Đánh giá các phép biến hình á bảo giác những miền nội tiếp trong hình vành khăn 4

Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải Tích -Chuyên đề:Đánh giá các phép biến hình á bảo giác những miền nội tiếp trong hình vành khăn

ChU'O11g 2 DINH NGIDA PREP BIEN HINH K-A BAo

GIAC vA MOT s6 CONG CD

2.1 Mo dun cua mi~n nhi lien

B6 d~ 2.1.(T Carleman [4, tr.212])

trim Izl= r GQi s la di~n tich (ngoai) cua t~p dong do c baa bQc, S la di~n dch

(trong) cua t~p ma do C baa bQc Khi do ta co quail h~ sau:

(2.1)

trong do ding thuc xay ra khi va chi khi f(z)= az + b v6i a, b la cac hfuIg s6 va a:;tO.

Tir b& dS ta suy ra cac h~ qua sau:

H~ qua 2.1 (Binb ngbia mo dun mi~n nbi lien)

N@umiSn nhi lien G qua cac PBHBG dan di~pf va fl IAnluQ'tthanh hai hinh VaMkhan: H: r <I wl< R va HI : rl <I WI 1<RI.

7

Ron mra nSu Gila anh cua G b6i mQtPBHBG don di~p thi m(G1)= m (G), do

la tinh b~t biSn cua ma dun mien nhi lien

H~ qua 2.2(tinb don di~u ctia mo dun mi~n nbi lien)

NSu cac mien nhi lien G va G' v6i cac ma dun lftn luot R va R' co tinh ch~t

G c G' va G ngfm cach hai thanh phftn bien cua G'thi R::;;R' , D~ng thuc xay

ra khi va chi khi: G==G'

2.2 Binb ngbia pbep bi~n binb K-a baGgiac

Binb ngbia 2.1

Phep biSn hinh mQt mQtw = f (z) tir mien A trong m~t ph~g z len mienB trong

m~t ph~ng w'lien t\lC hai chieu va baa toan chieu duong tren bien duQ'c g9i la

PBHKABG nSu m9i ill giac cong Q c A co madun la m(Q) thi ill giac cong

Q'=f(Q) comadunla m(Q') seth6a b~t d~ngthuc:

Sail day la mQt s6 tinh ch~t cua phep biSn hinh K-a baa giac:

1 K= 1 thi phep biSn hinh tr6 thanh baa giac

giac la mQt phep biSn hinh K}.K2-a baa giac

3 Phep biSn hinh nguQ'c cua phep biSn hinh K-a baa giac la phep biSn hinh K-a baa giac

4 NSu Q la hinh chfrnh~tABCDco cac c~ la a, b, Q' la hinh chfrnh~t

A'B'C'D' co cac c~nh a', b'song song v6i cac tf\lCto~ dQ Gia sir [ la PBHKABG mi~n Q leu Q' saDcho b6n dinh tuang Ungv6i Mall Khi do: ,

:' = K: khi va chi khi [co d~g [(x + iy)= a(Kx + iy)+ p, ~

h' kh

Sau day la mQt s6 b~t d~ng thuc ma rQng cho PBHKABG

B8 d~ 2.2

Gia sir G la mi~n nhi lien v6i modun la m(G) duQ'cbiSn K-a baa giac leu mi~n G' v6i modun m(G') Khi do:

Trang truang hQ'P G = {z,q < Izi< I} va G' = {w,q' < Iwl< I} thi (2.4) tra thanh:

1

Ran nfra q' = qK <=> [( z) = a IzIK-lz, la! = 1, va q = qK <=> f ( z) = a IzIK-l,lal = 1

B8 d~ 2.3 (Soy rQng bAt ding thue Carleman eho PBHKABG)

Gia sir [la PBHKABG hinh VaM khan (0 <)r <Iz 1<R « 00) len mi~n nhi lien G

khong chua diSm 00 v6i bien trong c, bien ngoai C saD cho 1z1=R tuang Ung

9

v6i bien ngoai C GQi S la di~n tich (trong) cua t~p ma do bien ngoai C bao bQc,s la di~n tich (ngoai) cua t~p dong do c bao bQc.Khi do:

trong do dfuIg thuc xiiy ra khi va chi khi:

w=f(z)=alzIK z+b v6i cachang so a:;t:O vab

ChUng minh:(Xem Thao [14, tr.55-56] ho~c Luong [11, tr23]).

B&d~ 2.4 (Bit ding thu-c di~n tich cho mi~n da lien)

S(R, f) > S(r, f)

(

~

JYrc + i> ( ~

J

~

trong do S(R,f) 1ftdi~n tich (trong) cua t~p ma do bien ngoai bao bQc, S(r,f) la

di~n tich (ngofti) cua t~p dong do bien trong bao bQc, Sj la di~n tich (ngoai) cua

t~p dong do cac ITj bao bQc

1

a:;t:O.

ChUng minh: Xem Thao[14, tr.56] ho~c Thao[13, tr.522 ].

2.3 Cae ham sa pht} T(p,r,s) va R(p,t,s)

Gia su hiOO vaOO khan r <Iz 1<1 tuang duang bao giac v6i hiOO vaOO khan

s <Iw 1<1 bi c~t p do~n doc theo ban kiOO:

Pj={wl s~lwl~t,argw=j21t},(j=O,1, ,p-l)(xem hiOO 2.1), do tiOO don

p

di~u cua ma dun miSn OOilien (h~ qua 2.2) ta co 0 ~ s ~ r < t < 1 Han nua t la d~i luang xac diOOduy oofit theo r va s, r la m<)td~i lugng xac diOOduy oofit

theo t va s.

BG

z

HiOO2.1 (v6i P =2)

Tir do ta diOOnghia cae ham s6:

r=R(p,t,s) v6ip= 1,2, ; O~s<t<1

Cling do tinh don di~u cua madun miSn nhi lien ta co cae tiOOchfit cua cae ham T(p,r,s) va R(p, t,s) OOusau:

2 T(p,r,sl) > T(p,r,sz) (0 ~ Sl < Sz< r < 1) (2.7)

(2.9)

4 s<R(p,t,s)<t (O~s<t<l)

7 R(p, t,s) > R(1, t,s) (0 ~ s < t < 1,p ~ 2) (2.12)

Nha cae cong thuc trong Nehari [10, tr.280-295], Thao[12, tr.100-107 ] va Luang [11,tr.15-18] dii chi ra cong thuc cua ham R va T OOusau:

R(P,t,s)=exp

(

-JrKf(U»

[

1+s4pj

]

h = , k = 4sp fI "

(

)

6 day sn(z,k) chi sin eliptic v6i tham sa k

.! 00

[

1+ r4pj

]

~

T(p,r,O)=4Pr fI 4 '-2 (O<r<l,pEN) ,

j=l 1 + r PJ P

(

J

0 < s < r < 1,pEN, voi K(k) 0011'tren

I-m k(l-h )2

[

l+r4pj

]

Tir d6 sur ra caet£OOeh~t khae eua ham R(p,t,s), T(p,r,s):

-1

1{2

2pln p(1- t)

(2.14)

-1

1

8

(

1{2

J

1

2.4 Cac b6 d~ khac:

B6 d~ 2.5 (BAtding thtfc Grotzschl)

Gia sir trong m~t ph~ng z eho truae mien Eo eho truae, giai h~ b6i Izl= 1,

q < Izi< 1 Gia sir ham w = f(z) bi~n baa giac dan di~p mien Eo len mien Bo

ehua trong mQt hiOOvaOOkhan q' < Iwl< 1 sao eho Izi= 1 ehuy~n thanh Iwl= 1,

Izi= q ehuy~n thanh Iwl= q', crj thanh crj'(j = 1,2, ,n) N~u t~t ea crj' la OOung

13

nhat c~t theo ban kinh thi ta viSt fo,qo thay vi f, q', trai l~i nSu t~t ca crj' la nhUng nhat c~t theo cac cung iron d6ng tam t~i 0 ta viSt fl, Qo thay vi f, q'

GrOtzsch dff chi ra quan h~ sail:

< '< Q

trong do q' = qo<=> f =fo va q'=Qo <=> f =fl

ChUng minh: xem [6, tr.372].

Bay gia nSu miSn Eo noi tren duQ'c ham w =<p(z) biSn K-a baa giac len miSn

BI chua trong q" < Iwl< 1 sao cho Izl= 1 chuySn thanh Iwl= I, Izi= q chuySn

thanh Iwl= q:' Khi do

I

q" = Q K<=> <p( z) =<PI (fl (z)) v6i <PI(u )=a lulK-I u, lal = 1.

va

ChUng minh:Xem Thao[14,tr.58] ho~c Luang[ll, tr.29]

Gia sir D la hinh vanh khan R <Iz 1<1 v6i pn (p=1,2, ,n=O,I,2 ) nhat c~t n~m

tren cac duang d6ng tam 0 sao cho D trimg v6i chinh no b6i phep quay

.21t

0 <Iw 1<1sao cho duang iron 1z1=R tuang lIng v6i bien trong CI, sao cho t~p

dong gi6i h~ b6i CIchua g6c tQa dQ, duang iron Iz1=1 tuang lIng v6i bien

.27t

1-ngoai C2 Han 111lagiil sir El trimg v6'i chinh no qua phep quay W =e P W Khi

do ta co danh gia dung

du<;ycdinh nghTa trong 2.3

1

phep bi@nhinh bilo giac hinh vanh khan RK <It1< 1 1enmiSn nhi lien P sao cho

} Itl= 1 tuang' Ung v6'i Iwl= 1 va 1t 1= R K tuang Ung v6'i c trong do c du<;ycdinh

nghTanhu sau:

P

ChUng minh: Xem Thao[14,tr.63], ho~c LuO'ng[19,tr.33].

DBd~ 2.7 (M6' rQng bit ding thuc Grotzsch2)

n&mtren cac duang trOll d6ng tam 0 sao cho Dl trUng v6'i chinh no qua phep

.2J1:

quay Z =e 1 ;z, f 1aPBHKABG miSn D} 1en miSn Ez n&mtrong 0 < Iwl<00 sao

thanh bien ngoai C2, Han nua E2 trimg v6'i chinh no qua phep quay

.2J1:

15

)

'

T[ P.(R) 'M,

(2.21)

rnj =min{lwllw E Cj},j = 1,2 va M2 = rnax{lwllw E Cz}' v6i T(p,r,s) la ham ph\! duQ'cdjnh nghi'a trong 2.3

t

tuang li'ng v6i

c ={wllwl = M,} u {ill, ,;;1wI:,; M" argw = j 2; }, j = O, ,p-1. It I= Qk wang t'mg v6i c = {wII w1= rnt}

ChUng minh: B6 de 2.7 sur ill b6 de 2.6 nha cac phep biSn d6i Z = Q va

z

w = rnt , xern Thao [14, tr.64]

w

2.5 Ly thuy~t dQ diti c1}'ctrj

B8 d~ 2.8

Trong rn~t phkg z cho hinh chft nh~t D={z=x + iy I0 < x < a,O < y < b}

Gia sir ham s6 w =f1(z) th\lc hi~n PBHKABG hinh chft nh~t D ten rnQtill giac cong H cua rn~t phkg w sao cho cac dinh 0, a, a+ib va ib cua D lfu1lugt tuang

tmg v6i cac dinh WI' W2' W3' va W4 cua H GQi r la hQcac cling y trong H n6i

c~nh WIW2 v6i c~nh W3W4 cua H

y

0 < Sp(H) =ffp2dudv <00,W = u + iv t6n t~i theo nghia Lebesgue

H

D~t Ip= inf Ip(y) Khi do ta co Sp(H) ~~~ l~

Chu y : DAngthuc co thS xay ra.

ChUng minh: Trong truemg hqp K = 1

Theo gia thiSt ta co

a

Theo bfit dAngthuc Schwarzl ta nh~n duqc Vx E (O,a)

Lx P 2 If'(z)12 Idy I Lx Idy I~ (Lx If'(z)lldy If

va do iaxIdyl = b > 0 nen co

2

Lx p 2 If' (z) 12Id Y I ~ ~ (L xcr If' (z) lid Y I)

dS Y Yx E r ta co

17

1 a

Sp(H)~-f b i plf'(Z)lldyl dX=-f IpldWI dx

Truemg hQ'P K> 1

Xet hI (w) 1aPBHBG H 1en hinh chfr nh~t D' , v6i D' dugc dinh nghia nhu sau:

D'={11=s + itlO < s < a', 0 < t < b'}, hiSn nhien h1il 1a PBHKABG ill D 1en D' dodo

Ap d\mg2.22a cho phep biSn hinh h~1ta co:

a '

Thay kSt qua tfong (2.22b) vao (2.22c) ta dugc Sp(H) ~ ~ :1~.

, Dfiu bimg co thS Kay fa tfong truemg hQ'P H trimg vdi D', pew) = 1,va : =K :' .

khi do ~~ 12=~~ ( b, )2 =a'b' =S (H)

BB d~ 2.9

Trang m~t ph~ng z cho tu giac cong E ={zIfI <I z 1< f2' ( -7t <)<1>1< arg z < <1>2 ( < 7t) }

Gia sir ham s6 W= fez) thgc hi~n PBHKABG miSn E Ien mQtill ghic cong H cua

mat P htm g w saDcho cac dinh zI = r e1'21'32'42 i<p2 Z =1",eicp\ z = r eicp\z = r eiCP2cua E

I~n luqt tuang (rug v6i cac dinh WI' w 2' W3' W4cua H.

V6i cac ky hi~u p, Ip(Y), YE r,Sp(H)nhu trong b6 dS 2.8 ta co:

Sp(H)2 1 </>2-</>112

In -L rl

(2.23)

Chu y: f)~ng thuc co thS xay fa.

ChWzg minh:

Dung phep biSn hinh t = Inz biSn baa giac miSn E Ien hinh chu nh~t D v6i cac

dinh tuang (rug sau do ap d\lng b6 dS 2.8 ta dugc kSt qua (2.23).

B8 d~ 2.10

Gia sir trong m~t ph~ng z cho tru6c miSn A2 tuy Y saD cho v6i mQi r ma

(0 <) < r1< r < r2« 00) co

0 < OCr)= II dq>1<~(~ 2n), trong do <p= argz va Yr =A2 (\ {z:1 z 1=r}

Yr

Ham s6 w=f(z) thgc hi~n mQt PBHBG don di~p miSn A2 Ien miSn B2 cua m~t

ph~ng w Ta d~t:

A21 =A2 n {z: rl <I z 1<rJ va

-B 21 = f (A 21) va y = f (y), rl < r < r2

Han lllia gia sir p=p( w ) ~ 0 dugc xac dinh trong B21saD cho

19

f P 2dud v « 00 ), r1 < r < r2

y

(0 <) Sp(B 21) = ff P2dud v « 00 ), w = u + iv, t6n t~i

BZ1

Yr

ChUng minh: xem [12, tr 124-125].

theo nghia

(2.24)