LỜI GIẢI 15 BÀI CMBĐT LTĐH-PHÂN 1

LỜI GIẢI 15 BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG... CĐKT Cao Thắng khối A 2006 BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC.

LỜI GIẢI 15 BÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG

1 Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x2+ xy y + 2 + x2+ xz+z2 ≥ y2+ yz+z2

(CĐGT II 2003 dự bị)

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:

A + ÷÷

y 3

x ; z

2 2 , B + ÷÷

0; y z

2 2 , C − ÷

y z;0

2 2

Ta có: AB =  + ÷ + ÷÷ = + +

2 2

AC =  + ÷ + ÷÷ = + +

2 2

BC =  − ÷ + + ÷÷ = +

2 2

y z 3(y z) y yz+z

Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC

⇒ x2+ xy y + 2+ x2+ xz+z2 ≥ y2+ yz+z2

2 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI

x3 + y3 + z3 ≥ 33 x y z 3 3 3 ⇒ 2(x3 + y3 + z3) ≥ 6

x3 + 1 + 1 ≥ 33 3 x ⇒ x3 + 2 ≥ 3x(1) Tương tự: y3 + 1 + 1 ≥ 33 y 3 ⇒ y3 + 2 ≥ 3y(2)

z3 + 1 + 1 ≥ 33 3 z ⇒ z3 + 2 ≥ 3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

3 Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

+ + + + + + + +

a b c b c d c d a d a b< 2 (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI

Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:

a b c c d a a c a c

b c d d a b b d b d

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm

4 Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2

 + + 

1 2 1 x

x ≥ 16

(CĐKT Cao Thắng khối A 2006)

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI

Ta có: (x + 1)2

 + + 

1 2 1 x

x ≥ 16 (1) ⇔ (x + 1)2

 + 

2

1 1

x ≥ 16

⇔ (x + 1) + ÷

1 1

x ≥ 4 (do x > 0) ⇔ (x + 1)2 ≥ 4x ⇔ (x – 1)2≥ 0 (2) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh

5 Cho 3 số dương a, b, c Ch minh rằng: a b c a b c a b c+ + + + + + + + ≥ 9

(CĐKTKTCN1 khối A 2006)

LỜI GIẢI

Xét vế trái của BĐT đã cho:VT = 1 + + + + + + + +b c a 1 c a b 1

a a b b c c

= 3 +  +  ÷ + +  ÷ + + ÷

Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:

b a 2 b a. 2

a b a b ; b c+ ≥ 2 b c = 2

c b c b ; c a+ ≥ 2 c a = 2

a c a c

Khi đó: VT ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm)

6 Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh:

2

(ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)

LỜI GIẢI

Do a2 + b2 + c2 = 1 nên = =

2

b c 1 a a(1 a ) (1)

Mà 2a2.(1 – a2)2 ≤  + − + − ÷÷ =  ÷

 

2a (1 a ) (1 a ) 2

⇒a2.(1 – a2)2 ≤ 274 ⇒ a(1 – a2) ≤ 3 32 (2)

Từ (1), (2) suy ra: ≥

+

2

a 3 3a

2

b c

Dấu “=” xảy ra ⇔

 = −





2a 1 a 2b 1 b 2c 1 c

⇔ a = b = c = 13

LỜI GIẢI

Ta cĩ:  + + =



ab bc ca 1 ⇔  + − = −



(a b) 2ab 2 c c(a b) ab 1

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt  + ==



a b S

ab P (S2 – 4P ≥ 0)

Ta được hệ:  − = −



S 2P 2 c (1) cS+P =1 (2)

Từ (2) ⇒ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:

S2 – 2(1 – cS) = 2 – c2 ⇔ S2 + 2cS + c2 – 4 = 0 ⇔  = − +SS= − −c 2c 2

• Với S = – c – 2 ⇒ P = 1 + c(c + 2) = c2 + 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥ 0 ⇔ (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥ 0

⇔ –3c2 – 4c ≥ 0 ⇔ − ≤ ≤4 c 0

• Với S = –c + 2 ⇒ P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1

BĐT: S2 – 4P ≥ 0 ⇔ (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ 0

⇔ –3c2 + 4c ≥ 0 ⇔ 0 c ≤ ≤ 4

3 (4)

Từ (3), (4) ta được: − ≤ ≤4 c 4

LỜI GIẢI

Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:

+ ≥ +

1 1 4

x y x y (1) Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y

Áp dụng (1) ta được: + ≥ =

p a p b p a p b c

p b p c p b p c a

p c p a p c p a b

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

7 Cho các số a, b, c thoả:  + + =



ab bc ca 1

Chứng minh: − ≤ ≤4 a 4 4; − ≤ ≤ b 4 4; − ≤ ≤ c 4

(ĐH Kiến trúc HN 2001)

8 Cho ∆ABC cĩ 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

p a p b p c a b c

(Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:

p a p b p c a b c ⇔ đpcm

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c

chứng minh được: − ≤4 a,b,c ≤ 4

3 3 LỜI GIẢI

Áp dụng BĐT Cơsi cho 2 số dương x3, y2 ta cĩ:

x3 + y2 ≥ 2 x y3 2 = 2xy x ⇒ ≤ =

+

xy 2xy x

x y

Áp dụng BĐT Cơsi cho 2 số dương 2 2

1 1,

x y ta cĩ:

≤  + ÷÷

 2 2

1 1 1 1

xy 2 x y ⇒ ≤  + ÷÷

2 x 1 1 1

2

Tương tự ta cũng cĩ:

≤  + ÷÷

2 y 1 1 1

2

y z y z ; ≤  + ÷

2 z 1 1 1

2

2 y

Dấu “=” xảy ra ⇔  =  =  =

x y và y z và z x

x y y z z x ⇔ x = y = z = 1

9 Cho 3 số x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

2 y

(ĐH Nơng nghiệp I HN khối A 2001)

10 Cho a ≥ 1, b ≥ 1 Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab − + − ≤ (*)

(ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI

BĐT (*) ⇔ a b 1 b a 1− + − ≤ 1

ab ab ⇔  − ÷+  − ÷≤

1 1 1 1 1 1 1

Theo BĐT Côsi ta có:  − ≤ + − ÷=

1 1 1

+ − ÷

 − ≤  =

1 1 1

Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh

Dấu “=” xảy ra ⇔  = − =



 = − =



1 1 1 1

1 1 1 1

⇔ a = b = 2

11 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác cĩ chu vi bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13

(ĐH Vinh khối A, B 2001)

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

LỜI GIẢI

Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0

Do đó theo BĐT Côsi ta có:

(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤  − + − + − ÷

3

3 2a 3 2b 3 2c

⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

⇔ 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra ⇔ 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c ⇔ a = b = c = 1

12 Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b2+2a2 + c2+2b2 + a2+2c2 ≥ 3

(ĐHQG HN khối D 2000)

LỜI GIẢI

Ta cĩ: b2+2a2 = b2+2 22a2 = 12+ 2. 12

Đặt x = a1; y = b1; z = c1 thì

giả thiết  + > + =



a,b,c 0

ab bc ca abc ⇔  + + =x,y,z 0x y z 1>

và đpcm ⇔ x2+ 2y2+ y2+ 2z2+ z2+ 2x2 ≥ 3

Theo BĐT Bunhiacopxki ta cĩ:

3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2

⇒ x2+ 2y2 ≥ 1 (x 2y) +

3

Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta cĩ:

x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3

3

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 31 ⇔ a = b = c = 3

LỜI GIẢI

Ta có: + ≥  + ÷

3

2 2 ⇔ 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3

⇔ (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = ± b

13 Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0 Ch minh rằng: + ≥  + ÷

3

(ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

14 Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)

LỜI GIẢI

a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca

⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

15 Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = + +

a b a c b c b a c a c b

(ĐH Nơng nghiệp I khối A 2000)

LỜI GIẢI

2

1

1 1

1 1

a b a c a (b c) a b c

b c

Đặt x = a1; y = b1; z = c1 thì

giả thiết 



a, b, c > 0 abc = 1 ⇔  >



x,y,z 0 xyz=1 và P = + +

y z z x x y

Theo BĐT Bunhiacopxki ta cĩ:

(y + z + z + x + x + y).P ≥ + + + + + ÷÷

2

⇒ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 ⇒ P ≥ 21(x + y + z) ≥ 1.3 xyz3 = 1.3

⇒ P ≥ 32

Nếu P = 32 thì x = y = z = 1 ⇒ a = b = c = 1

Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = 32 Vậy minP = 32

BÌNH LONG-BÌNH PHƯỚC