MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN ÔN THI THPT QUỐC GIA

Sau đây là các bài toán tính khoảng cách để áp dụng vào tính thể tích: Trong 1 số bài toán thì người ta yêu cầu tìm thể tích khối đa diện, vấn đề khó khăn hay gặp là tính khoảng cách hoặ

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN ÔN THI THPT

QUỐC GIA

Bài toán 1: Các bài toán tính khoảng cách để áp dụng tính thể tích khối đa diện và các bài toán khác tính khoảng cách

Sau đây là các bài toán tính khoảng cách để áp dụng vào tính thể tích: Trong 1 số bài toán thì người ta yêu cầu tìm thể tích khối

đa diện, vấn đề khó khăn hay gặp là tính khoảng cách hoặc tìm diện tích đấy để đi giải quyết bài toán Tôi sẽ đề cập đến vấn đề khoảng cách trong các bài tính thể tích Sau chuyên đề này tôi sẽ biên soạn tiếp theo chuyên đề hình học là thể tích đa diện Mong độc giả đón đọc

Chúng ta sẽ đi từ những bài toán cơ bản đến phức tạp

Bài 1: Cho khối lăng trụ

ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều

cạnh a, cạnh bên AA1 tạo với mặt

đáy 1 góc 600 Và A1 cách đều 3

đỉnh A,B,C

a Tính khoảng cách từ A tới (ABC)

b Tính độ dài BC1

c Khoảng cách từ B tới (AA1C1C)

Lời bình:

a Do tam giác ABC có đáy là tam giác đều nên ta gọi M, N

là trung điểm của AC và BC

Khi đó BM AC và AN BC Gọi H là giao điểm của

AN và BM, khi đó H là tâm của tam giác đều ABC , mặt khác thì do A1 cách đều các đỉnh của ABC nên A1H (ABC)

(Điều này có được là dựa vào lý thuyết các em đã được học) Điều này có nghĩa là khoảng cách từ A1 tới mặt phẳng (ABC): d(A1/(ABC)) = A1H

ABC có cạnh bằng a, và là tam giác đều nên ta có AN cũng là trung tuyến, va có độ dài AN = => AH = AN = √a

Gỉa thiết có rằng A1A tạo với đáy góc 600, ta đi xác định góc:

Do A1H (ABC), nên hình chiếu của A1A xuống mặt đáy là AH,

ta biết rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đưởng thẳng đó với hình chiếu của nó lên mặt phẳng, vì vậy góc

ở đây chính là ( 1) = 600

Vậy trong tam giác vuông AA1H vuông tại H có (1 ) =

600

Do đó : A1H = tan600.AH A1H=

Tư duy bài toán: Đây là bài toán không khó, em nào làm nhiều bài tập rồi thì khi gặp bài này sẽ không có vấn đề gì khó khăn cả, song , chúng ta qua đây thấy được điều gì, đó là nếu bài toán yêu cầu tìm thể tích lăng trụ ABC A1B1C1 thì việc còn lại là tìm diện tích ABC Có 1 số bài toán có thể yêu cầu các em tìm

VA1.ABM , VA1.ACN….thì cách làm chỉ cần tìm A1H và diện tích đáy thì rất dễ rồi

b Bài toán tính BC1 có thể là không dùng để tìm thể tích nhưng

nó là 1 bài toán tính độ dài đáng lưu tâm

Nhìn vào hình vẽ, thực sự mà nói để tìm được lời giải cũng cần mất khoảng thời gian khá dài Các em thấy BC1 nó hầu như chưa

có mối liên hệ rõ ràng nào với các đối tượng đã biết Vậy hướng

tư duy ở đây là, nhận thấy BC1 và BC = a có chút quan hệ với nhau khi chúng là các cạnh của hình bình hành CC1B1B Nhưng tìm được BC1 như thế nào?

Liệu rằng CC1B1B có thể là 1 hình chữ nhật hoặc 1 hình nào đó đặc biệt hơn không?

Ở đây, nó có thể là hình chữ nhật không?

Ta có: AN BC, và A1H BC (Do A1H (ABC))

Suy ra BC (A1AN), suy ra tiếp là BC A1A ( Do A1A thuộc (A1AN))

Mặt khác A1A // B1B nên BC BB1, điều này có nghĩa là

CC1B1B là hình chữ nhật thật

Có nghĩa là CC1B vuông tại C có BC = a, vậy chúng ta chỉ cần tìm thêm CC1 bằng

1

√

nhỉ)

Tư duy bài toán: Qua bài toán này chúng ta tư duy như

thế nào, có thể người ra đề sẽ yêu cầu các em tính CB1

thay vì tính BC1 hoặc là chứng minh CC1B1B là hình

chữ nhật chẳng hạn hoặc là tính thể tích VA1.ANB…….Bài

này nhằm mục đích giúp các em tư duy hình học nhìn

nhận vấn đề và khai thác triệt để mối tương quan của

các dữ kiện trong bài toán

c Gọi I là hình chiếu của B lên AA1

Xác định khoảng cách đó như thế nào?

Ta có các kết quả sau:

 Tư duy kiểu 1:

A1H (ABC) => A1H AC, lại có AC BM, nên AC

(A1MB), điều này ta có kết quả tiếp theo là dẫn đến AC BI (

BI thuộc (A1MB))

Mặt khác là BI A1M, cho nên BI (A1ACC1) Do đó khoảng cách là BI

 Tư duy kiểu 2:

Do A1 cách đều ABC nên ta có A1AC cân tại A1, mà M là

trung điểm AC nên A1M AC, lại có AC BM =>AC (A1MB), sau

đó chúng ta làm tương tự như tư duy trên

Tóm lại chúng ta có kết quả cần dùng là BI (A1ACC1)

Khi đó khoảng cách từ B tới (A1ACC1): d(B/( A1ACC1)) = BI

Tính BI như thế nào?

Tôi xin giới thiệu 1 cách tư duy cho các bạn tính:

Các bạn thấy là hoàn toàn tìm được số đo góc 1 dựa vào tam giác vuông A1MB, vuông tại H và đã biết độ dại cạnh A1H và

MH Sau khi tìm được số đo góc 1 thì dựa vào tam giác

và cạnh MB ( Các bạn có thể tự trình bày được lời giải thì tốt hơn)

Phân tích đề toán: Các bạn thấy SA=BC=AB=a, điều này

sẽ có các kết luận bổ ích như ASB là tam giác vuông cân tại A, mà B’ là trung điểm của SB nên suy ra AB’ là trung trực của ASB

Bài 2: Cho kh ố i chóp S.ABC có đư ờ ng cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân t ạ i B và đ ộ dài 2 c ạ nh vuông là a G ọ i B’ là

trun g đi ể m SB và C’ là hình chi ế u c ủ a A lên SC

a Tính kho ả ng cách t ừ A t ớ i (SBC)

b Tính đ ộ dài B’C’

L ờ i gi ả i:

Điều hiển nhiên là SA (ABC) , cho nên SA BC, mặt khác BC AB ( giả thiết), điều này dẫn tới BC (SAB) suy ra BC AB’(do AB’ thuộc mặt phẳng (SAB)) Vậy

từ các kết quả trên ta có được BC AB’ và AB’ SB cho nên AB’ (SBC)

Điều này đồng nghĩa với việc khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) chính là đoạn AB’

Ta đi tính AB’:

Rõ ràng SA AB => ASB

vuông cân tại A có cạnh vuông bằng

a, do đó đường cao AB’ có

rất nhiều cách tính

AB’= sin450.SA = AB’= a

a Theo kết quả trên thì ta có

AB’ (SBC) nên AB’ B’C’

dẫn đến AB’C’

vuông tại B’, và tam giác này đã biết độ dài AB’, khi

đó để tìm được B’C’ thì ta nên đi tìm thêm cạnh AC’, AC’ nó thuộc vào tam giác SAC cũng vuông tại A

và đã biết cạnh SA còn AC thì có thể tìm được thông

qua ABC vuông cân có 2 cạnh vuông bằng a Ta đi tìm AC bằng định lý pytago với ABC

AC = √2a , suy ra AC’ sẽ được tính theo công thức đường cao

1 1 1 1 1 3

2a 2a

Khi đó ta dễ dàng tìm được B’C’ = AC ' 2 AB ' 2 23 a 2 12 a 2 16a B’C’= 16a

Tư duy bài toán:

Nếu giả thiết bài toán không cho B’ khi đó các bạn phải tự hình dung và vẽ thêm hình, bài này cho B’ là đã giúp các bạn 50% tìm khoảng cách A tới (SBC), gặp bài toán khác, nếu họ yêu cầu tìm khoảng cách đó mà không nói B’ là trung điểm SB thì các em nên tự hình dung bài toán

'

2 ' 3

Còn nữa nếu bài này khai thác thêm ở chỗ SA=AB=BC, vậy nếu

độ dài 3 cạnh đó khác nhau liệu bài toán này có làm được như thế nữa không? Câu trả lời là có

Vì khi đó AB’ không phải là khoảng cách từ A tới (SBC) nữa mà

là đường cao hạ từ A xuống SB và hoàn toàn tính được đường cao này

Phát triển bài toán này thì có nhiều vấn đề cho các bạn khai thác, mong các bạn dành nhiều thời gian nghiên cứu phát triển và tự mình ra đề bài để làm toán

phương

Lời giải:

Bài toán yêu cầu tính d(AC;C’D) khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian, cách tư duy khi làm loại toán này là đưa về 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại sao cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau

Với bài này thì ta thấy AC//A’C’ => AC//(A’C’D) và DC’ thuộc ( A’C’D) cho nên khoảng cách d(AC;DC’) chính là d(AC;(A’C’D)

Điều này có được là do chúng ta biết rằng: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chính là khoảng cách giữa mặt phẳng chứa 1 trong 2 đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại với đường thẳng còn lại ấy

Vậy ta có khoảng cách đó tính thế nào?

Bài 3: Cho hình l ậ p

ABCD.A’B’C’D’ có

c ạ nh b ằ ng a Tính kho ả ng cách sau: d(AC;DC’)

AC//(A’C’D) nên mọi điểm trên AC đều có chung khoảng cách tới (A’C’D) hay ta có các kết quả sau: d(A/(A’C’D))=d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D))

Tại sao lại có d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D)) , có được điều này

là vì ta thấy C và D’ có khoảng cách tới DC’ là như nhau Nên

theo tính chất về khoảng cách ta có kết quả đó

Vậy tóm lại : d(AC;DC’) = d(D’;(A’C’D))

Ta có D’.A’C’D là chóp tứ diện vuông tại D’ ta cócông thức sau:

1 1 1 1 1 1 1 3 d 2 D’;

A’C’D D ' A' 2 D 'C ' 2 D ' D 2 a 2 a 2 a 2 a 2

3

d D’; A’C’D a

3

Đây là 1 bài toán với mức độ khó bình thường, nếu bạn học sinh nào làm quen nhiều với hình lập phương thì bài này không là vấn

đề gì

Tôi có 1 số tư duy cho những ai còn kém về phần này: Để làm được loại này thì các em học sinh cần phải nắm chắc được kiến thức về khoảng cách từ 2 đường thẳng, khoảng cách điểm đến mặt phẳng và khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, sau đó tìm mối liên hệ giữa chúng Ví dụ như: Khoảng cách giữa đường thẳng đến mặt phẳng thì có mối liên hệ thế nào với khoảng cách từ 1 điểm đến mặt thẳng, mối quan hệ của nó là tất cả các điểm nằm trên đường thẳng đều có chung 1 khoảng cách tới mặt phẳng, vậy nên ta chỉ cần tìm được khoảng cách từ 1 điểm là suy

ra được khoảng cách của đường thẳng đến mặt

( Đương nhiên đường thẳng và mặt phẳng là song song với nhau thì mới có khoảng cách nhé các em)

Một lưu ý nữa là vấn đề vẽ hình là 1 việc vô cùng quan trọng trong giải toán hình học, các em cũng nên vẽ hình 1 cách dễ nhìn,

rõ ràng và phải để phô ra những dữ kiện đã biết của bài toán

Các em nên rèn luyện kỷ năng vẽ hình cho mình, tìm hiểu các tính chất của tất cả các hình học trong không gian để có được những kiến thức hữu ích phục vụ giải toán

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ,

= =900 , BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=√2a

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Tính d(H;(SCD)) Lời giải:

Cách giải bài này khá là hay và cần 1 cái nhìn tinh tế với bài toán:

Sẽ có nhiều cách giải, nhưng tôi xin đề cập đến vấn đề áp dụng tứ diện vuông để tính

Gọi N là giao điểm của AB và CD thì ta được 1 tứ diện vuông S.AND

Gọi K là giao điểm của AH với SN khi đó ta có các tư duy sau đây:

Thay vì tính trực tiếp d(H;(SCD)) ta sẽ đi tính d(A;(SCD)) và dựa vào mối quan

SHSB cos(HSA).SA cos 2 (HSA) cos 2 (BSA) SA 2 SA 2 AB 2 a 2 2 a2 2 a 2

23 cos(HSA)

Mặt khác ta có thể chứng minh được B là trung điểm của AN

không.Ta có tỷ lệ: NB NA BCAD 2aa 12 vậy B là trung điểm của

AN, mặt khác SH 2 điều này chứng tỏ H phải là trọng tâm của tam

SB 3 giác SAN mà A,H,K thẳng hàng cho nên ta có tỷ lệ cần tìm

= = ;;(( ))

Suy ra H;(SND) = ;( )

Ta có ;( ) tính dựa vào tứ diện vuông A.SND theo công thức:

1 1 1 1 1 1 1 7

2 2 2 2 2 2 2

d (A;(SND)) SA NA DA 2a a 4a 4a 2

d(H;(SCD))=

d (A;(SND)) 2 7a 2217a

7

d (H ;(SND)) 2 7a d (H ;(SCD))

Tư duy bài toán:

Bài toán này đã vận dụng sự đặc biệt của điểm H để đi giải quyết kết hợp với tính gián tiếp qua A, lý do là A đã thuộc 1 tứ diện vuông A.SND rất dễ tính toán, và dựa vào mối tương quan của H và A để tìm tỷ lệ khoảng cách Các bạn có thể tính gián