CMR: vuông góc Bài 14: Cho hình chữ nhật có Trên đường thẳng vuông góc với tại lấy một điểm sao cho CMR: điểm cùng thuộc một mặt cầu.. Bài 16: Cho tam giác đều cạnh và một số điểm ở ngoà
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 1:
Cho tứ diện Trên lần lượt lấy các điểm sao cho không song song với TÌm giao điểm của và
Bài 2:
Cho hình chóp lần lượt là trung điểm và
a/ Tìm giao tuyến của và
b/ Tìm thiết diện của với hình chóp
Bài 3:
Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của và là điểm trên cạnh sao cho Xác định thiết diện và
Bài 4:
Cho tứ diện , gọi là điểm lần lượt nằm trên cạnh sao cho cắt tại cắt tại CMR: đồng qui
Bài 5:
Cho tứ diện TRên lần lượt lấy các điểm sao cho
CMR:
CMR: giao tuyến của và
Bài 6: Cho hình chóp , đáy là hình bình hành Gọi lần lượt là trung điểm của
a/CMR:
b/ Gọi là trung điểm của song song
c/ Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác CMR:
Bài 7:
Cho hình hộp và cạnh song song nhau
a/ CMR:
b/ CMR: đường chéo đi qua trọng tâm của tam giác
Bài 8:
Cho hình bình hành và một điểm ở ngoài sao cho và tam giác
vuông tại Trên cạnh lấy điểm và Mặt phẳng qua song song với và cắt lần lượt tại
a/ Thiết diện là hình gì?
b/Tính diện tích thiết diện đó theo và
c/ Gọi là giao điểm của và CMR: khi biến thiên trong khoảng điểm luôn thuộc đường tròn cố định
Bài 9:
Cho hình vuông và một điểm ở ngoài sao cho Mặt phẳng qua cắt tại CMR: là hình thang cân
Bài 10:
Cho mặt phẳng một tam giác vuông tại Trên vuông góc mặt tại lấy điểm , trên lấy điểm , trên lấy
a/ CMR: Tứ diện có các cạnh đối vuông góc nhau
b/ Từ vẽ vuông góc tại CMR: là trực tâm của tam giác
c/ CMR:
Bài 11:
Trang 2Tứ diện có tam giác vuông góc ở vuông góc hạ vuông góc tại và lấy điểm trên sao cho
a/ CMR: vuông góc vuông góc
b/ CMR: vuông góc
Bài 12:
Lấy điểm ở ngoài mặt phẳng hình thoi sao cho cắt
tại
a/ CMR: vuông góc suy ra vuông góc và vuông góc b/ Tính diện tích hình thoi khi vuông góc , góc độ
Bài 13:
Cho nữa đường tròn đường kính nằm trong mặt , thuộc ( không trùng và ) Trên đường thẳng vuông góc tại với mặt lấy điểm CMR: vuông góc
Bài 14:
Cho hình chữ nhật có Trên đường thẳng vuông góc với tại lấy một điểm sao cho CMR: điểm cùng thuộc một mặt cầu Xác định tâm
và bán kính mặt cầu đó
Bài 15:
Cho hình vuông có tâm cạnh và điểm ở ngoài sao cho
và góc Tìm để điểm cùng thuộc mặt cầu
Bài 16:
Cho tam giác đều cạnh và một số điểm ở ngoài mặt sao cho
a/ Tính khoảng cách từ đến
b/ Tính góc giữa và
Bài 17:
Cho tứ diện có góc độ, , vuông góc và
Gọi là trung điểm của
a/ Tính góc giữa mặt và
b/ Tính đường cao của tam giác
c/ Tính góc giữa mặt và
d/ Tính khoảng cách từ đến
Bài 18:
Cho hình vuông và tam giác đều cạnh nằm trong mặt phẳn vuông góc nhau Gọi
là trung điểm của
a/ CMR: vuông góc )
b/ Tính góc giữa và mặt
c/ Gọi là trung điểm của CMR: vuông góc Tính khoảng cách từ đến
Bài 19:
Tứ diện có vuông góc góc độ,
a/ Tính góc giữa 2 mặt và
b/ Tình diện tích tam giác
Bài 20:
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Cạnh , và vuông góc với mặt
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của :
Trang 3a/ và
b/ và
c/ và
Bài 21:
Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật là mặt phẳng cùng vuông góc với đáy ( cạnh tạo với đáy góc (độ)) và tạo với góc
độ, Tính
Bài 23:
Cho hình chóp có cạnh bên đáy là tam giác đều có độ dài bằng Tính
Bài 24:
Cho tam giác vuông tại , là hình chiếu vuông góc của trên Trên nữa đường thẳng vuông vuông góc lấy một điểm và đặt
a/ Tính theo
CMR: Mọi điểm thuộc ta có
Bài 25:
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , các cạnh bên của hình chóp cùng tạo với đáy một góc
CMR:
Bài 26:
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành có tâm với Tính thể tích biết
độ, các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng
Bài 27:
Cho hình chóp có đáy là hình thang cân với diện tích và góc nhọn Các mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy các góc nhọn bằng nahu và bằng góc Tính thể tích hình chóp
Bài 28:
Cho hình chóp có các cạnh còn lại đều bằng
a/ Tính thể tích hình chóp theo
b/ Tìm x,y để thể tích hình chóp lớn nhất
Bài 29:
Cho tam giác cân tại có góc Trên đường thẳng qua và vuông góc với mặt lấy điểm sao cho Gọi là trung điểm của Hạ
vuông góc
a/ CMR: vuông góc Tính theo
b/ Gọi là điểm thay đổi trên đoạn , đặt mặt phẳng qua và vuông góc với cắt lần lượt các cạnh tại Tính diện tích tứ giác này
Bài 30:
Trên các cạnh của tam diện , lấy lần lượt điểm với
Gọi là trực tâm của tam giác a/ Tính và diện tích tam giác
b/ Khi thay đổi sao cho Tìm gia 1trị lớn nhất của , diện tích tam giác
c/ CMR:
Bài 31:
Trong mặt phẳng cho hình vuông cạnh có tâm Trên các nữa đường thẳng
vuông góc và về cùng phía đối với ta lần lượt lấy điểm Đặt
Trang 4a/ Tính độ dài Từ đó chứng minh rằng : điều kiện cần và đủ để tam giác vuông tại là b/ Giả sử thay đổi sao cho tam giác vuông tại Tính thể tích tứ diện Tìm
để thể tích tứ diện này bằng
Bài 32:
Cho hình chóp có là đường cao và đáy là tam giác vuông tại , độ,
Tìm để góc nhị diện bằng độ
Bài 33:
Chi hình chóp có cạnh vuông góc nhau từng đôi một tại và
a/ Tính chiều cao của hình chóp xuất phát từ theo
b/ Tính khoảng cách giửa đường chéo
Bài 34:
Cho tam giác vuông cân tại với là trung điểm của Từ và
kẻ các tia , về cùng một phái của mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng
Trên lấy điểm , trên lấy điểm sao cho Gọi là hình chiếu vuông góc của trên
CMR:
vuông góc
Bài 35:
Cho góc tam diện vuông góc lần lượt là các điểm di động trên thỏa mãn
CMR: luôn qua điểm cố định
Bài 36:
Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc nhau và
Gọi lần lượt là trung điểm CMR: vuông góc
Bài:37:
Cho hình lăng trụ tam gíac Gọi và lần lượt là trung điểm cuả các cạnh
a/ Chứng minh rằng:
b/ Tìm giao tuyến của mặt và
Tuyển sinh đại học ĐẠI HỌC SƯ PHẠM QUY NHƠN ( KHỐI A )
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết AB=AC=AA’ ;
AA’//BB’//CC’ Điểm M di động trên đoạn thẳng AC’ , điểm N di động trên đoạn BC sao cho M khác A
và AM=BN
a,Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mp (ABB’A’)
b,Xác định vị trí của các điểm M , N để cho độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
Cho tam diện ba góc vuông Oxyz Trên ba cạnh Ox, Oy, Oz ta lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA=a , OB=b , OC=c , trong đó a,b,c là 3 số dương
a,Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp (ABC) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC Tính OH theo a,b,c
Trang 5b,Chứng tỏ rằng với lần lượt là diện tích của tam giác ABC ,OAB , OBC , OCA
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN (KHỐI D)
Cho hệ phương trình (I) ;a là tham số
a,Giải hệ phương trình (I) với a=2
b,Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F =x.y+2(x+y),trong đó x,y là nghiệm của hệ phương trình (I)
ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình :
a,Chứng minh rằng đường thẳng (D) song song với mp :
b,Gọi (D’) là hình chiếu vuông góc của (D) trên mp (xOy) Chứng minh rằng khi thay đổi , đường thẳng (D’) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
ĐẠI HỌC THUỶ SẢN
Cho tứ diện SPQR với Gọi A, B, C theo thứ tự là trung điểm các đoạn
PQ, QR, RP
a,Chứng minh rằng các mặt của khối tứ diện SABC là các tam giác bằng nhau
b,Tính thể tích khối tứ diện SABC khi cho SP=a , SQ=b , SR=c
ĐẠI HỌC VĂN HOÁ –HÀ NỘI ( KHỐI D )
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , với AB = AD = a;DC = 2a Cạnh bên SD vuông với mp đáy và (a là số dương cho trước ) Từ trung điểm E của
DC dựng EK vuông góc với SC (K thuộc SC )
a,Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC vuông góc với mp (EBK)
b,Chứng minh rằng nếu điểm S ,A ,B ,E ,K ,D cùng thuộc một mặt cầu Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu theo a
c,Tính khoảng cách từ trung điểm M của đoạn thẳng SA đến mp (SBC) theo a
ĐẠI HỌC DÂN LẬP VĂN LANG
Cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung của hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau Cho AB= a Lấy M di động trên Ax và điểm N di động trên By sao cho đoạn MN có độ dài không đổi a,Đặt AM= x ; BN= y Tính thể tích của tứ diện ABMN theo a,x và y
b,Tính thể tích lớn nhất của thể tích ấy
c,Xác định quỹ tích trung điểm I của đoạn MN
ĐẠI HỌC VINH ( KHỐI A , B )
Trong mp (P) trong nửa đường tròn ( C) đường kính AC ; B là một điểm thuộc ( C) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy điểm S sao cho AS = AC Gọi H , K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các đường thẳng SB, SC
a,Chứng minh rằng tam giác SBC và AHK là tam giác vuông
b,Tính độ dài đoạn HK theo AC và BC
c,Xác định vị trí của B trên ( C) sao cho tổng diện tích hai tam giác SAB và CAB lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất
ĐẠI HỌC VINH (KHỐI D ,T ,M)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Hai điểm M , N di động trên hai đoạn thẳng BD
và B’A tương ứng sao cho BM=B’N=t Gọi lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường BD và B’A
a,Tính độ dài đoạn MN theo a và t Tìm t để độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất
b,Tính khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 6c,Trong trường hợp tổng quát , chứng minh hệ thức :
ĐẠI HỌC Y HÀ NỘI
Cho tứ diện ABCD trong đó BC=a ,AB=AC=b , DB=DC=c , là góc phẳng nhị diện cạnh BC Với điều nào với BC thì đường thẳng nối điểm giữa E của BC với điểm giữa F của AD là đường vuông góc chung của BC và AD ? với điều kiện vừa tìm được , hãy chứng minh hình cầu đường kính CD đi qua E,F và tính thể tích tứ diện đã cho
BAI LAM THEM Bài 1
Cho tứ diện ABCD
1/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng nối mỗi đỉnh với trọng tâm của mặt đối tứ diện đồng quy tại điểm G
2/ Nếu điểm G trùng với tâm hình cầu nội tiếp, chứng tỏ rằng các mặt cầu của tứ diện là bằng nhau
Bài 2
Cho tứ diện OABC Trong ta giác ABC ta lấy một điểm M Các đường thẳng qua M song song với OA,
OB, OC lần lượt cắt các mặt (OBC), (OCA), (OAB) tại A' , B' ,C' chứng minh
Bài 3
Cho tứ diện OABC vuông ở O Đặt OA=a; OB=b;OC=c
1/ Gọi A, B, C là ba góc trong tam giác ABC chứng minh
2/ Nếu có a+b=c thì hãy chứng minh:
Bài 4
Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2x và bốn cạnh còn lại có độ dài bằng 1
1/ Tính diện tích toàn phần của tứ diện
2/ Xác định x để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất
Bài 5
Cho tứ diện ABCD Gọi A', B' ,C' ,D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác :
Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua 1 điểm
G và ;
Bài 6
Trang 7Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2x và AC=AD=BC=BD=1; Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD
1/ Chứng minh và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD
2/ Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB=2a Trên d đi qua A và vuông góc với mp(ABC) lấy S khác A
1) CM: tứ diện SABC chỉ có một cặp đối diện vuông góc với nhau
2) Xác định tâm mặt câù ngoại tiếp tứ diện SABC Tính bán kính mặt câù này trong trường hợp mp(SBC) taọ với mp(ABC) một góc bằng
3) Tìm qũy tích tâm mặt câù ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d ( S#A)
4) Lấy S' đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm cuả SC Xác định thiết diện taọ bởi mp di qua S',
M và song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích cuả thiết diện đó khi
( Trích đề thi vaò DHSP Vinh năm 1997).
1 Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' với cạnh bằng a
a Tính khoảng cách giưã 2 dt AA' và BD'
b CM: BD' vuông góc với mp(DA'C')
( Trích đề thi vaò học viện quan hệ quốc tế năm 1998, khối A)
2 Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên AB, AM=x,0<x<a Xét mp(P) qua M
và chưá A'C' cuả A'B'C'D'
a Tính diện tích thiết diện cuả hình lập phương cắt bởi mp(P)
b mp(P) chia hình lập phương thành 2 khối đa diện, hãy tìm x để thể tích cuả 1 trong 2 khối đa diện
đó gấp đôi thể tích khối đa diện kia
( Trích đề thi vaò học viện ngân hàng, khối D, K năm 1999.)
1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I(A đối diện với C) Các nưả đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phiá đối với mặt phẳng đó Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy Đặt AM=m, AN=n
a Tính thể tích hình chóp BAMNC ( đỉnh B, đáy AMNC)
b Tính MN theo a, m, n và tìm điêù kiện đối với a, m, n để góc MIN vuông
(Trích đề thi vaò DHQG HN, năm 1997, khối D.)
2 Cho tứ diện ABCD Một mp() song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB lần lượt tại M,
N, P, Q
Trang 8a Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b Xác định vị trí cuả () để diện tích MNPQ đạt giá trị lớn nhất
(Trích đề thi vaò khối B, E cuả DHSP Vinh năm 1999).
1 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=AB=a
a Tính diện tích tam giác SBD theo a
b Chứng minh BD vuông góc với SC
c Tính góc giưã SC và mp(SBD)
(trích đề thi vaò khối G cuả DHSP Vinh năm 1999)
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nưả lục giác đêù với AD=2a, AB=BC=CD=a và đường cao
trong đó O là trung điểm cuả AD
a Tính thể tích cuả S.ABCD
b Gọi () là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD Hãy xác định thiết diện cuả hình chóp khi cắt bởi mp()
(trích đề thi vaò DHSP Quy Nhơn năm 1999).
1 Trên các cạnh Ox, Oy, Oz cuả tam diện vuông Oxyz, lấy lần lượt 3 điểm A, B, C với OA=a, OB=b, OC=c Gọi H là Trực tâm cuả tam giác ABC
a Tính OH và diện tích tam giác ABC
b Khi a, b, c thay đổi sao cho với k là hằng số dương, tìm giá trị lớn nhất của OH
và cuả diện tích tam giác ABC
c Chứng minh
(Trích đề thi vaò trường DHNN Tp.HCM năm 1995).
2 Cho góc tam diện Sxyz với Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ
tự lấy các điểm A, B, C sao cho : SA=SB=SC=a
a CM: tam giác ABC vuông Xác định hình chiêú vuông góc H cuả S lên mp(ABC)
b Tính bán kính hình câù nội tiếp tứ diện SABC theo a
c Tính góc phẳng cuả nhị diện (SAC,BAC)
(Trích đề thi vaò trường DHSP Tp.HCM năm 1995).
Trang 91 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đêù cạnh a, SA vuông góc mp(ABC) và SA=a Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh AB Đặt , hạ SH vuông góc với CM
a Tìm qũy tích điểm H Suy ra giá trị lớn nhất cuả thể tích tứ diện SAHC
b Hạ AH vuông góc SC, AK vuông góc SH Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAIK
( Trích đề thi vaò DHQG tp.HCM đợt 1 năm 1999, khối A.)
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hính chữ nhật Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho :
a Mp(AMN) cắt SC tại P Tính tỉ số
b Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V cuả hình chóp S.ABCD
( Trích đề thi vaò DH Cần Thơ, khối A, năm 1998).
1 Cho ba tia Ox, oy, oz vuông góc với nhau từng đôi một Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm trong góc tam diện.Một mặt phẳng đi qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C Gọi khoảng cách từ M đến các pm(OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b ,c
a CM: tam giác ABC không phải là tam giác vuông
c Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất
(Trích đề thi vaò trường DH Y-Dược Tp.HCM năm 1995)
2.Cho một tam diện vuông đỉnh O Trên 3 cạnh cuả tam diện đó lấy 3 điểm A, B, C sao cho: AC=2OB, BC=2OA
a M, N là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống AC và BC Chứng minh rằng MN vuông góc với OC
b Tính cos góc MON
c Gọi D là trung điểm cuả AB CM:
(Trích đề thi vaò trường DH Kinh Tế Tp.HCM năm 1995.)
Trang 101 Trên mặt phẳng () cho góc xOy SO=a vuông góc với mp() Các điểm M, N chuyển động trên Ox,
Oy sao cho ta luôn có: OM+ON=a
a Xác định giá trị lớn nhất cuả thể tích tứ diện SOMN
b Tìm qũy tích tam I cuả mặt câù ngoại tiếp SOMN CM rằng khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại
có bán kính mặt câù ngoại tiếp nhỏ nhất
(Trích đề thi vaò trường DH ngoại thương Tp.HCM năm 1995)
2 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O Trên các nưả đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phiá đối với (P) lần lượt lấy 2 điểm M, N Đặt AM=x, CN=y
a Tính độ dài MN Từ đó chứng minh rằng điêù kiện cần và đủ để tam giác OMN vuông tại O là
b Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vuông tại O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x, y
để thể tich tứ diện này bằng
(Trích đề thi vaò DHQG, Tp.HCM đợt 2 năm 1999, khối D.)
1 Cho tam giác đêù OAB với AB=a>0 Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) lấy M với OM=x Gọi E, F lần lượt là các hình chiêú vuông góc cuả A lên MB và OB EF cắt d tại N
a CM: AN vuông góc với BM
b Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
( Trích đề thi vaò trường DH tổng hợp Tp.HCM năm 1995)
2.Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mp(P) Hai điểm M và N di động trên BC và CD Đặt CM=x, CN=y Trên đường thẳng At vuông góc với mp(P) lấy điểm S Tìm hệ thức giưã x, y để:
a (SAM) và (SAN) taọ thành góc
b (SAM) và (SAN) vuông góc với nhau
(Trích đề thi vaò trường DH kiến trúc Tp.HCM năm 1994)
1 Cho đường tròn tâm O bán kính R Xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy( S và A
cố định), SA=h cho trước, đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho mà các đường cheó AC và BD vuông góc với nhau
a Tính bán kính cuả mặt câù ngoại tiếp hình chóp(Đi qua 5 đỉnh cuả hình chóp)
b Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?
( Trích đề thi vaò trường DHQG Hn năm 1998, khối B.)
2 Trong mp(P) cho d và điểm A ngoài d di động quanh A, cắt d tại B và C Trên đường thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S Gọi H và K là các hình chiêú vuông góc cuả A lên SB và SC