Bài giảng Đề thi thử ĐH lần 2 năm học 2008 - 2009

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=3.. Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.. Tính thể tích tứ diện ABCD theo a và b.. Theo chơng trình Chuẩn Câu

Trờng THPT chuyên

Hùng Vơng

––––––––––––

–––––––––

Đề thi kiểm tra chất lợng lớp 12 lần II

năm học 2008–2009 Môn thi : Toán, khối A, B, D

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Đề chính thức

Phần chung cho tất cả các thí sinh

Câu I (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 – mx2 +2, với m là tham số (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=3

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

Câu II (2 điểm)

1 Giải phơng trình: 8sin3x sin2xcosx cos3x2sinx cosx

2 Giải hệ phơng trình:

3 1 3 1

x y

 







Câu III (1 điểm)

Tính tích phân:

2

2

0 ( 2) 5

dx I





Câu IV (1 điểm)

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=DB=DC= a; AD=BC=b Tính thể tích tứ diện ABCD theo a và b

Câu V (1 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm:

2 1 2 4 3

x   x  x m

Phần tự chọn: Thí sinh chỉ đợc chọn làm một trong hai phần 1 hoặc 2.

1 Theo chơng trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm).

Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của A’B’, C’D’, DD’ Tính thể tích của tứ diện BMNP và tính khoảng cách giữa các đờng thẳng MN và BP

Câu VII.a (1 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:

1

0 1 1 1 2 1 3 1 2 1

n n





2 Theo chơng trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng:

1

(d ) :

x y z

(d ) :

x y z

Chứng minh các đờng thẳng (d ) , 1 (d ) chéo nhau Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt2

1

(d ) và (d ) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P): x+4y+2z+1=0.2

Câu VII.b (1 điểm)

Cho x, y là các số dơng thỏa mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2

P

x y xy

- Hết

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

Đáp án – Thang điểm

Đề thi kiểm tra chất lợng lớp 12 lần II

Năm học 2008 – 2009

Môn Toán , khối A, B, D

(Đáp án thanh điểm gồm 06 trang)

Hàm số y = x3 – 3x2 +2

2

x x







0,25

Ta có: y' > 0  x < 0 hoặc x > 2 nên hàm số đồng biến trên các

đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại là 2 và đạt cực tiểu tại x=2, giá trị

cực tiểu là –2





xlim y = - ,





xlim y = +

+ y'' = 6x-6 = 6(x-1), y''=0  x=1

y''<0  x<1, suy ra đồ thị hàm số lồi trong khoảng(-;1) và lõm

0,25

+ Bảng biến thiên:

x - 0 2 +

y' + + 0 - - 0 + + y

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

0,25

-

+

2

2



Trong trờng hợp tổng quát, ta có hàm số y= x3 – mx2 +2.

Ta có y’ = 3x2 – 2mx

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi và chỉ khi xảy ra

2 trờng hợp sau đây :

 y’= 0 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm kép , suy ra phơng trình

0,25

 Hàm số có cực đại và cực tiểu nhng giá trị cực đại và cực tiểu cùng dấu nhau :

Điều này tơng đơng với y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho

y(x1).y(x2) > 0

+ y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  m 0

0,25

+ Ta viết

2

y  y  x

Từ đó :

y x y x    x     x  

0,25

1 2 1 2

4

m

m

Kết luận : Các giá trị m cần tìm là

3

3 4 2

m 

0,25

1 Giải pt: 8sin3x sin2xcosx cos3x2sinx cosx (1,00 điểm)

Phơng trình tơng đơng với:

8sin x sin xcosx cos x(2sinx cos )(sinx xcos )x 

8sin x sin xcosx cos x2sin x2sin cosx x cos sinx x cos x

 6sin3x 2sin cosx 2x 0 sin (3sinx 2x cos ) 02x 

0,50

x











x x x









0,25

Từ đây ta đợc các nghiệm:

x k  x  k x   k x   k x   k 0,25

2 Giải hệ phơng trình (1,00 điểm)

Hệ đã cho tơng đơng với:

3 1 3 1







Hệ phơng trình có tập xác định 0 x, y 5

0,25

  3t –1 1

Từ đây suy ra f(t) là hàm đồng biến trên [0 ;5] và do đó với 0 x, y 5

mà f(x)=f(y)  x=y

Vậy hệ phơng trìn đã cho tơng đơng với :

x y









1

x y









4 4

x y











0,25

Đặt y x  x2  5 y x  x2  5 y2 2yx x 2 x2 5

2

2

5

2

y

y



Ta có x=0  y= 5 và x=2  y=5 Do đó :

0,25

2



2

dy

dy



b

b

a a

a

M

C

D B

A

Gọi M, N lần lợt là các trung điểm của BC và AD, ta có:

0,25

Trong ta giác vuông NCD có

2 2

CN

4

b a

Trong ta giác vuông MCN có

0,25

Từ đây suy ra

2 2 2

Xét hàm số: y x2  1 x2  4x3

+ Tập xác định x 1 hoặc x 3

x2  1 - x



2

0,25

x2

1



2

x

2

2  1= (x )



2

2 2

 x2(x2-4x+3) = (x-2)2(x2+1)  x2(x-2)2 - x2 = x2(x-2)2 +(x-2)2

 (x-2)2 + x2 = 0 vô nghiệm

dấu xác định

3 >0 và y’(4) =

4

17 -

2

3<0 nên:

y’>0 với  x(-,1) và y’<0 với  x(3,+)

0,25

x



2

x

x

 



x

        



2

x

x

  





0,25

Ta có bảng biến thiên:

x - 1 3 +

Y’ + + 0 0

y

Từ bảng biến thiên ta có MGT của hàm số y x2 1 x2  4x 3

là: (-2, 2]  (2, 10]

Vậy phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi :

-2<m 2 hoặc 2<m 10

0,25

N M

B

A '

D '

C

Xác lập hệ tọa độ Oxyz nh sau:

+ Gốc tọa độ A

+ Nửa trục dơng Ox là tia AB, nửa trục dơng Oy chứa tia AD, nửa trục

dơng Oz chứa tia AA’

Đặt a=2b, khi đó trong hệ tọa độ Oxyz, ta có:

A(0;0;0); B(2b;0;0); C(2b;2b;0); D(0;2b;0)

A’(0;0;2b); B’(2b;0;2b); C’(2b;2b;2b); D’(0;2b;2b)

0,50

Theo giả thiết ta có:

M(b;0;2b); N(b;2b;2b); P(0;2b;b)

MN  b BP  b b b BM  b b

Ta có BP MN;    2 ;0; 4b2  b2 BP MN BM;  6b3

BP MN BM a

V BMNP   b 

  

0,50 Gọi d là khoảng cách giữa các đờng thẳng MN và BP, ta có:

3 2

;

BP MN BM b

b

BP MN

  

C C x C x C x  C x  x

C C x C x C x  C x dx x dx

0,50

Hay

1

0 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 1 ( 1) 1

n

n n

x



Cho x=1 ta đợc:

1

0 1 1 1 2 1 3 1 2 1

n n





0,50

Ta có (d1) đi qua M1(1 ;2 ;1) và có véc tơ chỉ phơng u  1 (1;1;2)

và (d2)

đi qua M2(–1 ;1 ;2) và có véc tơ chỉ phơng u  2 (1;2;3)

, suy ra

M M   



0,25

Xét u u M M1; 2 1 2  ( 1; 1;1)( 2; 1;1) 4 0    

  

, từ đây suy ra các đờng

Giả sử (d) cắt ( )d và 1 ( )d lần lợt tại A, B khi đó A(1+a ; 2+a ;1+2a),2

B(–1+b ;1+2b ;2+3b)

Khi đó : AB  ( 2 a b ; 1  a2 ;1 2b  a3 )b

Đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) : x+4y+2z+1= 0 khi và

chỉ khi véc tơ AB cùng phơng với véc tơ pháp tuyển n  (1;4;2)của

mặp phẳng (P)

0,25







5

a b b









5

a b











0,5

Từ đây đờng thẳng (d) cần tìm là đờng thẳng đi qua B và nhận vec tơ

(1;4;2)

x y z

0,5

Ta có

3

2

2

y y x

y y

xy x

xy

0,25



0,25

Từ đó :

3

P

x y xy x y y xy xy xy

0,25



P

4

2 / 3

x y









