Chuyên đề Hình học Euclide

Ta có giao của những tập lồi là tập lồi.. Cho S thuộc En giao của mọi tập lồi chứa S gọi là bao lồi của S.. + Định lý: m – đơn hình trong không gian Euclide EnVn là một tập lồi... Chú ý

Hình học Euclide

Đề tài thuyết trình:

“ Thể tích m – chiều của m – hộp,

m – đơn hình trong không gian Euclide n – chiều.”

Nhóm thực hiện: Nhóm 3 – Toán 2A.

1 Một số khái niệm liên quan đến m – hộp và m – đơn hình trong không gian Euclide n – chiều E (V n ): n

a Tâm tỷ cự:

Trong không gian Euclide n – chiều En cho hệ m điểm độc lập

{A A1 , 2 , ,A m} và m số a a1 , , , 2 a m∈Ksao cho

1

0

m i i

a

=

≠

∑ khi đó tồn tại duy

nhất điểm G E∈ n sao cho:

1

m

i

a GA

=

=

∑ uuur Điểm G nêu trên được gọi là tâm tỷ

cự của hệ {A A1 , 2 , ,A m} ứng với các hệ số a a1 , , , 2 a m∈K.

Kí hiệu là: G G= {A a A a1 , ; 1 2 , ; ; 2 A a m,m}

b Tập lồi:

Trong không gian Euclide En:

+) Đoạn thẳng:

Trong En cho hai điểm phân biệt A, B ta định nghĩa đoạn thẳng AB như sau:

ĐN 1: AB: ={C A B ABC∈ + | ( ) 0 < ∪} {A B, } Với A, B là hai điểm đầu mút của

đoạn thẳng AB

ĐN 2: : { n| [ ]0,1 : { , ; ,1 }}

A B

AB = M∈E ∃ ∈ λ M =G λ −λ

+) Tập lồi:

Một tập S trong không gian Euclide En là một tập lồi nếu với mọi A, B thuộc

S thì đoạn thẳng AB nằm hoàn toàn trong S

Ta có giao của những tập lồi là tập lồi Suy ra tồn tại tập lồi bé nhất nằm trong giao Cho S thuộc En giao của mọi tập lồi chứa S gọi là bao lồi của S

Kí hiệu là: C(S)

Vậy bao lồi là tập lồi bé nhất trong tất cả những tập lồi chứa S

c Định nghĩa hình hộp m – chiều trong không gian Euclide E n (V n )

+) Định nghĩa:

Trong không gian Euclide n – chiều En(Vn ) cho điểm I và hệ m vectơ độc

lập tuyến tính là {u u1 , , , 2 u m} Hình hộp xác định bởi I và hệ {u u1 , , , 2 u m}

là tập hợp các điểm M thõa mãn:

1

m n

i

M E IM t u t

=

 ∈ = ≤ ≤ 

 uuur ∑ 

Khi m=0 thì 0 – hộp là 1 điểm

Khi m=1 thì 1 – hộp là 1 đoạn thẳng

Khi m=2 thì 2 – hộp là 1 miền hình bình hành

Khi m=3 thì 3 – hộp là 1 khối hình hộp theo định nghĩa trong trung học phổ thông

+) Định lý: m – hộp trong không gian Euclide En(Vn ) là một tập lồi.

d Định nghĩa m – đơn hình trong không gian Euclide n – chiều E n (V n ):

ĐN 1: Trong không gian Euclide En(Vn ) cho hệ m+1 điểm độc lập

{A A0 , , , 1 A m} Bao lồi chứa hệ {A A0 , , , 1 A m} là m – đơn hình với đỉnh là

0 , , , 1 m

A A A

ĐN 2: Đơn hình m – chiều chứa các điểm độc lập A A0 , , , 1 A m, kí hiệu là

( 0 , , , 1 m)

S A A A là tập hợp các điểm M thõa:

0

m m

m n

i

M E t t t t M G

=

Khi m=0 thì 0 – đơn hình là 1 điểm

Khi m=1 thì 1 – đơn hình là 1 đoạn thẳng

Khi m=2 thì 2 – đơn hình là 1 miền tam giác

Khi m=3 thì 3 – đơn hình là 1 khối tứ diện

+) Định lý: m – đơn hình trong không gian Euclide En(Vn ) là một tập lồi

2 M ột số vấn đề về ma trận và định thức Gram:

Cho không gian vectơ Euclide n - chiều n

E

V cho hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m}

Xét ma trận tạo bởi các tích vô hướng của hệ vectơ trên:

1 2

m m m

u u u u u u

u u u u u u

Gr u u u

u u u u u u

=

Ma trận trên gọi là ma trận Gram của hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m}

Gọi (a a1i, 2i, ,a ni) là tọa độ của vectơ u i; ∀ =i 1 m trong một cơ sở trực chuẩn nào đó của n

E

V Xét ma trận:

m m

a a a

a a a A

a a a ×

=

Định lý:

1 Ma trận Gr u u( 1 , , , 2 u m) là ma trận đối xứng

2 ( 1 , , , 2 ) t.

m

Gr u u u =A A

3 detGr u u( 1 , , , 2 u m)≥ 0 Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi hệ vectơ

{u u1 , , , 2 u m} phụ thuộc tuyến tính

4 {u u1 , , , 2 u m} là hệ trực giao khi và chỉ khi Gr u u( 1 , , , 2 u m) là ma

trận đường chéo.{u u1 , , , 2 u m} là hệ trực chuẩn khi và chỉ khi

( 1 , , , 2 m)

Gr u u u là ma trận đơn vị

Chứng minh:

1 Ma trận Gr u u( 1 , , , 2 u m) là ma trận đối xứng

Hiển nhiên vì ta có tính chất của tích có hướng là: u u i. j =u u j ; ,i ∀i j.

2 ( 1 , , , 2 ) t.

m

Gr u u u =A A

Ta có:

2

2

1 2

.

m

m

a a a a a

u u u u u u

u u u u u u a a a a a

Gr u u u

u u u u u u

2

n

a a a a a

=

m t

A A dpcm

a a a

3 Chiều thuận:

1 2

m

Gr u u u = A A = A ≥ Dấu “=” xảy ra khi

detA = 0

Xét phương trình

1

2

m m

x

a a a

x

a a a

a a a x

 

 

 

 

 

 

 

Do detA = 0 nên hệ (1) có nghiệm khác tầm thường Suy ra hệ {u u1 , , , 2 u m}

phụ thuộc tuyến tính

Chiều đảo:

Nếu hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m} phụ thuộc tuyến tính tức tồn tại vectơ u i biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại:

1

j i

u b u b u b u− − b u+ + b u = b u

≠

 

= + + + + + + =  ÷

 ∑ 

1 1

j i

j j

j i

u u u u u u

Gr u u u u u u u u u u

u u u u u u

b u

=

≠

≠

=

 

 

=

∑

1

1

1

j i

u b u b u b u u

=

≠

∑

Ta thấy cột thứ i là biểu thị tuyến tính của các cột còn lại nên

detGr u u, , , , ,u i u m = 0

4 Chiều thuận:

Hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m} là hệ trực giao tức u u i. j = ∀ ≠ 0; i j Suy ra

( 1 , , , 2 m)

Gr u u u là ma trận đường chéo và

detGr u u, , ,u m = u . u u m

Hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m} là hệ trực chuẩn tức . 1 nêu i=j

0 nêu i j

u u = δ =  ≠

( 1 , , , 2 m)

Gr u u u là ma trận đơn vị và detGr u u( 1 , , , 2 u m) = 1

Chiều đảo:

Nếu Gr u u( 1 , , , 2 u m) là ma trận đường chéo tức là các u u i. j = ∀ ≠ 0; i j.Tức

,

i j

u u đôi một trực giao với nhau Suy ra hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m} là hệ trực giao

Nếu Gr u u( 1 , , , 2 u m) là ma trận đơn vị, tức u u i. j = ∀ ≠ 0; i j và u u i i = ∀ = 1; i 1 m Suy ra hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m} là hệ trực chuẩn

3 Thể tích của m – hộp trong không gian Euclide n – chiều E n ( V n ):

a Định nghĩa:

Ta định nghĩa m – thể tích của m – hộp trong không gian Euclide n – chiều

En , kí hiệu V H I u u( ( , , , , 1 2 u m) ) bằng quy nạp:

m = 1: V H I u( ( , 1) ) = u1

m > 1: V H I u u( ( , , , , 1 2 u m) ) =V H I u u( ( , , , , 1 2 u m−1) ).h m

Với h m là khoảng cách từ đỉnh S m voi u m=ISuuurm đến (m – 1) – phẳng đi qua điểm I với hệ vectơ chỉ phương αur= u u1 , , , 2 u m−1 .

Chú ý:

Khái niệm thể tích ứng với m=1 đó là độ dài đoạn thẳng, còn ứng với m=2

đó là diện tích của hình bình hành

b Định lý:

Bình phương thể tích của m – hộp đi qua điểm I dựng theo hệ vectơ

{u u1 , , , 2 u m} bằng định thức Gram của hệ vectơ {u u1 , , , 2 u m}

V H I u u u = Gr u u u hay

( , , , , 1 2 m ) det ( 1 , , , 2 m)

V H I u u u = Gr u u u .

Chứng minh:

Bằng quy nạp theo m, ta có:

m = 1: V H I u( ( , 1) ) = u1 =det Gr u( )1

m > 1: Giả sử đúng với ( m – 1), tức:

V H I u u u − = Gr u u u −

Cần chứng minh đúng với m, thật vậy:

Đặt αur= u u1 , , , 2 u m−1 và u m = +x hr uurm với

1 , , , 2 m1 và m i; 1 1

x∈ = α u u u − h ⊥u ∀ =i m−

, ta có :

h = huur .

Xét

m m

Gr u u u Gr u u x h

u u u u u x h

u u u u u x h

x h u x h u x h x h

+ +

r uur

r uur

r uur

1

u u u h u u u h u u u x

u u u x

h u h h x u x h h u h

x u x x

r

.

x

Gr u u u − x Gr u u u − h M N

u r

Ta có: huurm ⊥ ⇒u i h uuurm. i = ∀ = 0; i 1 m− 1 và do xr ur∈ = α u u1 , , , 2 u m−1 suy ra

m

h x=

uur r

Suy ra

1 1

1 1

0

m

m

u u

u u u h M

x u

x u x h

uur

r

1

0

u u u x u u u x

N

h u h x

và detGr u u( 1 , , , 2 u m−1 ,rx) = 0 vì hệ

{u u1 , , , 2 u m−1 ,xr}

phụ thuộc tuyến tính

Vậy

1

m

m

m

u u u h

Gr u u u Gr u u x h Gr u u u h

h u h h

u u u u

u u u u

h

−

−

=

uur

u

.

m

m

u u u u

u u u u h

−

−

ur uur

Vậy

( ) ( ) ( ( ( ) ) )

2

2

det , , , det , , , , , , ,

, , , , , (dpcm) m m m m m m m Gr u u u h Gr u u u h V H I u u u V H I u u u u − − − = = = Hệ quả: 1 Nếu {u u1 , , , 2 u m} là hệ trực giao thì ( ) ( , , , , 1 2 m ) 1 2 m V H I u u u = u u u 2 Nếu m = n và A là ma trận của các cột tọa độ của hệ {u u1 , , , 2 u n} theo một cơ sở trực chuẩn nào đó thì thể tích của hình hộp bằng giá trị tuyệt đối của định thức A, tức là: ( ) ( , , , , 1 2 n ) det V H I u u u = A 3 Cho ( )ur : n → n f f E E là một phép biến đổi affine và {I u, , , 1 u n} là n – hộp tùy ý trong En thì hộp ( ) ( ) ( ) { f I , urf u1 , , urf u n } cũng là một n – hộp và thể tích của nó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 1 , , n ) det ( ( , , , 1 n) ) V H f I urf u urf u = urf V H I u u . Chứng minh: 1 Đây là tính chất được suy ra từ định thức Gram Và đây cũng là phép chứng minh tổng quát cho công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật trong không gian 3 chiều sơ cấp: V =abc với a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật 2 Theo công thức tính thể tích của m – hộp và định thức Gram, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 , , , , n det , , , n det det ( ) V H I u u u = Gr u u u = A = A dpcm 3 Gọi ( ) : , α α α 1 2 , , αn là một cơ sở trực chuẩn trong En và gọi (a a1i, 2i, ,a ni) là tọa độ của vectơ u i; ∀ =i 1 n trong ( ) α Xét 11 12 1 21 22 2 1 2

n n n n nn a a a a a a A a a a       =       Gọi (b b1i, 2i, ,b ni) là tọa độ của urf( ) α trong ( ) α , ta có: 11 12 1 21 22 2 1 2

n n

b b b

b b b

B

b b b

=

là ma trận đổi cơ sở từ ( ) α sang urf( ) α và cũng là ma

trận của phép biến đổi tuyến tính urf

trong ( ) α .

Ta có: V H f I( ( ( ) ( ),urf u1 , ,urf u( )n ) )= detGr f u(ur( ) ( )1 ,urf u2 ,urf u( )n ) = detC

với C là ma trận các cột tọa độ của urf u( )i

trong cơ sở trực chuẩn ( ) α .

Ta có:

n n n n n n n n n nn n f u a f a f a f u a a a u a a a f u a f a f u a a a α α α α α α α α α α α α α α = + + + = + + +   = + + + = + +  ⇒    = + + +  ur ur ur ur ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2

n n n n n nn n a f f u a f a f a f α α α α    +    = + + +  ur ur ur ur ur Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / f f f f f f u T u dstt C A T A B A α α α α α α α α → → =     ⇒ = = = Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 1 1 2 1 , , , det , , det det det det det det , , , ( )

n n n V H f I f u f u Gr f u f u f u C B A B A f V H I u u dpcm = = = = = ur ur ur ur ur ur Với detA V H I u= ( ( , , , 1 u n) ) ( theo hệ quả 2 ). detB = deturf c Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng R2 với cơ sở tự nhiên ( chính tắc ) cho điểm I và hai vectơ không cùng phương u=(a a1 , 2) và v=(b b1 , 2) Tính diện tích hình bình hành xác định bởi (I u v, , ) Giải: Gọi A là ma trận của u và v trong cơ sở tự nhiên, ta có: 1 1 2 2 a b A a b   =     Diện tích hình bình hành xác định bởi (I u v, , ) tính bởi công thức sau: ( ) ( , , ) det ( , ) det 1 2 2 1 V H I u v = Gr u v = A = a b −a b . Ví dụ 2: Trong không gian Euclide E4 với cơ sở trực chuẩn chính tắc cho hệ điểm độc lập A0 (1,1,1, 1), (2,0,0,1), − A1 A2 (1, 0,0, 2), (1,1,0, 2) − A3 Tính thể tích 3 – hộp xác định bởi ( ;A A A A A A A0 uuuur uuuuur uuuur 0 1 , 0 2 , 0 3 ) Giải :

Từ giả thuyết ta có :

0 1 (1, 1, 1, 2); 0 2 (0, 1, 1, 1); 0 3 (0,0, 1,3)

A A = − − A A = − − − A A = −

Xét ma trận Gram tạo bởi hệ vectơ uuuur uuuuur uuuurA A A A A A0 1, 0 2, 0 3

.

( 0 1 0 2 0 3) 00 12 0 10 1 00 12 00 22 00 12 0 30 3

A A A A A A A A A A A A

Gr A A A A A A A A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A

=

uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuuruuuur uuuuuruuuuur uuuuuruuuur

uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur

0 3

.A A

uuuur

Thể tích 3 – hộp xác định bởi ( ;A A A A A A A0 uuuur uuuuur uuuur 0 1 , 0 2 , 0 3 )

là :

V− = Gr A A A A A Auuuur uuuuur uuuur =

Ví dụ 3 : Trong không gian Euclide E4 với cơ sở trực chuẩn chính tắc cho các điểm A0 (0,0,1,0), (1,0,0,0),A1 A2 (1,1,1,1), (0, 2, 2,0),A3 − A4 (0, 1, 2,0) − Tính thể tích 4 –

hộp xác định bởi ( ;A A A A A A A A A0 uuuur uuuuur uuuur uuuuur 0 1 , 0 2 , 0 3 , 0 4 )

Giải :

Từ giả thuyết ta có :

0 1 (1,0, 1,0); 0 2 (1,1,0,1); 0 3 (0, 2,1,0); 0 4 (0, 1,1,0)

A A = − A A = A A = − A A = −

Xét ma trận các cột tọa độ của hệ vector trên

A

 − − 

=

 − 

Ta có : detA= − ≠ 1 0 Nên hệ vector trên đltt và khi đó ta có thể tích 4 – hộp là :

V− = A = − = .

4 Thể tích của m – đơn hình trong không gian Euclide n – chiều E n ( V ): n

a.Định nghĩa:

Ta định nghĩa m – thể tích của m –đơn hình S A A( 0 , , , 1 A m) bằng quy nạp theo m:

m = 1: V S A A( ( 0 , 1) ) = uuuurA A0 1

m > 1: ( ( 0 1 ) ) ( ( 0 1 1) )

1

V S A A A V S A A A h

=

Trong đó h m là khoảng cách từ A m đến (m – 1) – phẳng đi qua

A A0 , , , 1 A m−1

Chú ý:

Khái niệm thể tích ứng với m=1 đó là độ dài đoạn thẳng, còn ứng với m=2

đó là diện tích của tam giác

b Định lý:

Thể tích m – chiều của m – đơn hình S A A( 0 , , , 1 A m) được tính bằng

công thức sau:

V S A A A V H A A A A A Gr A A A A A A

Chứng minh:

Chứng minh bằng quy nạp theo m

+)Với m = 1 ta có: ( ( 0 1) ) 0 1 ( ( 0 0 1) )

1

1!

V S A A = uuuurA A = V H A A Auuuur ( đúng ).

+)Với m > 1 giả sử đúng với ( m – 1), tức:

1

1 !

V S A A A V H A A A A A

m

−

uuuur uuuuuur

Cần chứng minh đúng với m, thật vậy:

1 ! 1

!

m

V S A A A V S A A A h V H A A A A A h

V H A A A A A dpcm

m

−

=

uuuur uuuuuur uuuur uuuuur

c Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian E3 với cơ sở trực chuẩn chính tắc cho ba điểm

A(3,4,-1) , B(2,0,3), C(-3,5,4) Chứng minh rằng ba điểm trên không thẳng

hàng và hãy tính diện tích tam giác ABC

Giải:

Ta có:

( 1, 4, 4 ;) ( 6,1,5)

AB= − − AC= −

Ta có 1 4 4

− ≠− ≠

− nên ba điểm A, B, C không

thẳng hàng

,

22 62

AB AB AB AC

Gr AB AC

AC AB AC AC

=    = 

 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Diện tích tam giác ABC là:

22 62

ABC

S = Gr AB AC =   = dvdt

 

 

uuur uuur

Ví dụ 2: Trong không gian E3 với cơ sở trực chuẩn chính tắc cho bốn điểm

A(1,2,-3) , B(2,0,1), C(-3,1,4), D(2,4,-3) Hãy tính thể tích tứ diện ABCD

Giải:

Từ giả thiết ta có: uuurAB= −(1, 2, 4 ;) uuurAC= − −( 4, 3,7 ;) uuurAD=(1, 2,0)

Xét ma trận các cột tọa độ của hệ vectơ uuur uuur uuurAB AC AD; ;

, ta có:

1 4 1

A

−

= − − 

Ta có: detA= − ≠ 48 0nên hệ uuur uuur uuurAB AC AD; ;

là hệ độc lập tuyến tính

Thể tích của tứ diện ABCD là: 1 det 1.48 8( )

ABCD

V = A = = dvtt .

Ví dụ 3: m – đơn hình S P P( , , , 0 1 P m) gọi là m – đơn hình đều nếu khoảng cách giữa hai đỉnh P P i, jbất kì đều bằng nhau.

a) Chứng minh rằng trọng tâm G của m – đơn hình đều trong E ncách đều các đỉnh của đơn hình đó.

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của m – đơn hình đều đến một đỉnh của nó

biết khoảng cách giữa hai đỉnh của đơn hình đó.

c) Tính thể tích của m –đơn hình đều biết khoảng cách giữa hai đỉnh của đơn hình đó.

Giải:

a)

Gọi G là trọng tâm đơn hình S P P( , , , 0 1 P m) và d d P P= ( , ), 0i j ∀ ≤ ≠ ≤i j m

GP m GP P P

= ⇒ + + =

∑uuur uuur ∑

1

1 1

m i i

GP P P

m =

⇒ = −

+ ∑

1

2

2

2

2 2

2 2

1

2 1

1

3 2 1

1

2 1

m

GP P P P P P P

m

m

md d m m

m

m

m m d

m m d m

π

+

=  + − ÷

+ +

=

+

=

+

Chứng minh tương tự

, 1, 2, ,

k

m

m

+

uuur

.

Vậy trọng tâm G của m – đơn hình đều trong E ncách đều các đỉnh của đơn hình đó.

b)

Từ câu a) ta có 0 1 ( )

m

m

GP GP GP d

m

= = = =

+

( đpcm ) c)

Áp dụng công thức ở lí thuyết thì :

( 0 1 0 2 0 )

1

V S Gr P P P P P P

m

Ta có:

m m m

P P P P P P P P P P P P

P P P P P P P P P P P P

Gr P P P P P P

P P P P P P

=

uuuuruuuur uuuuruuuur uuuuruuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

uuuur uuuur uuuur

0 2 0 m 0 m

P P P P P P

uuuur uuuur uuuur

Mà

P P P P = P P P P P P P P = P P =d i= n

uuuuruuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

1

2

o

P P P P = P P P P P P P P = P P = d ∀ ≠i j

uuuuruuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

( do m – đơn hình S P P( , , , 0 1 P m) là m – đơn hình đều )

Như vậy

2

2

1 1 2

m m m

Gr P P P P P P d

d d d

 

= =  ÷ 

uuuur uuuur uuuur

Vậy : ( ) 1

m m

d m

V S

m

+

= 

 m = 2 : ta có diện tích tam giác đều cạnh d : 2 3 2 3.

d d

S∆ = =

 m = 3 : ta có thể tích tứ diện đều cạnh d : td 3 43 2 2.

d d

V = =

Ví dụ 4: Trong E nvới mục tiêu trực chuẩn {O e e; , , , ur uur 1 2 euurn}

Gọi P i là các điểm mà

, 1,

OPuuur=a e iur = n Tính thể tích của ( n – 1 ) – đơn hình S P P( , , , ) 1 2 P n