Mặt bên SBC tạo với mặt đáy một góc 60o và SA⊥ABC.. Tính thể tích khối chóp S.ABC.. phần riêng 3,0 điểm Thí sinh học chơng trình nào thì chỉ đợc chọn phần dành riêng cho chơng trình đó
Trang 1Sở gD & ĐT phú thọ
Trờng thpt nguyễn tất thành Kỳ thi kiểm tra chất lợng lớp 12
Năm học 2009-2010 Môn thi : toán
Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề.
I phần dành cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm ).
Cho hàm số: y = - x4 + 2x2 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M ( 2 ; 0)
Câu 2 (3,0 điểm ).
1 Giải phơng trình: log (22 x + 1).log (22 x 2+ + = 4) 8
2 Tính tích phân sau:
1
x 0
3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 1 2x
2
= − trên đoạn [ − 1;1 ]
Câu 3 (1,0 điểm).
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a Mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 60o và SA⊥(ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC
II phần riêng (3,0 điểm )
Thí sinh học chơng trình nào thì chỉ đợc chọn phần dành riêng cho chơng trình đó (phần 1 hoặc phần 2)
1.Theo chơng trình Cơ bản
Câu 4a (2 điểm)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 2 ) và mặt phẳng (P) có phơng trình: x+2y+z-1=0
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (P)
2) Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đờng tròn (C) có bán kính là
5
Câu 5a (1 điểm )
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z + 2 = - z 2 i
2 Theo chơng trình Nâng cao
Cõu 4b ( 2 điểm )
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 2x y− + 2z− = 4 0 và hai đường thẳng 1
d : 4 1
x− = y− = z
− , d2 : 3 5 7
x+ = y+ = z−
− 1) Gọi M là giao điểm của (d2) và mặt phẳng (α), viết phơng trình mặt phẳng (P) vuông góc với d2 tại M
2) Chứng tỏ đường thẳng d1 song song mặt phẳng (α); viết phơng trình mặt cầu tiếp xúc với d1
tại M1(4; 1; 0) và tiếp xúc với (α)?
Câu 5b (1 điểm) Giải phơng trình: − + z2 2iz 2i 1 0 − + =
Hết
Trang 2Sở gD&ĐT Phú Thọ
Trờng thpt Nguyễn Tất Thành Kỳ thi kiểm tra chất lợng lớp 12
Năm học 2009-2010 Môn thi : toán
Đáp án và thang điểm
Câu 1 Cho hàm số: y = - x4 + 2 x2 có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M ( 2 ; 0)
3,0
1) 1, Tâp xác định : D = R
2, Sự biến thiên
a, Giới hạn x→−∞lim y= −∞; x→+∞lim y= −∞
b, Bảng biến thiên
y = - 4x + 4x = - 4x x -1 ; , x 0
=
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 0) và (1;+∞); đồng biến trên khoảng (−∞;-1) và (0;1)
Hàm sô có 1 cực tiểu, 2 cực đại
3, Vẽ đồ thị Giao của đồ thị với Ox: ( ± 2;0), ( 0;0)
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
2,0
2) Giả sử phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M ( 2 ; 0) và có hệ số góc k
là : y = k (x - 2 )
Do đờng thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số nên hệ ( )
4 2 2
- x + 2 x = k (x - 2) 1
- 4x x -1 k 2
=
2
Thay 2 vào 1 : -x x - 2 = - 4x x -1 (x - 2)
x (x - 2) 3x 2x 4 0
0,25
0,25
y’
1 1
+ ∞
y
-1 + 0 0 + 0
-x
Trang 3x 0 k 0
y= 0
KL : Có 3 tiếp tuyến qua M : y= 4 2 (x - 2)
8 2 y= (x - 2)
27
−
0,5
Câu2. 1 Giải phơng trình: x x 2
2 Tính tích phân sau:
1
x 0
3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 1 2x
2
= − trên đoạn [ − 1;1 ]
1) TXĐ: D=R
Phơng trình đã cho tơng đơng với: x ( x )
log (2 +1) log (2 + + − =1) 2 8 0
log (2 1) 2 log (2 1) 8 0
x 2 x
2
log (2 1) 4 : Vô nghiệm log (2 1) 2 x log 3
KL : PT có nghiệm duy nhất : x log 3
⇔
+ = ⇔ =
=
-2)
0
2
= − ; f '(x) 1 e= − 2x; f '(x) 0= ⇔ = ∈ −x 0 [ 1;1]
1 f(0)
2
= − ; f( 1) 1 12
2e
− = − − ; f(1) 1 e2
2
= −
Vậy
[ ]
2
x 1;1
e Min f (x) f (1) 1
2
[ ]
x 1;1
1 Max f (x) f (0)
2
1,0
1,0
1,0
Câu 3 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a Mặt bên
(SBC) tạo với mặt đáy một góc 60o và SA⊥(ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC 1đ Gọi I là trung điểm của BC
khi đó AI và SI cùng vuông
góc với BC do đó góc giữa
(SBC) và ( ABC) là góc AIS và bằng 600
Ta có AI = 4a
SABC = 12a2.
SA = AI.tan600 = 4 3a
Vậy VS.ABC = 16 3a3( đvtt)
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 4a Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 2 ) và mặt phẳng (P) có
ph-ơng trình: x+2y+z-1=0
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P)
B
A
S
Trang 42) Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Viết phơng trình
mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đờng
tròn (C) có bán kính là 5
1) Đờng thẳng đi qua A(1;2;2) có véc tơ chỉ phơng là ( 1;2;1)
Vậy có phơng trình tham số là
x 1 t
y 2 2t
z 2 t
= +
= +
= +
2) Ta có d(A, (P)) = 6
Phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính là
R = d(A, (P)) = 6
Vậy mặt cầu cần lập là : (x- 1)2 + ( y- 2)2 + (z- 2)2 = 6
Vì (Q) song song với (P) nên (Q) có phơng trình dạng : x+2y+z +d = 0
Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo một đờng tròn có bán kính bằng 5
Nên d( A,(Q)) = 6-5 =1 hay 7 d
1 6
+
= khi đó ta đợc d = ± 6 7 −
Vậy ta có hai mặt phẳng cần lập là : x+2y+z ± 6 7 − =0
0,5 0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5a Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z + 2 = - z 2 i (1) 1,0
Giả sử : z = a + b i
(1)⇔ (a 2+ +) bi = + −a (b 2 i) ( )2 2 2 ( )2
KL: tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là đờng thẳng y = - x
0,75 0,25
Câu 4b Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 2x y− + 2z− = 4 0 và hai
đường thẳng d1 : 4 1
−
, d2 : 3 5 7
−
1) Gọi M là giao điểm của d2 và mặt phẳng (α), viết phơng trình mặt phẳng (P) vuông góc với d2 tại M
2) Chứng tỏ đường thẳng d1 song song mặt phẳng (α); viết phơng trình mặt cầu tiếp xúc với d1 tại M1(4; 1; 0) và tiếp xúc với (α)?
1)
Gi ả sử : d ( )= M Tọa dộ M thỏa mãn hệ :
z 7 2t 2x y 2z 4 0
= − +
= − +
− + − =
3t 9 0
t 3 M 3;4;1
⇔ − + =
⇔ = ⇒
Mp (P) cần tìm qua M và vuông góc với d2 nên nhận vecto chỉ phơng của d2 làm vecto
pháp tuyến: 2 (x – 3) +3 (y - 4) – 2 (z – 1) = 0 hay: 2 x+3 y– 2 z + 16 = 0
0.25
0,25 0,5 2) + Chứng minh đợc d1 // (α)
+ Hình chiếu của M1(4; 1; 0) lên (α) là 1
10 4 2
Đờng kính của mặt cầu là M1N1 có tâm I là trung điểm của đoạnM1N1 : I 11 7; ; 1
0,25 0,25
Trang 5( )
1
2
− + − + + =
0,25 0,25
C©u 5b Gi¶i ph¬ng tr×nh: − + z2 2iz 2i 1 0 − + = (1 ®iÓm)
ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ z1 = 1 ; z2 = 2 i - 1
