x2 – x – m = 0 (*)
Gọi a & b là hai nghiệm pt (*) thì: C(a ; a + m );D(b ; b + m)
CD = b−a 2 = 2(1+4m)
Tính chất hv có BC = CD nên
2
8
−
m
= 2(1+4m)
m = 2 & m = 30
Với m = 2 thì cạnh hv là 3 2 => SHV = 18
Với m = 30 thì cạnh hv là 11 2 => SHV = 242.
1,0
2)Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD cú cỏc đỉnh A(1;2;1),
B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cỏch từ C đến (P) bằng khoảng cỏch từ D đến (P)
TH1 : (P) // CD Ta cú: AB ( 3; 1; 2),CD ( 2; 4;0)uuur= − − uuur= −
(P) cú PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4; 2;7) (P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0 4x 2y 7z 15 0
TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD
Ta cú AB ( 3; 1; 2), AI (0; 1;0) (P) cú PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
0,5
0,5
CâuVIIa Xét P(x) = (1 + x) 2n + 1 có P–(x) = (2n + 1)(1 + x) 2n khi đó ptP–(-2) = 2009 n = 1004 1.0
CâuVIb
1) Đờng cao AH = d(A ; BC) =
2
9
mà S∆ABC = 18 => BC = 4 2
Mà pt đcao AH : x + y – 3 = 0 => H là giao điểm AH & BC => H(
−
2
1
; 2
7 Gọi B(m;m – 4)
2 2
= + =
0,5
0,5
CâuVIb 2) Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong cỏc
đường thẳng qua A và song song với (P), hóy viết phương trỡnh đường thẳng mà
Trang 4khoảng cỏch từ B đến đường thẳng đú là nhỏ nhất.
P
AB (4; 1;2);= − n = −(1; 2;2)
Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0
⇔ x – 2y + 2z + 1 = 0 Gọi ∆ là đường thẳng bất kỳ qua A Gọi H là hỡnh chiếu của B xuống mặt phẳng (Q) Ta cú : d(B, ∆) ≥ BH; d (B, ∆) đạt min ⇔∆ qua A và H
Pt tham số
x 1 t
z 3 2t
= +
= − −
= +
Tọa độ H = BH ∩ (Q) thỏa hệ phương trỡnh :
x 1 t, y 1 2t,z 3 2t
x 2y 2z 1 0
− + + =
10 t 9
9 9 9
∆ qua A (-3; 0;1) và cú 1 VTCP a AH 1(26;11; 2)
9
uur uuur
Pt (∆) : x 3 y 0 z 1
−
1,0
Câu
VIIb
Xột một số gồm 9 chữ số, trong đú cú 5 chữ số 1 và 4 chữ số cũn lại là : 2, 3, 4, 5 Hỏi cú
bao nhiờu số như thế, nếu:
a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau ? b) Cỏc chữ số được sắp xếp tựy ý ?
a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau ?
+ Công đoạn 1 : Xếp 5 chữ số 1 kề nhau có : 5 cách xếp
+ Công đọa 2 : Xếp thứ tự 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại có 4! Cách xếp,
vậy có cả thảy : 5.4! = 120 số.
0,5
b) Cỏc chữ số được sắp xếp tựy ý ?
+ Công đoạn 1 : Xếp thứ tự 4 chữ số 2,3,4,5 vào 4 trong 9 vị trí có A4 cách
+ Công đoạn 2: Xếp 5 chữ số 1 vào 5 vị trí còn lại có đúng 1 cách xếp
Vậy có cả thảy : A 4 = 3024 số.
0,5