Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải Tích -Chuyên đề:Đánh giá các phép biến hình á bảo giác những miền nội tiếp trong hình vành khăn
Trang 1ChU'O1lg4 DANH GIA LOP HAM F
Trong chuang mlYchung toi neu ten cac danh gia cac d~i luQ'Ilgcho mi6n 8nh B ill cac d~i luQ'Ilg d~c trung cua mi6n chuAn E (xem hinh 4.1) bai PBHKABG
f E F, heluhSt cac danh gia nay da:dugc chUngminh trong [19,tr.17-'J,7].
( OQ)R
to
E
f z
Hinh 4.1 v6i p=2
4.1 Danb gia ban kinb q.
Djnb If 4.1.
V6i cac ky hi~u trong chuang 2 , \if E F, ta co danh gia q nhu sail:
q ,;m2T(p, Qk, 0 ) <m2T(p, Qk, 0) (4.2)
Dau '=' xily ra trong (4.1) <=> fez) = a I z IK z, I a 1=1.
Trang 2Chling minh: xem[19, tr 18-19].
Trong trucmg h9'P cac bien ngmii va bien trong cua miSn g6c va miSn anh la cac ducmg iron chung toi tim duqc c~ duai cua q (xem cac h~ qua 6 chuang 6)
Binb If 4.2.
V6i cac ky hi~u trong chuang 2, r la ban kinh duOng trim tam 0 nfun trong mien
E sao cho Q < r < 1, 'Vf E F ta co
m(r,f) < ~r~ ( <rk ), (4.3)
Cac dang thuc xay ra <=> fez) = aI zIK z + b, v6i cac hang so a, b thich hqp ChUng minh: Xem Thu~n[19, 21-22]
Binb If 4.3.
V6i cac ky hi~u trong chuang 2, VfE F va Vr: Q<r<l, ta co
M (r,f)::;; U < < Uj < U j-l < UI < 1 , (4.5)
m( r,f) 2::V > "Vj > Vj-l > > VI> q, (4.6)
Trang 3-I
)
q
J
'
= T (p,rK,q , VI =
Q
)
(4.5a)
-Uj=T
(p,r~'Vj-l}Vj=
[
,
(
Qq ) t'~
J
'
T P r UJ-I
(4.6a)
(K,p,Q,r,q ) = l.imJ~ <t) Uj'
J~ 00
T(p,r,s) la ham ph\! dinh nghia trong chuong 2
Chlmg minh: Xem Thao[14, tr.65] ho~c Thu~n[19, tr 22-25].
H~ qua 4.1.
Tir dinh ly 4.3 va tinh chfit cua ham T(p,r,s) trong (2.8) va (2.18) ta dllilhgia don gian cho M(r,f) va m(r,f) nhu san:
M(r,f)< T(p,r~ ,qJ < T(p,r~ ,0J < 4~r~,
(4.7)
(4.8)
Trang 4- 4 1
d - QK 1~-=-<
Vi m(lzl,f)~lf(z)I~M(lzl,f) 'VzEE,nen'VfEFtac6:
-q
T[P'(I~I)k ,qJ ~lf(Z)I~T(P,1 Zlk,q}<1),
(4.14)
Tir tinh chftt cua ham T(p,r,s) trong (2.8) va (2.18) ta co danh gia don gifmhon
cho If(z)l:
-q
T[P{I;lto) <If(z)1 <T(P,I zlk,o].
(4.15)
1
4.5 Daub gia cae di~u ticb
V6i cae Icyhi~u a chuong 2 ta co danh gia cae di~n tich cua mi~n cinhB thong
qua phep biSnhinh f EF nhu sau:
2
K
Trang 5S(B)~S,[l-Rf}~[(~)f -1 (4.18)
2
sl~S(r,f)~S2rK, (4.19) m6i dtlng thuc xily ra <=>f(z) =a Iz IK-Iz,lal = 1
Chtmg minh: Xem [14, tr.58-59] ho~c [19, tr 19-20].
-4.6 Cae daub gia khae ebo c va d.
Vi C ~ d~ M(R,f),f EF nen tiT(4.7) ta co c~ tren cua c,ngoai ra trong twang
hgp bien trong cuamiSnB la duang trim,ta till c~ tren khac cho c nhu gall: Biob Iy 4.5.
V6i cae ky hi~u trong chuang 2 ta co:
(
-)
q < c < qe V p~InQIn ~'f) (4.20)
Chtmg minh:
B~ng m9t phep quay thich hgp sao cho miSn E chua m9t cung trim co d~ng
LI = {zllzl = R,- ~~ argz ~~} D~t EI ={zIQ<lzl<R,-~<argz<~},
BI = f(EI), BI c B(xem hinh 4.2)
Trang 6.
( QQ:~'-' IR
f
E
Hinh 4.2 v6'i p=2
Di[tt w = reiq>,ap dung b6 dS 2.9 cho PBHKABG tir £1 ten BI va l~y
P =Iwl =~' WE 1 ta co:
S (B) 2~ 2ft e
In-Q
Sp(B,) = Ifp2(w)ds= W~~<P:;;~ If drd<p =211 In M(~,f)
v6'i
-C Idwl c
~ 27tln M(~,f) 2~~ln2 ~ ~ln2 ~ ~ 7tKlnRln M(~,f)
Q
1tKInR In M(~,f)
~ < qeV PP Q q , rnc ta duQ'c(4.20)
Chap 4.1:
Trang 7- 7tKIn!.1n M(!,f)
NSu B= const, khi R ~Q nghia la R ~1 thi qeVPJ3Q q ~ q < c, trong
Q truemghgp nay danh gia c~ tren cua c la rfitt61.
Vi d~ c~ m(R,f),f E F, tir (4.8) ta co c~ du6'i cua d Ngoai ra trpng twemg
hgp bien ngoai cua mi~n B la duemg trim ta danh gia dnhu sau:
Blob If 4.6
V6'i cae ky hi~u trong chuang 2 ta danh gia d nhu sau:
(
1 > ) d > e V p~ m(R,f) oR (4.21)
ChUng minh:
BfuIg mQt phep quay thich hqp sao cho mi~n E chua mQt cling trim co d~g:
LJ ={zllzl=R,-B~argz~B} D~t E2 ={zIR<lzl<l,-B<argz<B}, B2 =f(E2), B2 cB(xem hinh 4.3)
(Q
E2
z
w
1
f
B E
Trang 8f)~t w=reiq>, ap d\mg b6 d~ 2.9 cho PBHKABG ill £2 len B2 va l~y p = I~ = ~ Taco:
S(B );:::~2fJ e
2 KIP'
In-R
82 82 P m(R,f):=;JwI:=;Ir p m(R,f)
v6i I >IfI dwI = In~,
=> 2n In 1 ~ ~~In2 ~
R
(
1 J
2
1
d
nK
In-'J p ~ m (R ,f) R
d > e ,tuc ta dugc 4.21.
Chu y 4.2 n@u~= const, khi R ~ 1 thi e- ~ pJ3Inm(R,f) InR ~ 1, trong truang nay danh gia c~ du6i cua d la r~t t6t.