VÉCTƠ TRONG PHÉP BIẾN HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCVÉCTƠ TRONG PHÉP BIẾN HÌNHBố cục:Chương I: Cơ sở lý thuyết1. Định hướng.2. Đại cương phép biến hình trong mặt phẳng.3. Sự biến đổi của véc tơ thông qua một số phép biến hình.Chương II: Ứng dụng giải một số bài toán.Chương III: Một số bài toán đề nghị và tóm tắt lời giải.

Trờng đại học s phạm hà nội

Khoa toán

Vectơ trong phép biến hình

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

Ngời hớng dẫn khoa học

Hà nội,

Lời cảm ơn

Trong quá trình thực hiện luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực củabản thân tôi còn đợc sự hớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Bùi Văn Bình,cùng những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô trong tổ hình học Tôixin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Bùi Văn Bình vàcác thầy cô giáo trong tổ Hình học đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này

Hà Nội, ngày tháng năm 20

Sinh viên

Lời cam đoan

Em xin cam đoan bản khoá luận đợc hoàn thành do sự cố gắng nỗ lựctìm hiểu, nghiên cứu của bản thân dới sự giúp đỡ của thầy giáo Bùi Văn Bình

Bản khoá luận này không trùng với các kết quả các tác giả khác Nếutrùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đ2 Đại cơng về phép biến hình trong mặt phẳng 7

Đ3 Sự biến đổi của veectơ qua một số phép biến hình cơ bản 8

Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng 14

Chơng III: Một số bài toán đề nghị và tóm tắt lời giải. 39

Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài.

Trong giải các loại toán toán hình học, sự lựa chọn các công cụ thíchhợp là một việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm đợc thời gian và côngsức Hiện nay, trong chơng trình Toán học THPT, vai trò và tầm quan trọngcủa các phép biến hình ngày càng đợc thể hiện rõ ràng và sâu sắc, không chỉtrong lý thuyết mà cả trong thực hành giải bài tập Đặc biệt, sự biến đổi củacác vectơ trong các phép biến hình giúp cho việc giải một số lớp bài toán trởnên đơn giản hơn Tuy nhiên, việc giải bài toán hình học thông qua sự biến

đổi của các vectơ không phải dễ dàng, thực tế, đây là phần khó đối với giáoviên trong quá trình dạy và học sinh trong quá trình học

Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp, em chỉ tập trung trìnhbày một cách khái quát sự biến đổi của vectơ qua phép biến hình; xem xétviệc áp dụng của sự biến đổi này trong một số bài toán Qua đó, phần nàogiúp ngời đọc thấy tính u việt của phép biến hình nói chung và sự kết hợpgiữa vectơ và phép biến hình nói riêng Đó chính là lý do em chọn đề tài:

“Vectơ trong phép biến hình“

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.

Xây dựng và đa ra cơ sở lý thuyết về phép biến hình; sự biến đổi củacác vectơ qua một số phép biến hình trong mặt phẳng

Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập thể hiện phơng pháp sửdụng vectơ trong phép biến hình

Đề tài nghiên cứu với hai nhiệm vụ:

a/ Nghiên cứu lý luận chung: Các khái niệm cơ bản của phép biến hình

và vectơ trong các phép biến hình

Chơng II: ứng dụng giải một số bài tập hình học phẳng

Chơng III: Một số bài tập đề nghị và tóm tắt lời giải

Kết luận

Chơng I: cơ sở lý thuyết

Đ 1 Định hớng 1.1 Định hớng trong mặt phẳng.

Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu

ta chọn một chiều làm chiều dơng và chiều còn lại làm chiều âm thì ta nóirằng đã định hớng đợc mặt phẳng

Thông thờng ta chọn chiều quay xung quanh O, ngợc chiều kim đồng

hồ làm chiều dơng, chiều ngợc lại làm chiều âm

1.2 Góc định hớng giữa hai tia chung gốc.

a/ Định nghĩa.

Trong mặt phẳng định hớng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy, góc định ớng co tia đầu Ox, tia cuối là Oy

h-Kí hiệu: là góc thu đợc khi ta

quay tia đầu Ox tới trùng với tia cuối Oy

Nhận xét.

+ Giá trị của góc định hớng trên mặt phẳng không phải duy nhất Taquy ớc giá trị đó là âm hay dơng tuỳ theo chiều quay là chiều âm hay chiềudơng của mặt phẳng

+ Ta gọi là giá trị đầu của góc định hớng, đó là giá trị thu đợc khiquay Ox trùng Oy theo góc hình học nhỏ nhất

Nếu là một giá trị của góc định hớng giữa hai tia Ox và Oy thì:

b/ Hệ thức Chales.

Trong mặt phẳng định hớng cho 3 tia Ox, Oy, Oz Ta có:

1.3 Góc định hớng giữa hai đờng thẳng.

1.3.1 Góc định hớng giữa hai đờng thẳng cắt nhau.

-X

Y

a phải quay theo một chiều nhất định qua điểm O để đến vị trí trùng với đờngthẳng b.

Kí hiệu: , trong đó a là đờng thẳng đầu, b là đờng thẳng cuối

Nhận xét:

+ Góc định hớng giữa hai đờng thẳng nh trên không duy nhất Cáchxem xét về góc giữa hai đờng thẳng a, b giống nh cách xem xét giữa hai tia

+ Giá trị là giá trị đầu (chính) của nếu giá trị là giá trị của

góc định hớng thu đợc góc quay xung quanh O theo một chiều nhất

định tới khi trùng b theo góc hình học nhỏ nhất Khi đó:

b/ Hệ thức Chales.

Trong mặt phẳng định hớng cho ba đờng thẳng a, b, c

Khi đó:

1.3.2 Góc định hớng giữa hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau.

Quy ớc: Cho hai đờng thẳng a, b song song hoặc trùng nhau

Khi đó ta quy ớc:

Nhận xét: Hệ thức Chales với đờng thẳng vẫn đúng trong trờng hợp

ba đờng thẳng đôi một song song hoặc đồng quy

Đ2 Đại cơng về phép biến hình trong mặt phẳng.

2.1 Phép biến hình.

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P Khi đó mỗi hình

H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P và đợc ký hiệu là

Một song ánh từ tập điểm của P lên chính nó đợc gọi là phépbiến hình trong mặt phẳng

Phép biến hình đảo ngợc:

Cho phép biến hình Khi đó ánh xạ ngợc của cũng là ánhxạ từ P lên P nên cũng là một phép biến hình của mặt phẳng Ta gọi phép biếnhình đó là phép biến hình nghịch đảo của phép biến hình

Phép biến hình tích:

Cho f và g là hai phép biến hình của mặt phẳng Khi đó ánh xạ tích của

f và g cũng là một song ánh của mặt phẳng nên nó cũng là một phép biếnhình của mặt phẳng Ta gọi đó là phép biến hình tích của f và g

+ Điểm M của mặt phẳng đợc gọi là điểm bất động đối với f nếu

+ Hình H đợc gọi là hình kép đối với f nếu

+ Hình H đợc gọi là hình bất động đối với f nếu mọi điểm của H đều

a, Phép Afin bảo tồn tính song song của đờng thẳng.

b, Phép Afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hớng

c, Phép Afin biến vectơ thành tổng của các vectơ tơng ứng

d, Phép Afin bảo tồn tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng

Định lý:

Trong E2 cho tam giác và ’ Khi đó tồn tại duy nhất một

phép Afin của E2 biến A,B,C tơng ứng thành

Hay ngời ta còn nói: Phép Afin trong mặt phẳng đợc xác định bởi haitam giác tơng ứng

Khái niệm hai tam giác cùng chiều, hai tam giác ngợc chiều

Trong E2, hai tam giác ABC và đợc gọi là cùng chiều (ngợcchiều) nếu trên đờng tròn ngoại tiếp của chúng từ cùng chiều

(ngợc chiều) với chiều

2.2.4 Phân loại.

Phép Afin trong E2 đợc gọi là phép Afin loại một nếu hai tam giác xác

định nó cùng chiều Ngợc lại ta có phép Afin loại hai

Đ3 Sự biến đổi của vectơ qua một số phép biến hình cơ bản.

3.1 Phép đẳng cự.

3.1.1 Định nghĩa.

Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bấtkì đợc gọi là phép đẳng cự

+ Phép đẳng cự biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đờng đặcbiệt, điểm đặc biệt của tam giác này tơng ứng thành đờng đặc biệt, điểm đặcbiệt của tam giác kia.

+ Phép đẳng cự biến đờng tròn thành đờng tròn

Trong mặt phẳng cho vectơ Phép biến

hình mỗi điểm M thành điểm sao cho

đợc gọi là phép tịnh tiến theo vectơ Ký hiệu:

+ Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất

b/ Vectơ trong phép tịnh tiến.

Giả sử là phép tịnh tiến theo vectơ

Khi đó:

’

* Nhận xét:

+ Phép đối xứng tâm là phép dời hình, là phép đối hợp và có điểm bất

động duy nhất là I

b/ Vectơ trong phép đối xứng tâm.

Giả sử ĐI là phép đối xứng qua tâm I

giác không đổi Phép biến hình biến

điểm O thành O, biến mỗi điểm M khác

b/ Vectơ trong phép quay.

Giả sử là phép quay tâm O, góc quay α

Trong mặt phẳng định hớng, cho góc định hớng quy tắc

tơng ứng với mỗi vectơ của mặt phẳng vectơ xác định sao cho thoả mãn:

Gäi lµ phÐp quay vect¬ cña mÆt ph¼ng theo gãc quay α.

Trong mặt phẳng cho điểm O và số thực Phép biến hình của

mặt phẳng biến mỗi điểm M thành điểm M’ thoả mãn hệ thức

gọi là phép vị tự O, tỉ số k Ký hiệu: hoặc

Ký hiệu:

b/ Tính chất:

+ Phép đồng dạng là phép Afin

+ Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng

+ Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng, biến đờng

đặc biệt thành điểm đặc biệt của tam giác này thành đờng đặc biệt, điểm đặcbiệt của tam giác kia

+ Phép đồng dạng biến đờng tròn bán kính R thành đờng tròn bán kínhk.R

Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của

hình học phẳng

Trong chơng này, nhờ việc thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các

đờng đã cho trong giả thiết với các điểm hay các đờng trong kết luận thôngqua sự biến đổi của vectơ trong phép biến hình ta sẽ nhận đợc các kết quả vềtính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc các

đoạn thẳng bằng nhau, các đoạn thẳng tỉ lệ …

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CA Gọi và lần lợt là tâm của đờng tròn ngoại tiếp vànội tiếp

BM

Vậy

Nên

Từ (1); (2) xét:

Khai thác sâu bài toán.

Nếu gọi và lần lợt là trọng tâm, trục tâm của

thì

Ví dụ 2.

A, B, C Dây AC kéo dài của gặp tại là đờng kínhcủa

Chứng minh rằng: thẳng hàng?

Lời giải:

Gọi M, N là giao điểm thứ hai của với và

O2

A2

O3

hay

Do và đều là dây cung của nên từ ta có

với là ảnh của A qua

Có thẳng hàng thẳng hàng (đpcm)

Ví dụ 3.

Cho tam giác ABC Gọi I, J, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC

và IJ Đờng tròn ngoại tiếp (tâm O) của tam giác AJI cắt AO tại A’ Gọi làchân đờng vuông góc hạ từ A’ xuống BC

Chứng minh: A, M, M’ thẳng hàng?

Lời giải

Gọi M1 là trung điểm của BC

Theo giả thiết ta có:

I

MO

xóc nhau t¹i A, B, C Gi¶ sö M lµ ®iÓm trªn , ngoµi ra:

P

N Q

M

O3

O2

O1

Lại do tiếp xúc tại C nên:

Tại (1); (2); (3) suy ra:

Vậy M và Q đối xứng nhau qua tâm (đpcm)

A

V× M lµ trung ®iÓm cña BC nªn:

(luôn đúng)Vậy điều giả sử đúng tức:

Ví dụ 6.

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng về cùng mộtphía cho trớc của đờng thẳng chứa A, B, C các tam giác đều ABC’ và CBA’.Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AA’ và CC’

Chứng minh rằng: tam giác BIJ đều?

Xét phép quay vectơ góc quay có:

đều

* Khai thác sâu bài toán:

1, Khai thác 1: Giả thiết bài toán “A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó”, nếu

“tách” điểm B khỏi đoạn AC ta có bài toán sau:

Bài toán 6.1:

Cho tam giác ABC Dựng

về phía ngoài hai tam giác đều

ABC’ và BCA’ Gọi I và J lần lợt

là trung điểm của AA’ và CC’

Chứng minh rằng: tam giác

BIJ đều?

Thật vậy, với cách chứng

minh tơng tự nh ví dụ 6 ta có thể

chứng minh đợc bài toán 6.1 theo

hai cách sử dụng phép quay vectơ

và sử dụng phép quay thông thờng

2, Khai thác 2: ở bài toán 6, nếu đỉnh B

nằm khác phía so với hai điểm A’ và C’ thì

với cách chứng minh tơng tự, kết quả bài

toán 6.1 vẫn đúng

3, Khai thác 3: Giả thiết “dựng các tam

giác đều” bởi giả thiết “dựng các tứ giác

I J

I

đều” (chính là dựng các hình vuông) Bằng cách lập luận tơng tự ta có bàitoán.

Ví dụ 7.

Cho tam giác ABC Gọi là tâm các hình vuông vẽ ở phía ngoàicác cạnh AB, AC của tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu D là điểm chínhgiữa các cạnh BC thì các đoạn O1D và O2D bằng nhau và vuông góc vớinhau?

tam giác vuông và

tính chất đờng trung

bình trong tam giác

cân tại D và

Khai thác bài toán:

Nếu thay điều kiện: “Vẽ các hình vuông ở phía ngoài các cạnh AB, ACbằng điều kiện: “ Vẽ các hình vuông ở phía trong các cạnh AB, AC” thì kếtquả không đổi

O1B

C A

ở ví dụ 7 ta có thể giải bằng phép quay vectơ hoặc phép quay quanh

điểm Tuy nhiên, việc giải bằng phép quay quanh điểm phải sử dụng đến tíchcủa hai phép quay là một khái niệm tơng đối khó

Ví dụ 8:

Hãy dựng các hình vuông ABMN và BCQP ở phía ngoài các cạnh AB

và BC của tam giác ABC Giả sử tâm của các hình vuông đó là O1 và O2.Chứng minh rằng: Nếu D, G lần lợt là trung điểm của các đoạn AC, MP thì

A N

Khai thác sâu bài toán:

Nếu thay giả thiết dựng các hình vuông ở phía ngoài bằng giả thiếtdựng các hình vuông ở phía trong các cạnh thì kết quả vẫn đúng

Ví dụ 9:

Giả sử là tâm các hình vuông vẽ ở phía ngoài của các

cạnh tứ giác lồi ABCD

Gọi I là trung điểm

của BD Theo ví dụ 6, áp

dụng cho tam giác ABD ta

C D

O3

O2

O1

O4

* Cách 2: (sử dụng phép quay)

Theo ví dụ 6, ta có:

(đpcm)

Khai thác sâu bài toán.

1, Khai thác 1: Nếu dựng các hình vuông bên trong tứ giác thì kết quả đợc

VÝ dô 10 (Bµi to¸n NapolÐon )“ ”

C D

B A

Cho tam giác ABC Về phía ngoài của tam giác dựng ba tam giác đềuBCA1, CAB1, ABC1 Gọi tơng ứng là tâm của ba tam giác ấy.

Chứng minh rằng: tam giác đều?

Theo cách xác định tâm của phép quay tích ta có:

Vậy tam giác O O O đều

A1

N M

Từ P kẻ đờng thẳng song song với AC và cắt BC tại Q.

nổi tiếng của nớc Pháp, là một

ngời ham thích toán Ngay cả

Sau đây, xin giới thiệu

cách giải của chính Napoléon:

Dựng các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác đều ACB1, BCA1; Hai ờng tròn này cắt nhau ở C và O.

đ-Xét hai tứ giác nội tiếp AB1CO và BA1CO có:

và đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC1 cũng đi qua O

Nh vậy, ba đờng tròn ngoại tiếp các tam giác đều ABC1 , BCA1,CAB1

Khai thác sâu bài toán.

Giải thiết bài toán “ dựng về phía ngoài của tam giác ba tam giác đều”nên bài toán còn đợc gọi là “bài toán tam giác Napoléon ngoài” Nếu thaycho việc dựng các tam giác ngoài bằng dựng các tam giác trong của tam giácthì kết quả vẫn đúng Khi đó bài toán đợc gọi là: “Bài toán tam giácNapoléon trong”

Thật vậy, với các điểm M,

Lời giải.

Dựng đờng tròn tâm O bán kính OA = R

Bài toán trở về ví dụ 9

* Khai thác sâu bài toán:

Nếu các đều nhng kích thớc khác nhau thì kếtquả còn đúng không?

Kết quả vẫn đúng, nhng khó có thể chứng minh đợc bằng phép quay

mà lại chứng minh bằng phép quay vectơ rất dễ dàng

ThËt v©y, gäi lÇn lît lµ trung ®iÓm cña OA, OB,

OC, OD, OE, OF

A S

F

K Tìm ảnh của hình chữ nhật DEKH qua phép vị tự Từ đó

H B

Mà (BCH’K’ là hình chữ nhật):

Do cùng phơng nên:

Từ đó suy ra:

(đpcm)

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC Kẻ các hình chữ nhật ACMN, CBPQ sao

cho M, B nằm khác phía đối với AC; P, A nằm khác phía đối với CB, và

Giả thiết Chứng minh rằng , ở đây là đờng cao kẻ từ C trong

Lời giải:

Trong tam giác vuông BCP

H C

Q R

P I

N

M

O

I

B A

Ta có: đờng tròn (O’) tiếp xúc với AB tại D

Xét có O’D chia CO, CI, OI theo tỉ lệ:

Theo định lý Talet đảo ta có:

Từ (1);(2)

Từ (3); (4) là tam giác vuông cân

Vậy cung IA bằng cung IB

Ví dụ 15:

Cho tam giác ABC, gọi D, E, F là trung điểm của AB, BC, CA K là

điểm bất kỳ M đối xứng với K qua D; N đối xứng với M qua E; D đối xứngvới N qua F

Chứng minh rằng: A là trung điểm của KP?

Lời giải

Xét các phép đối xứng tâm

sau:

C K

E

P

F D

M A

B

Từ (1),(2),(3):

là trung điểm của KP

Khai thác sâu bài toán:

1, Khai thác 1: Thay giả thiết “tam giác” với tứ giác ta có kết quả bài

toán sau:

Bài toán 15.1:

Cho tứ giác lồi Gọi lần lợt là trung điểm của

Lấy K là một điểm bất kỳ

Gọi E1 đối xứng với K qua K1, E2 đối xứng với E1 qua K2, E3 đối xứngvới E2 qua K3, E4

đối xứng với E3 qua

2, Khai thác 2: Từ kết quả ví dụ 15 và 15.1 ta có thể khái quát thành

bài toán tổng quát nh sau:

Bài toán 15.2:

K1

K3K

Lấy E1 đối xứng với K qua K1

E2 đối xứng với E1 qua K2

…………

En đối xứng với En-1qua Kn

Chứng minh rằng: Nếu n lẻ thì A1 là trung điểm của EnK Nếu n chẵn

Chơng iii: một số bài toán đề nghị và tóm tắt lời giải

Bài 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phơng trình đờng thẳng là ảnh của

đờng thẳng và đờng tròn ( ) là ảnh của đờng tròn

qua phép vị tự tâm ; tỉ số Bài 2 Cho hai đờng tròn (O,R) và (O’,R’) tiếp xúc nhau tại A Qua A vẽ haicát tuyến tuỳ ý AMM’ và ANN’

Chứng minh rằng:

Bài 3 Cho tam giác ABC có , vẽ hai đờng tròn bằng nhau có tâm B

và tâm C; AB cắt (B) tại M, N (N nằm giữa A và B); AC cắt (C) tại E, F (Fnằm giữa A và C)

Chứng minh rằng: đờng trung trực của ME và NF đi qua một điểm cố địnhvới B, C cố định và A thay đổi nhng

Bài 4 Cho tam giác ABC cố định; D di động sao cho AD = h – hằng số Tìmtập hợp trung điểm I của BD?

Bài 5 Cho tam giác đều ABC Gọi M, N là hai điểm lần lợt di động trên cáccạnh AB và AC sao cho AM = CN Tìm một phép quay biến vectơ thành

vectơ Từ đó suy ra đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn luôn đi quamột điểm cố định khác A?

Bài 6 Cho hình thoi ABCD có tâm O, góc Gọi E là trung điểmcủa canh AD, I, J lần lợt là trung điểm của OB và CE Chứng minh tam giácAIJ đều?