Bất đẳng thức và bất phương trình

Dạng 1 : Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương... Ghi chú : 1 Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương như trong dạng toán 1.. 2 Đặc trưng của phưong pháp chứng minh bất

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa

ĐẠI SỐ 10

Chương 4

Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình

* Hệ quả :

• a 1 2

a

+ ≥

• Nếu a , b ≥ 0 và a + b = s thì giá trị lớn nhất của ab là s2 / 4 khi a = b

• Nếu a , b ≥ 0 và ab = p thì giá trị nhỏ nhất của a + b = 2 p khi a = b

4.Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

Dạng 1 : Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương

Các phép biến đổi tương đương (b) , (c) , (d) thừơng được dùng để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh A ≥ B tương đương với C ≥ D , cuối cùng dùng định nghĩa :C ≥ D Ù C – D ≥ 0

Giải :a) Bất đẳng thức cần CM Ù 2(a3 + b3 ) – (a + b)(a2 + b2 ) ≥ 0 (định nghĩa) \

Ù (a + b)[2(a2 + b2 – ab) - (a2 + b2 )] ≥ 0

Ù (a + b)(a2 + b2 – 2ab) ≥ 0

Ù (a + b)(a – b)2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a + b > 0 và (a – b)2 ≥ 0

b) Bất đẳng thức cần CM Ù (4x2 – 4x + 1) + (y2 – 4y + 4) ≥ 0

Ù (2x – 1)2 + (y – 2)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) c) Bất đẳng thức cần CM Ù x2 – 2(2y – 1)x + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0

(viết thành đa thức bậc 2 theo x , với hệ số là y)

Ù [x2 – 2(2y - 1)x + (2y – 1)2 ] – (2y – 1)2 + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0 (thêm bớt số hạng để

Ví dụ 1 : CMR :

a) (x 1)(5 x)− − ≤ 2 , ∀ x ∈ [1 ; 5] b) x 4

x 5

−+ ≤

1

6 , ∀ x ≥ 4 c) x + 9

Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế rồi chuyển

vế như trong dạng toán 1

b) Ta có : x 4 1 (x 4)9

3

− = − ( nhân và chia cho 3 = 9 để đưa về dạng ab )

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – 4 và 9 :

Chia hai vế cho x + 5 > 0 , ta được bất đẳng thức : x 4 1

Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x - 1 > 0 rồi chuyển vế như trong dạng toán 1

Ghi chú : (1) Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương như trong dạng toán 1

(2) Đặc trưng của phưong pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô – si là ta chỉ phân tích một vế rồi sử dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số thích

hợp , kết hợp với tính chất của bất đẳng thức, để so sánh với vế còn lại

(3) Trong 4 bài toán này , nếu ta dấu giá trị của vế phải , ta được bài toán đi tìm giá trị lớn nhất ( bài a , b ) hay giá trị nhỏ nhất ( bài c , d) của một biểu thức

Ví dụ 2 : CM các bất đẳng thức sau :

a) a22 b22 c22 a c b

b +c +a ≥ + + , với mọi a , b, c ≠ 0 c b ab) (a + b)(b + c) (c + a) ≥ 8abc với mọi a , b, c ≥ 0

c) (a + b + c) (1 1 1

a b c+ + ) ≥ 9 , (a , b , c > 0 )

Khi nào đẳng thức xảy ra ?

Giải a) Trong bài này , ta sử dụng bất đẳng thức Cô - si kết hợp với tính chất (e) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có :

Ù a b a; c b; c

b =a c =a c = Ù ab 2 = b2 = c2

Ù a = b = c

Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối

Ta thường sử dụng các công thức trong phần 4 để chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối hay giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

b) Ta có phép biến đổi tương đương :

|x – 3| ≤ 5 Ù - 5 ≤ x – 3 ≤ 5

Ù 3 – 5 ≤ x ≤ 3 + 5 ( chuyển vế số 3 )

Ù - 2 ≤ x ≤ 8 c) Ta có phép biến đổi tương đương :

|2x – 3| ≥ x2 Ù

2 2

2x 3 x

⎢+ ≤ −

⎣

Ù

2 2

Vậy bất phương trình có nghiệm : - 1 ≤ x ≤ 3

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức số T

Cách 1 ( Phân tích ) :

• Để tìm GTNN của T , ta viết T dưới dạng : T = f 2 (x) + m trong đó m là

giá trị không đổi Thế thì : T ≥ m , ∀ x

Tìm x để T = m ( đẳng thức xảy ra)

Kết luận : GTNN của T là m

• Để tìm GTLN của T , ta viết T dưới dạng : T = - f 2 (x) + M trong đó M

giá trị không đổi Thế thì : T ≤ M , ∀ x

Tìm x để T = M ( đẳng thức xảy ra)

Kết luận : GTLN của T là M

Cách 2 ( Dùng bất đẳng thức Cô- si)

Tương tự như trên , tìm M ( hay m) sao cho : T ≤ M ( hay T ≥ m )

Ví dụ 1 : a) Tìm GTNN của biểu thức T = 2x2 + y2 – 2xy – 4x

Giải a) Ta có : T = 4x2 – 3 + 92

x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x2 và 92

x , ta có : 4x2 + 92

x ≥ 2 2

2

94x 12

x = => T ≥ 12 – 3 = 9 Đẳng thức xảy ra Ù 4x2 = 92

2 =

5

3 - x Ù x =

112Vậy GTLN của T là 19

c) ab + (1 a )(1 b)− 2 − 2 ≤1 , ∀ a , b ∈ [ - 1 ; 1]

d) y(1 1) 1(x z) (x z)(1 1)

x z+ + y + ≤ + x Z+

* 4.7 Tìm GTNN của các biểu thức sau :

1xy

x2

x

11

4.10.Người ta có 100m rào để rào một miếng đất hình chữ nhật để thả gia súc biết

một cạnh của miếng đất là bờ sông ( không phải rào ) Hỏi kích thước miếng

đất có diện tích lớn nhất có thể rào được ?

* 4.11 CMR những hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ( có 1 cạnh nằm trên một

cạnh tam giác và hai đỉnh kia thuộc hai cạnh còn lại của tam giác ) có diện

tích không lớn hơn nửa diện tích tam giác

4.12 Chọn câu đúng : Nếu có a > b > c > 0 , các bất đẳng thức nào sau đây là

4.16 Chọn câu đúng : GTLN của biểu thức : x 2 2x2 2

x 1+ - 6 ≥ 2 x 1 6

2)

1x(

x 1++ ≥ 2 2 + 2

=> GTNN là 2 2 + 2 khi x + 1 = 2

x 1+ Ùx = -1 + 2 c) Nhân ra , rúy gọn : C = x 2 + 12 1

b) Áp dụng bất đẳng thức : (a + b)(

b

1a

1 + ) ≥ 4 ( bài 4 5)

=> T ≥

3

2xyyx

2)

xyy2()xyx

(

4

2 2 2

++

=++

+GTNN của T là 2/3 khi x = y = 1

)xy(

1y

1x

1y

x

xy2)

y

x

(

2 2

2

2

+

=+

−+

Vậy GTNN của T là 9 khi x = y = ½

4.10 Gọi x là cạnh sát bờ sông , y là cạnh còn lại , ta có : x + 2y = 100 (m)

Diện tích miếng đất : S = xy = ½ (x 2y) ≤ ½

2

x 2y2

B

H

x 1<=>

+ x = - 1 +

32

Nghiệm là những giá trị x làm bất đẳng thức trên là đúng

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó

2 Hai bất phương trình tương đương khi chúng có tập nghiệm bằng nhau

3 Giải một bất phương trình thường là biến đổi tương đương bất phương trình

về thành một bất phương trình đơn giản hơn

4 Các phép biến đổi tương đương thường dùng cho bất phương trình

Giải : a) Vì bất phương trình có nghĩa với mọi x , do đó :

(1) Ù 2x + 5 < 3 – x ( Đơn giản cho x 12

++ )

Ù 2x + x < 3 – 5 ( Chuyển vế )

Ù 3x < - 2 Ù x < - 2/3 b) (2) Ù

2

++ > +

Ù 2x + 1 + 1

x> 3 +

1x

ta được bất phương trình tương đương :

Giải :a) Điều kiện : 4 – x > 0 Ù x < 4

Với điều kiện này 4 x 0 − > , nhân hai vế cho 4 x − > 0 , ta được :

A Tóm tắt giáo khoa

1 Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng : f(x)= ax + b , a ≠ 0

Nghiệm của nhị thức là xo = - b

a , giá trị thỏa f(x0) = 0

2 Nhị thức f(x) = ax + b :

• cùng dấu với a khi x > - b/a

• trái dấu với a khi x < - b/a

x - ∞ - b/a + ∞

ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

3 Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn : ax + b > 0 • a > 0 : x > - b/a • a < 0 : x < - b/a • a = 0 : * b > 0 : x ∈ R * b ≤ 0 : x ∈ ∅

4 Hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn : Giải từng bất phương trình để tìm tập nghiệm S1 , S2 Tập nghiệm của hệ là S = S1 ∩ S2

B Giải toán Dạng toán 1 : Xét dấu nhị thức , tích hay thương của hai nhị thức Ví dụ 1 : Xét dấu các nhị thức sau : a) f(x) = 2x – 6 b) f(x) = 5 3x 2 − Giải a) f(x) = 0 Ù x = 3 ; hệ số a = 2 > 0 b) f(x) = 0 Ù x = 5/3 ; hệ số a = - 3/2 < 0 Ví dụ 2 : Xét dấu các biểu thức sau : a) y = (2x 4)(5 x)− − b) y = 2x 1 3x 5 + + c) y = (2x2 - x + 5)2 – (x2 – x – 5)2 Giải : a) y là tích của hai nhị thức : 2x – 4 , có nghiệm x = 2 ; a = 2 > 0 5 – x , có nghiệm x = 5 ; a = - 1 < 0 x - ∞ 3 + ∞

2x - 6 - 0 +

x - ∞ 5/3 + ∞

5 -3x 2 + 0 -

x - ∞ 2 5 + ∞

2x – 4 - 0 + +

5 – x + + 0 -

y - 0 + 0 -

Dùng tính chất dấu của tích hai số ( tích hai số cùng dấu là + , tích hai số trái dấu là - ) , ta được bảng xét dấu sau

b) y là thương của hai nhị thức :

2x + 1 , có nghiệm là - 1/2 , a = 2 > 0

3x + 5 , có nghiệm là – 5/3 , a = 3 > 0

Qui tắc dấu của thương cũng như của tích , chỉ khác thương không xác định khi mẫu bằng 0 , kí hiệu bằng ||

x - ∞ - 5/3 -1/2 + ∞

2x + 1 - - 0 +

3x + 5 - 0 + +

y + || - 0 +

c) Biến đổi ra tích dùng hằng đẳng thức a2 – b2 = (a + b)(a – b) y = (2x2 - x + 5)2 – (x2 – x – 5)2 = (3x2 – 2x )(x2 + 10) Vì x2 + 10 > 0 với x , nên dấu của y là dấu của : 3x2 – 2x = x( 3x – 2)

x - ∞ 0 2/3 + ∞

x - 0 + +

3x - 2 - - 0 +

y + 0 - 0 +

Dạng toán 2 : Giải bất phương trình f(x) > g(x) ( f(x) < g(x) … ) Phương pháp chung là : • Chuyển vế , biến đổi tương đương về dạng : P(x) > 0 ( < 0 , ) trong đó P(x) là tích hay thương các nhị thức bậc nhất • Lập bảng xét dấu của P(x) • Dựa vào bảng xét dấu ta rút ra được tập nghiệm của bất phương trình Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : a) (2x + 5)2 ≥ (3x – 4)2 b) x2 1 3 x x 1 + + > + c) x4 ≤ (2x - 3)2 d) 2 ) 1 x ( 2 3 x 1 1 x 1 − > + − + Giải a) BPT Ù (2x + 5)2 – (3x – 4)2 ≥ 0 Ù (2x + 5 + 3x – 4)(2x + 5 – 3x + 4) ≥ 0 Ù (5x + 1)(- x + 9) ≥ 0 (1) Lập bảng xét dấu của biểu thức ở vế trái (VT) , ta được : x - ∞ - 1/5 9 + ∞

5x + 1 - 0 + +

- x + 9 + + 0 -

VT - 0 + 0 -

Căn cứ vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : - 1/5 ≤ x ≤ 9

Ghi chú : Nếu không muốn lập bảng thì giải như sau :

(1) Ù 5x 1 0 hay 5x 1 0

⎩ ⎩ Ù - 1/5 ≤ x ≤ 9

Tập nghiệm là S = [- 1/5 ; 9 ]

2

3 x 0

x 1

+ + − >

+ ( chuyển vế )

Ù x2 1 (x 1)(3 x)

x 1

+ > 0 ( qui đồng và rút gọn )

Ù 2x 4

x 1

+ + > 0 ( rút gọn tử thức ) Lập bảng xét dấu của VT :

x - ∞ - 2 - 1 + ∞

2x + 4 - 0 + +

x + 1 - - 0 +

VT + 0 - || +

Căn cứ vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : x < - 2 hay x > - 1 Tập nghiệm là S = (- ∞ ; - 2 ) ∪ ( - 1 ; + ∞ ) c) BPT Ù x4 - (2x - 3)2 ≤ 0 Ù (x2 + 2x – 3)(x2 – 2x + 3) ≤ 0 Vì x2 – 2x + 3 = (x – 1)2 + 2 > 0 , ∀ x , do đó : BPT Ù x2 + 2x – 3 ≤ 0 Ù ( x – 1)( x + 3) ≤ 0 Lập bảng xét dấu hay giải trực tiếp , ta được nghiệm : - 3 ≤ x ≤ 1

d) BPT Ù (x 3) (x 1) 2 2 (x 1)(x 3) (x 1) + − + > + + − ( tính gọn VT ) Ù 2 2 2 (x 1)(x 3)>(x 1) + + − ( rút gọn ) Ù 2(x 1)2 2(x 1)(x 3)2 0 (x 1)(x 3)(x 1) − − + + > + + − ( chuyển vế , qui đồng , tính ) Ù 2( 6x 2) 2 0 (x 1)(x 3)(x 1) − − > + + − ( rút gọn VT) Ù 6x 2 0 (x 1)(x 3) − − > + + với x ≠ 1 ( Chia hai vế cho 2 2 0 (x 1) > − , ∀ x ≠ 1) Lập bảng xét dấu của VT : x - ∞ - 3 - 1 - 1/3 + ∞

- 6x - 2 + + + 0 -

x + 1 - - 0 + +

x + 3 - 0 + + +

VT + || - || + 0 -

Căn cứ vào bảng xét dấu , BPT có nghiệm : x 3

* Trên trục số biểu diễn các tập nghiệm S1 của (1) và S2 của (2) , và lấy phần giao

S1 ∩ S2 , ta được nghiệm của hệ : - 3 < x < - 1 hay 1 < x < 2

- ∞ - 3 - 1 1 2

Ghi chú : Cách làm như sau:

* Vẽ trên trục số các đầu mút khoảng theo thứ tự tăng dần : - 3 < - 1 < 1 < 2

* Biểu diễn S 1 bằng cách gạch bỏ tập hợp CRS1( gạch //// theo qui tắc “ lấy trong bỏ

ngoài “ Tương tự biểu diễn S 2 bằng cách gạch bỏ tập hợp CRS2( gạch \\\\\\\\ theo qui tắc “ lấy

ngoài bỏ trong” Phần không bị gạch bỏ là tập

nghiệm của hệ bất phương trình

* Ví dụ 2 : Giải các bất phương trình sau :

Giải : a) Điều kiện : x – 1 > 0 Ù x > 1 (1)

Nhân hai vế cho x 1 0 − > , ta được :

BPT Ù (x – 1)(2x – 3) > x2 + 4x + 3

Ù 2x2 – 5x + 3 > x2 + 4x + 3

Ù x(x – 9) > 0 Ù x < 0 hay x > 9 (2)

Từ (1) và (2) , ta được : x > 9 Bất phương trình có nghiệm x > 9

b) Điều kiện : x2 – 9 ≥ 0 Ù x ≤ - 3 hay x ≥ 3

Chú ý x = ± 3 là nghiệm của bất phương trình Với x < - 3 hay x > 3 (1) , chia hai vế của bất phương trình cho x 2 − > 9 0, ta được :

≤+

−m1x

12x

1x

)1x(mx)1m(

Giải :

2x

31

2x

2

1

m−]

Giải 2(x – 2) > x – m Ù x > 4 – m

Vậy hệ có tập nghiệm S = (m ; 4 – m )

Để đoạn [ 0 ; 1] thỏa hệ thì [0 ; 1] ⊂ S Ù m < 0 < 1 < 4 – m

Ù 0 < m < 3

Dạng 4 : Bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

• Nếu là dạng cơ bản đã biết thì giải theo công thức :

• Trong các trường hợp khác , dạng chứa nhiều dấu trị tuyệt đối chẳng hạn , thì ta khử dấu trị

tuyệt theo qui tắc : | A | A khi A 0

b) ( Dạng |f(x)/ < g(x )) BPT Ù

2x 1

1x2x 11

0x

2x1

1x

Ù x < 2 và x ≠ 1

( Chú ý dấu [ (“ hoặc”) chớ không { ( “ và “) BIều diễn các tập nghiệm và lấy phần hội của các

*Dạng toán 5 : Giải và biện luận bất pt bậc nhất ax > b ( ax ≥ b , ax < b ) đơn giản

1mm

2x 4 x 32x 1 x 1

(5-2m)/(m-3)

- 3

a) Định m để (1) thỏa với mọi x

b) Định x để (1) thỏa với mọi m

mx

x

|1x

2x(

x5x

x3

2

có nghiệm

4 25 Chọn câu đúng : Độ dài của khoảng (a ; b) là b – a

Khoảng dương của biểu thức y = (2x + 8)(1 - x) có độ dài là :

4.29 Chọn câu đúng : Tập hợp những số x sao cho có y thỏa :

1 < <

21

3

1hay2

1

3

1xhay2

4.32 Chọn câu đúng : Giá trị lớn nhất của m để bất phương trình

2(x – m) ≥ m 2 ( 3 - x) thỏa với mọi x ≥ 3 là một :

* Xét x < 4 : | 10 – x | ≥ x Ù 10 – x ≥ x Ù x ≤ 5 Vậy x < 4

Bất phương trình có tập nghiệm là R

1x

1x2x

3x1x

1x2x

−

)1x()2x

(

)1x7)(

5xx

2

(

2 2

2

≤

−+

+

−+

* Xét m < 0 : D = ( - ∞ ; m 6

]m

−

* Xét m = 0 : D = R

Hàm số có miền xác định là [ 1 ; + ∞ ) Ù m 6

1m

− −

≤ Ù m ≤ - 5 Vậy GTLN để bất phương trình có nghiệm là m = - 5

b) BPT (1) Ù - x < 2x – 1 < x

Ù 1/3 < x < 1 Giải BPT (2) :

• m > 0 : (2) Ù x > m : Hệ vô nghiệm khi m ≥ 1

• m < 0 : (2) Ù x < m : Hệ vô nghiệm khi m ≤ 1/ 3 ( thỏa với mọi m < 0 )

Vậy hệ vô nghiệm khi m < 0 hay m ≥ 1

)2()m1x)(

2x(

105

x

3x2x

2 2

Lập bảng xét dấu , (1) có nghiệm là : x > 5 hay – 3 < x < 1

• m 2 < 1 : (2) có nghiệm là m 2 + 1 < x < 2 Khi đó vì m 2 + 1 > 1 nên hệ vô nghiệm

• m 2 = 1 : (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

• m 2 > 1 : (2) có nghiệm là 2 < x < m 2 + 1 Hệ có nghiệm khi :

m 2 + 1 > 5 Ù m 2 > 4 Ù m > 2 hay m < - 2

4 25.(b) - 4 < x < 1

4.26 (a) - 12 < x < 3 có 2 nghiệm nguyên dương là 1 và 2

4 27 (a) x 3 (x – 4) ≤ 0 Ù 0 ≤ x ≤ 4 : 5 nghiệm nguyên

1− < Ù x < 0 hay x > ½

3x

x2

<

++

Ù x < 0

4.32.(b) 2(x – m) ≥ m 2 ( 3 - x) Ù (2 + m 2 ) x ≥ 3m 2 + 2m

Ù x ≥

2m

m2m3

2

2

++

2m

m2m3

Cặp số thực (x0 ; y0) thỏa ax0 + by0 ≤ c được gọi là một nghiệm của bất phương trình