CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO ppt

CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO ThS.. MỞ ĐẦU Cân bằng khối lượng của cơ cấu là các biện pháp làm giảm hoặc triệt tiêu véctơ lực quán tính chính và v

CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG

KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO

ThS ĐỖ TRỌNG PHÚ

Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải

GS TSKH NGUYỄN VĂN KHANG

Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa

CT 2

I MỞ ĐẦU

Cân bằng khối lượng của cơ cấu là các biện pháp làm giảm hoặc triệt tiêu véctơ lực quán

tính chính và véctơ mômen lực quán tính chính của các khâu động của cơ cấu Bài toán cân

bằng khối lượng của các cơ cấu máy đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, nhiều công trình

nghiên cứu cân bằng khối lượng của cơ cấu được công bố trên nhiều tạp chí chuyên khảo

Một đánh giá tổng quan các nghiên cứu về cân bằng khối lượng cơ cấu được trình bày

trong công trình [1, 2, 3, 6] và nhiều công trình khác Các kết quả cân bằng lực quán tính các cơ

cấu chấp hành song song ba, bốn và sáu bậc tự do bằng cách thêm vào các khối lượng phụ trên

các khâu đã được đăng tải trong các công trình [4, 5]

Các tay máy song song không gian ngày càng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực cơ khí Do

đó sự cân bằng khối lượng cơ cấu hoặc tay máy song song không gian trở thành một nhiệm vụ

quan trọng Trong bài báo này thiết lập một dạng các điều kiện cân bằng của các cơ cấu không

gian dựa trên khái niệm véctơ hàm các toạ độ suy rộng dư [3]

II CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG HỆ LỰC QUÁN TÍNH CỦA CƠ CẤU KHÔNG GIAN

Xét hệ nhiều vật không gian gồm p khâu, được dẫn động quay Sử dụng các hệ toạ độ suy

rộng q1, q2, …, qq Véctơ các toạ độ suy rộng có dạng: q= q ,q , ,q⎡⎣ 1 2 p⎤⎦T

Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh cho

cơ cấu không gian nhiều bậc tự do Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng

các chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng rãi như Maple, Mathematica Các điều

kiện cân bằng hoàn toàn lực quán tính của cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do được

trình bày trong một thí dụ áp dụng

Summary: This paper presents a method for deriving the static balancing conditions of

spatial mechanisms with multi - degree - of - freedom The method has advantage of being

suitable for the applications of the widely accessible computer algebra systems such as Maple,

Mathematica In the example, the static balancing conditions for complete shaking force of a

spatial four - degree - of - freedom parallel mechanism are given

(2.1)

Biểu thức cân bằng lực quán tính theo [6]: * p p

d

p i=1

(2.2)

Do là điều kiện đủ, từ (2.2) có thể suy ra: ∑mivi=0 (2.3) Viết lại (2.3) dưới dạng: (2.4)

m x = 0, m y = 0, m z = 0

∑ & ∑ & ∑ &

Việc biểu diễn vị trí (r ), vận tốc ( ) của khối tâm của khâu thứ i của một cơ cấu

dưới dạng giải tích tường minh rất khó thực hiện Để biến đổi các điều kiện cân bằng dạng vi phân về dạng đại số, ta cần sử dụng số toạ độ suy rộng lớn hơn số bậc tự do của hệ

i

Sử dụng ma trận côsin chỉ hướng để xác định vị trí khối tâm của khâu thứ i đối với hệ

toạ độ cố định theo hệ thức: r r (2.5) trong đó là véctơ toạ độ của điểm gốc của hệ toạ độ động {

i

S

( )

i i

i

S = O + A ri S

}

i i i

O ξ η ζi gắn liền với khâu thứ i đối với hệ toạ độ cố định {Oxyz và r }

là véctơ toạ độ của điểm trên hệ toạ độ

động

( )

i

i S i

S

{O ξ η ζi i i i}

S ⎡⎣ξS ηS

như trên hình 2.1 là

ma trận cosin chỉ hướng của khâu thứ i:

(2.6)

i

A

( ) i

Chọn một véctơ hàm các toạ độ suy

các phần tử là hàm của các toạ độ suy rộng

dư, sao cho vị trí của khối tâm có thể

biểu diễn dưới dạng: Hình 2.1 Định nghĩa hệ trục toạ độ không gian

=

z

i

S

CT 2

x = e +a z, y = e +b z, z = e +c z, i = 1,2, ,p Véctơ có các thành phần không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng , các thành phần của véctơ là các hàm của các toạ độ suy rộng, và là hằng số

a b c z

q

yi

e ,exi *

zi

e

Tương tự như cách biểu diễn phương trình (2.7), các phương trình liên kết của cơ cấu có thể viết dưới dạng ma trận: *= , [ ]

I II

Dz + f 0 D = D D (2.8)

Các ma trận D và f chỉ gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu và không phụ

thuộc vào toạ độ suy rộng Phân véctơ z thành hai nhóm:

*

hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, (2.7) có thể viết lại dưới dạng:

i= iI iII , i = iI iII , i = iI iII

a a a b b b c c c T (2.11)

Phương trình liên kết (2.8) có thể viết lại dưới dạng: D v D wI + II + * 0

M

=

f (2.12)

a trận được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của véctơ

chín

II

D

ươ

w

tơ

h là số ph ng trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu Từ (2.12) có thể biểu diễn véc

w qua véctơ v như sau: 1( * )

−

w D f D v (2.13)

Từ đó suy ra:

i

Trong đó và có dạng:

−

−

− (2.16)

Thế phương trình (2.15) vào các điều kiện cân bằng (2.4) thu được:

∂v

g h ki

i iI iII II I i iI iII II I i iI iII II I

xi xi iII II yi yi iII II zi zi iII II

v

q (2.17)

Để cho điều kiện (2.17) được thoả mãn với mọi giá trị của v

kT (2.18)

Các phương trình (2.18) chính là các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ cấu dưới

dạng

III CÂN BẰNG CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN BỐN BẬC TỰ DO

ơ cấu gồm 5 chân

i tâm của mỗi khâu, trên mỗi khâu định nghĩa một toạ độ tham chiếu Hệ trục

thì:

∑p g ∑p h ∑p

CT 2

đại số Việc dẫn ra các phần tử của g , i h và i k là tương đối phức tạp về mặt toán học, i

thí dụ trong mục 3 sẽ cho thấy phương phá nà rất phù hợp với hệ chương trình như Maple p y

Xét cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay như hình 3.1 C

liên kết bệ máy với bàn máy động, trong đó 4 chân được dẫn động Mỗi chân nối với bàn

máy cố định bằng một khớp bản lề và nối với bàn máy động bằng một khớp cầu Chân 5 không

được dẫn động và chỉ gồm một khâu, bốn chân được dẫn động đều gồm có 2 khâu, nối với nhau

bằng khớp các - đăng

Để mô tả vị trí khố

toạ độ cố định Oxyz với trục z hướng lên trên và gốc toạ độ O được đặt tại tâm của khớp

bản lề của chân thứ 5 n trên hình 2 Hệ toạ độ di động O x y zhư 3 ′ ′ ′ ′ ược gán với bàn máy động

tại điểm O′ thuộc bàn máy động

Toạ đề - các của bàn máy

đ

độ động được xác định qua vị trí của gốc O' so với hệ toạ độ cố

định Oxyz và được ký hiệu là [ ]T

x, y,z

=

p , hướng của bàn máy động (hướng của hệ toạ độ

động ′ ′ với hệ toạ z

qua ma trận quay Q Các

phần tử của ma trận quay

Euler, các bất biến bậc

hai, bất biến tuyến tính

hoặc các thành phần

khác

Toạ độ các điểm nối

i

P trong hệ toạ độ động

của bàn máy động được

ký hiệu là (

O x y′ ′ ư

hàm c

ợc xác địn

)

a ,b ,c với

CT 2

i=1, ,5 Khi đó: H h 3.1 Sơ đồ cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay

)

5 , i 1, ,4

p Q (3.1)

trong đó p là

ìn

ểm trong hệ toạ

độ c

(p′i

ctơ v ,

p

i

định Ox

− p

vé ị trí của các đi

i

P

′

p

củ

h 3

ơ vị

là véctơ vị trí

như

ứ 5 nằm trên đường nối giữ và , khi đó có

của các điểm P i trong hệ to độ động O x y z′ ′ ′ ′ :

i = x y zi i i , i= a b ci i

ạ

5

p là vị

mô tả trên hìn

=

xác định véct

T

i

′

ơ trí a điểm P trong h5

2, được xác định theo:

5 l cosα 0 l cos5 5

p (3.3) Giả thiết rằng vị trí khối tâm của chân th

α

a O P5

Hình 3.2 Hệ toạ độ gắn với chân thứ 5

5c

l l

r p (3.4 của chân thứ 5 theo hình 2 như sau:

5

⎝ Trong đó r là véctơ vị trí khối tâm, 5 l là chiều dài của chân và 5 ài từ O tới

là chiều d khố ủa chân thứ i củ cấu được mô tả như hình 3.3, hai hệ toạ độ am chiế

5c

l

t

i tâm S 5

ạ

âu thứ 2

n

th th

u O ξ η ζ và i1 i1 i1 O ξ η ζ lần lượt gắ với khâu động thứ nhất và hứ hai của chân ứ i i2 i2 i2 i2

Hai gốc to độ O và i1 O lần lượt được đặt tại tâm của hai khớp Giả thiết rằng khối tâm i2 C i2 của kh thuộc chân th i (i=1 , , 4) nằm trên đường nối O và i2 P Như hình 3.3, sử i dụng các ký hiệu l = O P , ξ = O C và gọi i2 i i2 i2 i2

i

l = C P hay

l = l ξ

i1

ứ

(

ác điểm trong hệPi động gắn v máy di độ được ký hiệu là

a c

) , và h ng của hệ toạ độ độngướ O x y z′ ′ ′ ′

i i,c với ii

CT 2

được đặt t của kh

với

ủa trụ của hệ toạ độ cố định với trục

mô tả bằng ma trận qua Q Điểm O i1

ại tâm ớp bản lề của chân thứ

i Toạ độ của điểm O biểu diễn rong hệ to i1

độ cố định là ( )T

x , y ,z , với i 1, ,4=

Ta cũng dùng ký hiệu C và i1 ượt

t

ướ

iữ

ạ

ối

i2

C lần l

i (khâu n (k

i

âm của của k

bàn máy cố định) và kh trên hâu nối

với bàn máy động) của chân thứ i Gọi θ và i1

i2

θ lần lượt là các góc giữa khâu động thứ

nhất và khâu động thứ hai của chân thứ với

c z của hệ toạ độ cố định, γ là góc giữa i

hướng dương của trục x của hệ toạ độ cố

định với trục ζ , và i1 β là góc g a hướng dương ci

âu

trụ

Hình 3.3 Hệ toạ độ gắn với chân thứ i

,

t ó,

trong đó giả thiết rằng véc tơ ζi1 nằm trong mặ

ký hiệu đ có thể ết các ma trận cosin chỉ hướng:

cosγ sinθ cosγ cosθ sinγ ,

−

Q

sinβ sinθ sinβ cos

−

phẳng xy của hệ trục toạ độ cố định Với các vi

i1

sθ

i1

γ sinθ

n

i

i2 i

sβ

(3.5)

iả thi i tâm c hai của chân thứ i nằm trên đường thẳn

trên hìn 3 Khi

ng, kh

h 3

ủ

ó có th

a khâu th

ể viế

ứ t: i1

i2 i

p r Q l

định

(3.6) Trong đó pi1 và ri0 lần lượt là véctơ vị trí của các điểm O ,O đối với hệ toạ độ cố2

(hình 3.3), l và l lần lượt là véctơ từ O t ro g hệ toạ độ khâu

tới P ti

ách t điểm ũng

i1

i1 i1 i1

ới O ,i2 đị

ới

⎥

⎥

⎥⎦

i2

l l

nh theo

i0

c

i

P c

i0

a các

i1

O t

c xác

i2

O t i i

(

i

x y z , ′ a b c , i 1, ,4

p p (3.9)

trí i tâm c

nh qu

khố đị

a bàn máy

= +

động

P

r

i1

i1

a chân thứ i xác

r

i2

r r =ri0+ Q bi1 i1 ; ri2 =ri0 +Qi1 i1l +Q bi2 i2 (3.10)

Trong đó : c b bP, i1, i2 lần lượt là véctơ vị trí hối tâm của bàn máy động, của khâu thứ nhất

thứ hai của chân thứ i xác địn oạ độ

k

CT 2

ng buộc

Từ các rà động học của cơ cấu, kết hợp với động học của chuỗi

O O P P O i = 1, ,4 , ta có: ri0+Q li1 i1+Q li2 i2=p5+Q p( i′−p 5′) (3.11)

Chọn hệ toạ độ khối tâm các khâu trên hệ tọa độ động gắn liền với các khâu là :

b = (3.13)

khâu, toạ độ của trong hệ toạ độ độ khâu biể n theo phương trình (3.13) Theo như thiết ban đầu ở trên, khối tâm của khâu thứ hai thu

Phương trình (3.11) có thể viết dưới dạng ma trận đầy đủ:

⎥

⎥

21 22 23 i 5

⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

−

ij ij ij

ij ⎣ C C C ⎦

T

giả

i

P t

u diễ

ộc chân thứ i nằm trên đường nối O và i2 hì : bi2= ⎣⎡ξCi2 0 0⎤⎦T

Theo phương pháp véctơ hàm các toạ độ rộ , dựa

chọn véctơ z có dạng như sau, với ký hiệu v ắt s sin,c

suy ng vào các ma trận cosin chỉ hướng ta iết t

(3.14)

c hiện phân chia véctơ z thành hai véctơ v w ư sau:

= = cos :

11 11 12 21 21 22 31 31 32 41 41 42 11 1 11 1 11 1 11 1

1 12 1 21 2 21 2 21 2 21 2 22 31

=[cθ ,sθ ,cθ ,cθ ,sθ ,cθ ,cθ ,sθ ,cθ ,cθ ,sθ ,cθ ,cα,sα,cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,

sθ cβ ,sθ sβ ,cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,sθ cβ θ

z

3

,sθ sβ ,cθ cγ ,c sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,

2 cβ ,sθ sβ ,cθ cγ , cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,sθ cβ ,sθ sβ ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ] 3 32 3 41 4 41 4 41 4 41 4 42 4 42 4 11 12 13 21 22 23 31 32 33

11 1 21 2 21 2 21 2 21 2 31 31 31 3 31

sθ sγ ,cθ cγ ,cθ sγ ,s cγ ,sθ sγ ,cθ cγ cθ sγ ,sθ cγ ,sθ s

[ 11 11 21 21 31 31 41 41 11 1 11 1 11 1

41 4 41 4 41 4 41 4 11 12 13 21 22 23

cθ ,sθ ,cθ ,sθ ,cθ ,sθ ,cθ ,sθ ,cα,sα,cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,

cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,

=

v

]T

31 32 33

q ,q ,q

cθ ,cθ ,cθ ,cθ ,sθ cβ ,sθ sβ ,sθ cβ ,sθ sβ ,sθ cβ ,sθ sβ ,sθ cβ ,sθ sβ

=

w

Khi đó mười hai phương trình liên kết có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

[ I II]⎢ ⎥ I II * (3.16)

⎣ ⎦w

Trong đó:

*

T

= −

f

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢⎣

5 11

5

I

5

5

41 5

D =

1 5 1 5 5 11

1

21

21

31 31

41 41

5 1 5 1 5

1 5 1 5 1 5

2 5 2 5 2 5

2 5 2 5 2 5

2 5 2 5 2 5

3 5 3 5 3 5

3 5 3 5 3 5

3 5 3 5 3 5

4 5 4 5 4 5

4 5 4 5 4

-⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎦

5

4 5 4 5 4 5 12×35

1

0

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢⎣

12 12 12

22 22 22

II

32 32 32

42 42 42

D =

⎥

⎥

⎥

⎥

⇒

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎦

12

22

32

42

12

21 -1

22

22

32 12×12

32

4

1

l

1

l

1

l

1

-l 1

l 1

l

D =

1

l 1

l

1

l 1

l

1

-l

2

42 12×12

1

l

Với các tọa độ khối tâm đã chọn và các ma trận , các véctơ có thể dễ dàng

D D g h kij, ,ij ij định theo phương trình (2.16) Sau đó thay vào đ ện cân bằng tính theo công

(2.18), ta thu được 12 điều kiện cân bằng tĩnh nh

11

11 C

m η = 0;

21

21 C

m η = 0;

CT 2

12 11

C 11

11 C 12 11

12

ξ l

l

22 21

C 21 21

ξ l

m ξ + m ⎛ l - ⎞ = 0 (3.17)

C 22 21

22

l

31

31 C

41

41 C

31

C 31

31 C 32 31

32

ξ l

l

41

C 41

41 C 42 41

42

ξ l

l

(3.18)

32

5

32 C 5

12 C 5 22 C 5 42 C 5

5 C P 5

m ξ l

32

p p 5

p p 5

p p 5

Để cân bằng lực quán tính ta tiến hành lắp thêm khâu phụ là các đối trọng c

trên hình 3.4 Dựa vào các điều kiện cân bằng lực quán tính (3.17)-(3.22) ta đưa ra bảng thông

(3.22)

ho cơ cấu như

số đề nghị cân bằng tĩnh của cơ cấu Trong bảng 3.1 dưới, (ξ , η ,ζS ij S ij S ij) là vị trí khối tâm của các

CT 2

( ij ij)

η ,ζ là vị trí khối tâm

khâu thứ j thuộc chân thứ i sau cân bằng, *

i

m là khối lượng và

ij

* S

ξ ,

thêm vào khâu thứ j thuộc chân thứ i (i = 1, j = 1,2)

đề nghị cho cơ

Khâu

ij m ijbd( )kg ξS ij( )m ηS ij( )m ζS ij( )m m kg*( ) *( )

ij

S m

ij

S m

ij

S m

12 10 0.5 0 0

22 10 0.5 0 0

( ) 10

P = 0 g , ) (

III KẾT LUẬN

này đã trình bầy một thuật toán xác

ê

ài liệu tham khảo

] G.G Lowen, F.R Tepper, R.S Berkof: Balancing of linkages – An update Mechanism and Machine

220

uyen Phong Dien: Balancing conditions of spatial mechanisms Mechanism

ry 35 (2000) 563-593

aval University 1997

Đại học Bách

Trong bài báo định các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ

cấu không gian nhiều bậc tự do theo phương pháp

véctơ hàm các tọa độ suy rộng Các điều kiện cân

bằng tĩnh (3.17) - (3.22) của cơ cấu bốn khâu không

gian thu được theo phương pháp véctơ hàm các tọa

độ suy rộng trong bài báo này đã được so sánh với

các điều kiện cân bằng tĩnh theo phương pháp tọa

độ suy rộng dư tối thiểu và vị trí khối tâm chung của

tác giả Jiegao Wang đã công bố trong cac công trình

[5] và [6] Hai phương pháp cho kết quả hoàn toàn

giống nhau Ngoài ra thuật toán của phương pháp

véctơ hàm các tọa độ suy rộng rất dễ dàng triển khai tr

Hình 3.4 Mô hình khi lắp thêm khâu phụ

n máy tính

T

[1

Theory 18 (1983)

213-[2] Dresig H., Vulfson I I., Dynamik der Mechanismen, Springer Verlag, Wien, 1989

[3] Nguyen Van Khang, Ng

and Machine Theory 42 (2007) 1141-1153

[4] Jiegao Wang, Clement M Gosselin: Static balancing of spatial four-degree-of-freedom parallel

mechanisms Mechanism and Machine Theo

[5] Jiegao Wang: Kinematic analysis, dynamic analysis and static balancing of spatial parallel

mechanisms or manipulators with revolute actuators Ph.D Thesis L

[6] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2007

[7] Đỗ Trọng Phú: Cân bằng khối lượng cơ cấu nhiều bậc tự do Luận văn thạc sĩ, Trường