ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO pdf

ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO ThS.. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tóm tắt: Bài báo giới thiệu

ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG

NHIỀU BẬC TỰ DO

ThS ĐỖ TRỌNG PHÚ

Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải

GS TSKH NGUYỄN VĂN KHANG

Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ

cấu phẳng nhiều bậc tự do Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng các

chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng rãi như MATLAB, MAPLE Các điều kiện

cân bằng hoàn toàn lực quán tính và mô men quán tính của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do

được trình bày trong một thí dụ áp dụng

Summary: This paper presents a method for deriving the balancing conditions of planar

mechanics with multi - degree of freedom The method has advantage of being suitable for the

applications of the widely accessible computer algebra systems such as MATLAB, MAPLE In

the example, the conditions for complete shaking force and shaking moment balaning of a

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Để cân bằng khối lượng cơ cấu phẳng trước hết phải thiết lập được các điều kiện cân bằng

Những điều kiện cân bằng đó sẽ được sử dụng để xác định kích thước và vị trí của các đối trọng

hoặc các khâu phụ thêm vào cơ cấu ban đầu để triệt tiêu lực quán tính và mô men quán tính sinh

ra bởi các khâu động Các phương pháp cân bằng cho cơ cấu phẳng một bậc tự do đã được công

bố rộng rãi trong nhiều công trình nghiên cứu Tuy nhiên, các nghiên cứu về cở sở lý thuyết cân

bằng cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do vẫn còn hạn chế, chưa có nhiều công trình được công bố

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng

tổng quát cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do với cấu trúc bất kỳ Thuật toán này rất phù hợp với

các trình ứng dụng tính toán số hiện đang được sử dụng rộng rãi như MATLAB, MAPLE Các

điều kiện cân bằng của cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do sẽ được trình bày trong một thí dụ áp

dụng với sự trợ giúp của hệ chương trình tính MAPLE

II ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU PHẲNG NHIỀU BẬC TỰ DO

Xét hệ nhiều vật phẳng gồm p khâu, dẫn động bằng các khớp quay Để biểu diễn hệ, sử

dụng các hệ toạ độ suy rộng q ,q , ,q ; q1 2 p i= ϕ Các toạ độ suy rộng này được gọi là toạ độ i suy rộng loại 1 Véctơ các toạ độ suy rộng loại 1 có dạng: q= ⎣⎡q ,q , ,q1 2 p⎤⎦T (2.1)

Để biểu diễn hệ, cũng có thể sử dụng các toạ độ suy rộng loại 2 Các toạ độ suy rộng loại 2

u =cosϕ , u =sinϕ , i = 1, , p (2.2) Véctơ các toạ độ suy rộng loại 2 có dạng:u=⎡⎣cos ,sin , ,cosϕ1 ϕ1 ϕp,sinϕp⎤⎦T (2.3) Khi đó vị trí khối tâm của các khâu có thể biểu diễn dưới dạng sau:

Trong đó các véctơ i gồm các phần tử không phụ thuộc vào véctơ toạ độ suy rộng u,

và là các hằng số Tương tự như cách biểu diễn phương trình (2.4), các phương trình liên kết của cơ cấu có thể viết dưới dạng ma trận:

i,

a b

i

*

x

e

i

* y e

[ I II]

,

=

Du d D = D D (2.5)

Trong đó ma trận D gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu và không phụ thuộc vào véctơ các toạ độ suy rộng u, và d là véctơ hằng Nếu hệ có r phương trình liên kết, ký

hiệu m = 2p, khi đó cỡ của các véctơ và ma trận lần lượt là: Dr×m,dr×1

Phân chia các phần tử của véctơ u thành hai nhóm: u= ⎣⎡vT wT⎤⎦T (2.6)

Với v là véctơ hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, (2.5) có thể viết lại dưới dạng:

CT 2

[ I II] I II

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

v

Ma trận được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của véctơ chính là số phương trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu Cỡ của các véctơ và ma trận có dạng:

II

( m-r ×1 ) , r×1,( )II r× m-r( ),( )I r×r

Điều kiện cân bằng lực quán tính:

*

d

dt

Do là điều kiện đủ, từ (2.8) có thể suy ra:

p

i i

i 1

m

=

0

=

∑ v (2.9)

Viết lại (2.9) dưới dạng: p i Si p i Si (2.10)

Từ (2.5), do D = D[ I D ta có: II] Du D v D w d (2.11) = I + II =

D w d D v w D d D D v (2.12)

Vì d là véctơ hằng số, đạo hàm (2.12) thu được: 1 (2.13)

II I

−

= −

w& D D v&

Với v là véctơ các toạ độ suy rộng dư loại 2 tối thiểu, phương trình (2.4) có thể viết lại dưới

⎢ ⎥

* T T T * T T (2.15)

⎢ ⎥

CT 2

,

a b

phân chia véctơ u:

a a a b b b T (2.16) Trong đó các véctơ a a b biI, iII, iI, iII có các thành phần không phụ thuộc vào véctơ u

Thay (2.12) vào (2.14) và (2.16) ta thu được:

T T

y = e +h v=e +v hT Trong đó ta đặt:

−

−

x& =g v&, y& =h v&T

=

0

(2.19)

=

∑ g v& ∑ h v&

Từ (2.20) thu được các điều kiện đủ cân bằng lực quán tính:

thể viết lại dưới dạng: (2.21)

=

⎤

i=1

Trong đó: 1 p i( Si Si Si Si);

i=1

K =∑m x y& −y x&

p

i=1

K =∑I ϕ& (2.24) i Thay (2.14), (2.15) và (2.19) vào (2.24) thu được: T (2.25)

K =v S v l v&+ T

1&

i 1

m

=

i 1

=

ϕ& & − & = ϕ& ϕ + ϕ (2.27)

CT 2

i i Viết lại (2.27) dưới dạng ma trận: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

T

1 0

−

&

( ) ( )

( ) ( )

T

Si

−

&

Trong đó:

=

1 1

m-r m-r

m-r+1 m-r+1

m

I 0

H

H H (2.31)

Trong đó: H1: ma trận phản đối xứng cỡ (m r × m r− ) ( − )

4:

H ma trận phản đối xứng cỡ r × r

2:

H ma trận không hình chữ nhật cỡ (m r × r− )

3:

H ma trận không hình chữ nhật cỡ r × m r( − )

Với chú ý rằng H H2, 3 là các ma trận không Khi đó có dạng:

1& 4&

T

2&

2 K T

T 1 T

4

⎣ ⎦

v

w

&

&

& (2.32) Thế (2.12) và (2.13) vào (2.32) ta có: T (2.33)

K =v S v l v&+

= −

=

(2.34)

Từ (2.35) ta thu được các điều kiện đủ để cân bằng mô men lực quán tính là:

S1+S2=0, l1+ =l2 0 (2.36)

III CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU 8 KHÂU PHẲNG 3 BẬC TỰ DO

Xét cơ cấu phẳng 3 bậc tự do gồm 8 khâu như hình 3.1

Hình 3.1 Mô hình cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc tự do

Hệ toạ độ cố định Oxyz gắn chặt với nền, các hệ toạ độ O ξ η i = 2, ,8 gắn chặt với các i i i( )

khâu OA,AB, BE,CD,DO , EF,FO2 3 Khối tâm của các khâu tương ứng là: S ξ ,η2( S2 S2),

S ξ ,η , S ξ ,η4( S 4 S 4), S ξ , η5( S 5 S 5), S ξ , η6( S 6 S 6), S ξ , η7( S 7 S 7), S ξ , η8( S 8 S 8)

Các toạ độ suy rộng lần lượt là các góc quay: ϕ ,ϕ ,ϕ ,ϕ ,ϕ ,ϕ và 2 3 4 5 6 7 ϕ 8

Sử dụng các ký hiệu: là độ dài của khâu thứ li i i = 2, ,8 , trong đó ( ) và ;

toạ độ điểm

4

( )0,0 ,O x , y2( O 2 O 2),O x , y3( O 3 O 3) 1

men quán tính khối tâm của khâu thứ i đối với trục đi qua khối tâm ; là ma trận cosin chỉ

i

i

i

, i = 2, ,8

A

CT 2

)

6

8

ta có phương trình liên kết của cơ cấu 8 khâu 3 bậc tự do cho trên hình vẽ trên có dạng:

l = 0

2

2

3

3

l cos + l cos + l cos = x + l cos + l cos

l sin + l sin + l sin = y + l sin + l sin

l cos + l cos + l cos = x + l cos + l cos

l sin + l sin + l sin = y + l sin + l sin

⎧

⎪

⎪

⎩

(3.2)

Theo phương pháp véctơ các toạ độ suy rộng loại 2, căn cứ vào các ma trận cosin chỉ

hướng ta chọn véctơ u chứa các toạ độ suy rộng như sau:

]

T

ϕ

CT 2

=

8

[ I II] I II (3.4)

⎡ ⎤

⎣ ⎦

v

w

=

=

T

D

-1

5

5

7

7

1

l

l

l

1

-l

định theo phương trình (2.18) Sau đó thay vào điều kiện cân bằng lực quán tính theo công thức (2.21), ta thu được các điều kiện cân bằng tĩnh:

I, I

8

m l l η + m l l η + m l l η = 0

-m l l η + m l η = 0

i, i

g h

m l l ξ + m l l l + m l l l + m l l ξ + m l l l + m l l ξ + m l l l = 0 (3.5)

m l l ξ + m l l l + m l l ξ + m l l l + m l l ξ + m l l l = 0 (3.6)

-m l η + m l η = 0

7

-m l ξ - m l l + m l ξ = 0

m l l η + m l l η + m l l η = 0

Theo công thức (2.26) ta xác định được và S1 l1

Theo công thức (2.30) ma trận H có dạng:

=

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -I 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 H

0 0 0 0 0 0 -I 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -I 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -I 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14×14

8 8

0 I

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -I 0

CT 2

4 Theo cách phân chia véctơ u, ta có ma trận H H1, tương ứng như sau:

;

2 2

3

6

8

(3.12)

Theo công thức (2.34) xác định được và Từ công thức (2.36), triệt tiêu các thành

phần hằng số ta xác định được các điều kiện cân bằng động:

2

m l l ξ + m l l η + m l l l + m l l l + m l l ξ + m l l η + m l l l

+ m l l ξ + m l l η + m l l l + I l l + l I l + l l I = 0 (3.13)

3 S3

m η = 0 ; m η = 04 S4 ; m η = 06 S6 ; m η = 08 S8 (3.14)

m ξ l l + m l l l + m l l ξ + m l l η + m l l l

+ m l l ξ + m l l η + m l l l + l l I + l l I = 0 (3.15)

m ξ l l + m l l ξ + m l l η + m l l l + m l l ξ

+ m l l η + m l l l + l l I + l l I = 0 (3.16)

m l ξ + m l η - m l ξ + m l l + I l = 0 (3.17)

m l ξ + m l η - m l ξ + m l l + I l = 0 (3.18)

m l l ξ + m l l η + m l l l + m l l ξ + m l l η + m l l l

+ m l l ξ + m l l η + m l l l + I l l + l I l + l I l = 0 (3.19)

m ξ l l + m η l l + m l l ξ + m l l η + m l l l + m l l ξ

+ m l l η + m l l l + I l l + l l I + l l I = 0 (3.20)

m l ξ + m l η + m l ξ - 2m l ξ l + m l l + m l η + I l + l I = 0 (3.21)

m l ξ + m l η + m l ξ - 2m l ξ l + m l l + m l η + I l + l I = 0 (3.22)

m l η x l + m l y η - m l y ξ l + m l y ξ + m l η x l

+ m l y η - m l y ξ l + m l y ξ + y I l + y I l = 0 (3.23)

-m l ξ x l + m l x ξ - m l y η l + m l x η - m l ξ x l

+ m l x ξ - m l y η l + m l x η + x I l + x I l = 0 (3.24)

2 2 2 2 2 2 2

m l l η x l + m l l y η - m l l y ξ l + m l l y ξ + m l l η x l

+ m l l y η - m l l y ξ l + m l l y ξ + y I l l + y I l l = 0 (3.25)

-m l l ξ x l + m l l x ξ - m l l y η l + m l l x η - m l l ξ x l

+ m l l x ξ - m l l y η l + m l l x η + x I l l + x I l l = 0 (3.26)

m η x l + m y η - m ξ y l + m y ξ + y I = 0 (3.27)

-m ξ x l + m x ξ - m η y l + m x η + x I = 0 (3.28)

m η x l + m y η - m ξ y l + m y ξ + y I = 0 (3.29)

-m ξ x l + m x ξ - m η y l + m x η + x I = 0 (3.30)

IV KẾT LUẬN

Tập hợp các điều kiện cân bằng (3.5 3.10÷ ) và (3.13 3.30÷ ) ta thu được 31 điều kiện cân

điều kiện cân bằng lực quán tính, có thể đạt được bằng cách phân bố lại khối lượng của các khâu hoặc thêm các đối trọng cân bằng vào các khâu Từ

(3.5 3.10÷ ) (3.13 3.30÷ ) là 21 điều kiện cân bằng

mô men quán tính, các điều kiện này chỉ có thể đạt được khi sử dụng các khâu phụ lắp thêm vào

cơ cấu

CT 2

Ví dụ trên đã cho thấy lý thuyết cân bằng đề xuất ở trên có thể thích hợp cho việc thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do Phương pháp này có ưu điểm với các trình ứng dụng tính toán số hiện đang được sử dụng rộng rãi

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật (Dynamics of Multibody Systems) Nhà xuất bản

Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2007

[2] Nguyễn Phong Điền: Cân bằng lực quán tính, mômen lực quán tính và mômen phát động cơ cấu

phẳng Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 1996

[4] Lê Tiến Hưng: Thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng của cơ cấu phẳng, cơ cấu không gian và

đánh giá bằng tính toán mô phỏng số Luận văn thạc sĩ Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2006

[5] Đỗ Trọng Phú: Cân bằng khối lượng cơ cấu nhiều bậc tự do Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Bách

khoa Hà Nội 2008

[7] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Pham Van Son: Balancing conditions of planar

mechanisms with multi-degree of freedom Vietnam Journal of Mechanics, 27 (2005) 204-212

[8] Nguyen Van Khang: Über den Massenausgleich in Mehrkörpersystemen Technische Mechanik, Band

14, H.3-4, S.233-240, Magdenburg 1994

[9] Jiegao Wang: Kinematic analysis, dynamic analysis and static balancing of spatial parallel

mechanisms or manipulators with revolute actuators Ph.D Thesis Laval University 1997♦

CT 2